2022年初中数学竞赛专题选讲完全平方数和完全平方式 .pdf

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1、学习必备欢迎下载初中数学竞赛专题选讲（初三.2 ）完全平方数和完全平方式一、内容提要（一） 、定义1.如果一个数恰好是某个有理数的平方，那么这个数叫做完全平方数. 例如 0，1， 0.36，254，121 都是完全平方数. 在整数集合里，完全平方数，都是整数的平方. 2.如果一个整式是另一个整式的平方，那么这个整式叫做完全平方式. 如果没有特别说明，完全平方式是在实数范围内研究的. 例如：在有理数范围m2, (a+b2)2, 4x212x+9, 144 都是完全平方式. 在实数范围（a+3）2, x2+22x+2, 3 也都是完全平方式. （二） 、整数集合里，完全平方数的性质和判定1. 整数

2、的平方的末位数字只能是0，1，4，5，6，9.所以凡是末位数字为2，3，7，8的整数必不是平方数. 2. 若 n 是完全平方数，且能被质数p 整除 , 则它也能被p2整除 . 若整数 m 能被 q 整除，但不能被q2整除 , 则 m 不是完全平方数. 例如： 3402 能被 2 整除，但不能被4 整除，所以3402 不是完全平方数. 又如： 444 能被 3 整除，但不能被9 整除，所以444 不是完全平方数. （三） 、完全平方式的性质和判定在实数范围内如果ax2+bx+c (a0)是完全平方式，则b24ac=0 且 a0；如果b24ac=0 且 a0；则 ax2+bx+c (a0)是完全平

3、方式. 在有理数范围内当 b24ac=0 且 a 是有理数的平方时，ax2+bx+c 是完全平方式. （四） 、完全平方式和完全平方数的关系1. 完全平方式（ ax+b）2 中当 a, b都是有理数时, x 取任何有理数，其值都是完全平方数；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 5 页学习必备欢迎下载当 a, b中有一个无理数时，则x 只有一些特殊值能使其值为完全平方数. 2.某些代数式虽不是完全平方式，但当字母取特殊值时，其值可能是完全平方数. 例如：n2+9, 当 n=4 时，其值是完全平方数. 所以，完全平方式和完全平方

4、数，既有联系又有区别. （五） 、完全平方数与一元二次方程的有理数根的关系1.在整系数方程ax2+bx+c=0(a 0)中若 b24ac是完全平方数，则方程有有理数根；若方程有有理数根，则b24ac是完全平方数. 2.在整系数方程x2+px+q=0 中若 p24q 是整数的平方，则方程有两个整数根；若方程有两个整数根，则p24q 是整数的平方 . 二、例题例 1. 求证：五个连续整数的平方和不是完全平方数. 证明：设五个连续整数为m 2, m1, m, m+1, m+2. 其平方和为S. 那么 S（m2）2（ m1）2m2（ m+1）2（ m+2）2 5（m2+2）. m2的个位数只能是0，1

5、，4，5，6，9 m2+2 的个位数只能是2，3， 6，7，8，1 m2+2 不能被 5 整除 . 而 5（m2+2）能被 5 整除，即 S 能被 5 整除，但不能被25 整除 . 五个连续整数的平方和不是完全平方数. 例 2 m 取什么实数时， （m1） x2+2mx+3m 2 是完全平方式？解：根据在实数范围内完全平方式的判定，得当且仅当010m时， （m1） x2+2mx+3m 2 是完全平方式=0，即（ 2m）24(m1)(3m 2)=0. 解这个方程，得m1=0.5, m2=2. 解不等式m 10 ，得 m1. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - -

6、- - - - -第 2 页，共 5 页学习必备欢迎下载即125 .0mmm或它们的公共解是m=2. 答：当 m=2 时， （m1）x2+2mx+3m 2 是完全平方式 . 例 3. 已知：(x+a)(x+b)+(x+b)(x+c)+(x+c)(x+a)是完全平方式 . 求证：a=b=c. 证明：把已知代数式整理成关于x 的二次三项式，得原式 3x2+2(a+b+c)x+ab+ac+bc 它是完全平方式， 0. 即4(a+b+c)212(ab+ac+bc)=0. 2a2+2b2+2c22ab2bc 2ca=0, (ab)2+(bc)2+(ca)2=0. 要使等式成立，必须且只需：000accb

