(经典编辑)高级中学数学完整数列情况总结及其题型精彩编辑.doc

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1、-!高中数学:数列及最全总结和题型精选一、数列的概念(1)数列定义:按一定次序排列的一列数叫做数列;数列中的每个数都叫这个数列的项。记作,在数列第一个位置的项叫第1项(或首项),在第二个位置的叫第2项,序号为 的项叫第项(也叫通项)记作;数列的一般形式:,简记作 。(2)通项公式的定义:如果数列的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示,那么这个公式就叫这个数列的通项公式。例如:1 ,2 ,3 ,4, 5 ,:说明:表示数列,表示数列中的第项,= 表示数列的通项公式; 同一个数列的通项公式的形式不一定唯一。例如,= =; 不是每个数列都有通项公式。例如,1,1.4,1.41,1.414,(3)数

2、列的函数特征与图象表示:从函数观点看,数列实质上是定义域为正整数集(或它的有限子集)的函数当自变量从1开始依次取值时对应的一系列函数值,通常用来代替,其图象是一群孤立点。(4)数列分类:按数列项数是有限还是无限分:有穷数列和无穷数列;按数列项与项之间的大小关系分:递增数列、递减数列、常数列和摆动数列。例:下列的数列,哪些是递增数列、递减数列、常数列、摆动数列?(1)1,2,3,4,5,6, (2)10, 9, 8, 7, 6, 5, (3) 1, 0, 1, 0, 1, 0, (4)a, a, a, a, a,(5)数列的前项和与通项的关系:二、等差数列(一)、等差数列定义:一般地,如果一个数

3、列从第项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母表示。用递推公式表示为或例:等差数列, (二)、等差数列的通项公式:;说明:等差数列(通常可称为数列)的单调性:为递增数列,为常数列, 为递减数列。例:1.已知等差数列中,等于( )A15 B30 C31 D642.是首项,公差的等差数列,如果,则序号等于(A)667 (B)668 (C)669 (D)670 3.等差数列,则为 为 (填“递增数列”或“递减数列”)(三)、等差中项的概念:定义:如果,成等差数列,那么叫做与的等差中项。其中 ,成等差数列 即: ()例:1(06全

4、国I)设是公差为正数的等差数列,若,则 ( )A B C D(四)、等差数列的性质:(1)在等差数列中,从第2项起,每一项是它相邻二项的等差中项;(2)在等差数列中,相隔等距离的项组成的数列是等差数列; (3)在等差数列中,对任意,;(4)在等差数列中,若,且,则;(五)、等差数列的前和的求和公式:。(是等差数列 )递推公式: 例:1.如果等差数列中,那么(A)14 (B)21 (C)28 (D)352.(2009湖南卷文)设是等差数列的前n项和,已知,则等于( )A13 B35 C49 D 63 3.(2009全国卷理) 设等差数列的前项和为,若,则= 4.若一个等差数列前3项的和为34,最

5、后3项的和为146,且所有项的和为390,则这个数列有( )A.13项B.12项C.11项D.10项5.已知等差数列的前项和为,若 6.(2009全国卷理)设等差数列的前项和为,若则 7.已知数列是等差数列,其前10项的和,则其公差等于( ) C. D.8.(2009陕西卷文)设等差数列的前n项和为,若,则 9(00全国)设an为等差数列,Sn为数列an的前n项和,已知S77,S1575,Tn为数列的前n项和,求Tn。(六).对于一个等差数列:(1)若项数为偶数,设共有项,则偶奇; ;(2)若项数为奇数,设共有项,则奇偶;。 1.一个等差数列共2011项,求它的奇数项和与偶数项和之比_2.一个

6、等差数列前20项和为75,其中奇数项和与偶数项和之比1:2,求公差d3.一个等差数列共有10项,其偶数项之和是15,奇数项之和是,则它的首项与公差分别是_(七).对与一个等差数列,仍成等差数列。例:1.等差数列an的前m项和为30,前2m项和为100,则它的前3m项和为( )A.130 B.170 C.210 D.2602.一个等差数列前项的和为48,前2项的和为60,则前3项的和为 。3已知等差数列的前10项和为100,前100项和为10,则前110项和为 4.设为等差数列的前项和,= 5(06全国II)设Sn是等差数列an的前n项和,若,则A B C D(八)判断或证明一个数列是等差数列的

7、方法:定义法:是等差数列中项法:是等差数列通项公式法:是等差数列前项和公式法:是等差数列例:1.已知数列满足,则数列为 ( )A.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 D.无法判断 2.已知数列的通项为,则数列为 ( )A.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 D.无法判断3.已知一个数列的前n项和,则数列为( )A.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 D.无法判断4.已知一个数列的前n项和,则数列为( )A.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 D.无法判断5.已知一个数列满足,则数列为( )A.等差数列 B.