7、ba解这个方程组，得a=b=c. 例 4. 已知方程x25x+k=0 有两个整数解，求k 的非负整数解 . 解：根据整系数简化的一元二次方程有两个整数根时，是完全平方数. 可设 = m2(m 为整数 )，即（ 5）24k=m2(m 为整数 )，解得， k=4252m. k 是非负整数，的倍数是 42502522mm由 25m20，得5m，即 5m5；由 25m2是 4 的倍数，得m=1, 3, 5. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 5 页学习必备欢迎下载以 m 的公共解 1, 3, 5，分别代入k=4252m. 求得 k

8、= 6,4, 0. 答：当 k=6, 4, 0 时，方程x2 5x+k=0 有两个整数解例5.求证：当k 为整数时，方程4x2+8kx+(k2+1)=0 没有有理数根. 证明：（用反证法）设方程有有理数根，那么是整数的平方. （ 8k）216(k2+1)16（3k21）. 设 3k21 m2(m 是整数 ). 由 3k2m21，可知 k 和 m 是一奇一偶，下面按奇偶性讨论3k2m21 能否成立 . 当 k 为偶数， m 为奇数时，左边 k2是 4 的倍数， 3k2也是 4 的倍数；右边 m2除以 4 余 1， m21 除以 4 余 2. 等式不能成立.；当 k 为奇数， m 为偶数时，左边

9、k2除以 4 余 1，3k2除以 4 余 3 右边 m2是 4 的倍数， m21 除以 4 余 1 等式也不能成立. 综上所述，不论k, m 取何整数， 3k2m21 都不能成立 . 3k21 不是整数的平方，16（3k21）也不是整数的平方. 当 k 为整数时，方程4x2+8kx+(k2+1)=0 没有有理数根三、练习1.如果 m 是整数，那么m2+1 的个位数只能是. 2.如果 n 是奇数，那么n21 除以 4 余数是，n2+2 除以 8 余数是，3n2除以 4的余数是 . 3.如果 k 不是 3 的倍数，那么k21 除以 3 余数是. 4.一个整数其中三个数字是1，其余的都是0，问这个数

10、是平方数吗？为什么？5.一串连续正整数的平方12，22，32， 1234567892的和的个位数是. 6.m 取什么值时，代数式x22m(x4)15 是完全平方式？7.m 取什么正整数时，方程x27x+m=0 的两个根都是整数？8.a, b, c 满足什么条件时,代数式 (cb)x2+2(ba)x+ab 是一个完全平方式？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 5 页学习必备欢迎下载9.判断下列计算的结果，是不是一个完全平方数：四个连续整数的积；两个奇数的平方和. 10. 一个四位数加上38 或减去 138 都是平方数，试求这个

11、四位数. 11. 已知四位数aabb是平方数，试求a, b. 12. 已知： n 是自然数且n1. 求证： 2n1 不是完全平方数. 13. 已知：整系数的多项式4x4+ax3+13x2+bx+1 是完全平方数，求整数a 和 b 的值 . 14. 已知： a, b 是自然数且互质，试求方程x2abx+21(a+b)=0 的自然数解 . 参考答案1.1，2，5，6，7，02.0，3，33.0 4.不是平方数，因为能被3 整除而不能被9 整除5.5。因为平方数的个位数是（ 1496 5694+1+0） 12345678（ 1 4965694+1）即个位数为585 6.3，57.12，10，68.a=b,a=c 且 cb 9. 都不是10.19872213838BxAxA2B2176222211BABA11.7744（882）.baaabb011是平方数，a+b 是 11 的倍数可从9256473829bababababa中检验，得出答案. 12用反证法，设2n1=A2,A 必是奇数，设 A2k+1 13612ba612ba1431bax1=1,x2=2精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 5 页