8、等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 D.无法判断6.数列满足=8, () 求数列的通项公式;7(01天津理,2)设Sn是数列an的前n项和,且Sn=n2,则an是( )A.等比数列,但不是等差数列 B.等差数列,但不是等比数列C.等差数列,而且也是等比数列 D.既非等比数列又非等差数列(九).数列最值(1),时,有最大值;,时,有最小值;(2)最值的求法:若已知,的最值可求二次函数的最值;可用二次函数最值的求法();或者求出中的正、负分界项,即:若已知,则最值时的值()可如下确定或。 例:1等差数列中,则前 项的和最大。 2设等差数列的前项和为,已知 求出公差的范围, 指出中哪一个值最

9、大,并说明理由。3(02上海)设an(nN*)是等差数列,Sn是其前n项的和,且S5S6,S6S7S8,则下列结论错误的是( )A.d0 B.a70 C.S9S5 D.S6与S7均为Sn的最大值4已知数列的通项(),则数列的前30项中最大项和最小项分别是 5.已知是等差数列,其中,公差。(1)数列从哪一项开始小于0?(2)求数列前项和的最大值,并求出对应的值(十).利用求通项1.数列的前项和(1)试写出数列的前5项;(2)数列是等差数列吗?(3)你能写出数列的通项公式吗? 2.设数列的前n项和为Sn=2n2,求数列的通项公式;3.(2010安徽文)设数列的前n项和,则的值为( )(A) 15

10、(B) 16 (C) 49 (D)644、2005北京卷)数列an的前n项和为Sn,且a1=1,n=1,2,3,求a2,a3,a4的值及数列an的通项公式 三、等比数列等比数列定义一般地,如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,那么这个数列就叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比;公比通常用字母表示,即:(一)、递推关系与通项公式1 在等比数列中,,则 2 在等比数列中,则 3.(07重庆文)在等比数列an中,a28,a164,则公比q为( )(A)2(B)3(C)4(D)84.在等比数列中,则= 5.在各项都为正数的等比数列中,首项,前三项和为21,则( )A 33

11、B 72 C 84 D 189(二)、等比中项:若三个数成等比数列,则称为的等比中项,且为是成等比数列的必要而不充分条件.例:1.和的等比中项为( ) 2.(2009重庆卷文)设是公差不为0的等差数列,且成等比数列,则的前项和=( ) A B CD(三)、等比数列的基本性质,1.(1)(2)(3)为等比数列,则下标成等差数列的对应项成等比数列.(4)既是等差数列又是等比数列是各项不为零的常数列.例:1在等比数列中,和是方程的两个根,则( ) 2. 在等比数列,已知,则= 3.等比数列的各项为正数,且( ) A12 B10 C8 D2+ 4.(2009广东卷理)已知等比数列满足,且,则当时, (

12、 ) A. B. C. D. (四)、等比数列的前n项和,例:1.已知等比数列的首相,公比,则其前n项和 2(2006年北京卷)设,则等于( )AB C D3(1996全国文,21)设等比数列an的前n项和为Sn,若S3S62S9,求数列的公比q; (五). 等比数列的前n项和的性质若数列是等比数列,是其前n项的和,那么,成等比数列.例:1.(2009辽宁卷理)设等比数列 的前n 项和为,若 =3 ,则 = A. 2 B. C. D.32.一个等比数列前项的和为48,前2项的和为60,则前3项的和为( )A83 B108 C75 D633.已知数列是等比数列,且 (六)、等比数列的判定法(1)

13、定义法:为等比数列;(2)中项法:为等比数列; (3)通项公式法:为等比数列; (4)前项和法:为等比数列。 为等比数列。例:1.已知数列的通项为,则数列为 ( )A.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 D.无法判断2.已知数列满足,则数列为 ( )A.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 D.无法判断3.已知一个数列的前n项和,则数列为( )A.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 D.无法判断四、求数列通项公式方法(1)公式法(定义法)根据等差数列、等比数列的定义求通项例:1已知等差数列满足:, 求;2.等比数列的各项均为正数,

14、且,求数列的通项公式3.已知数列满足 (),求数列的通项公式;4. 已知数列满足且(),求数列的通项公式;5.数列已知数列满足则数列的通项公式= (2)累加法1、累加法 适用于: 若,则 两边分别相加得 例:1.已知数列满足,求数列的通项公式。2. 已知数列满足,求数列的通项公式。3. 已知数列满足,求数列的通项公式。(3)累乘法适用于: 若,则两边分别相乘得,例:1. 已知数列满足,求数列的通项公式。2. 已知数列满足,求。3.已知, ,求。(4) 待定系数法 适用于例:1. 已知数列中,求数列的通项公式。2. (2006,重庆,文,14)在数列中,若,则该数列的通项_3.已知数列满足求数列

15、的通项公式;(5)递推公式中既有 分析:把已知关系通过转化为数列或的递推关系,然后采用相应的方法求解。1. (2005北京卷)数列an的前n项和为Sn,且a1=1,n=1,2,3,求a2,a3,a4的值及数列an的通项公式 2.(2005山东卷)已知数列的首项前项和为,且,证明数列是等比数列(6)取倒数法。五、数列求和1直接用等差、等比数列的求和公式求和。 公比含字母时一定要讨论2错位相减法求和:如:例:1求和 2.求和:3裂项相消法求和:把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项。常见拆项: 数列是等差数列,数列的前项和例:1.数列的前项和为,若,则等于()A1 B C D2.已知数列的通项公式为,求前项的和;4.已知数列的通项公式为,设,求5求。3.已知等差数列满足, .(1)求数列的通项公式及 (2)求数列的前n项和7.已知等差数列满足:,的前n项和(1)求及(2)令(),求数列前n项和

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