2022年全等三角形 2.pdf

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1、解答题（共30 小题）1 （2010?顺义区）已知：如图，AB=AC ，点 D 是 BC 的中点， AB 平分 DAE ，AEBE，垂足为E求证： AD=AE 2 （2010?十堰）如图， ABC 中， AB=AC ， BDAC，CE AB求证： BD=CE 3 （2008?台州）CD 经过 BCA 顶点 C 的一条直线， CA=CB E，F 分别是直线CD 上两点， 且 BEC=CFA= （1）若直线CD 经过 BCA 的内部，且E，F 在射线 CD 上，请解决下面两个问题： 如图 1，若 BCA=90 ， =90 ，则 BE_CF；EF_|BEAF|（填 “ ” ，“ ” 或“ =” ）

2、； 如图 2，若 0 BCA 180 ，请添加一个关于与 BCA 关系的条件_，使 中的两个结论仍然成立，并证明两个结论成立（2）如图 3，若直线 CD 经过 BCA 的外部， =BCA ，请提出 EF，BE，AF 三条线段数量关系的合理猜想（不要求证明）4 （2007?绍兴）课外兴趣小组活动时，许老师出示了如下问题：如图1，己知四边形ABCD 中， AC 平分 DAB ，DAB=60 ， B 与 D 互补，求证： AB+AD=AC 小敏反复探索，不得其解她想，若将四边形ABCD 特殊化，看如何解决该问题（1）特殊情况入手添加条件：“ B=D” ，如图 2，可证 AB+AD=AC； （请你完成

3、此证明）（2）解决原来问题受到（1）的启发，在原问题中，添加辅助线：如图3，过 C 点分别作 AB 、AD 的垂线，垂足分别为 E、F （请你补全证明）名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 41 页 - - - - - - - - - 5 （2005?内江）如图，将等腰直角三角形ABC 的直角顶点置于直线l 上，且过A，B 两点分别作直线l 的垂线，垂足分别为D，E，请你在图中找出一对全等三角形，并写出证明它们全等的过程6 （2002?呼和浩特

4、）如图， ABC 中，ACB=90 ，AC=BC ，AE 是 BC 边上的中线， 过 C 作 CFAE，垂足为 F，过 B 作 BD BC 交 CF 的延长线于D（1）求证： AE=CD ；（2）若 AC=12cm，求 BD 的长7把两个含有45 角的大小不同的直角三角板如图放置，点D 在 BC 上，连接BE，AD ，AD 的延长线交BE 于点F说明： AFBE8如图，在 ABC 中， AB=AC ，DE 是过点 A 的直线， BD DE 于 D，CE DE 于点 E；（1）若 B、C 在 DE 的同侧（如图所示）且AD=CE 求证： AB AC；名师归纳总结 精品学习资料 - - - - -

5、 - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 41 页 - - - - - - - - - （2）若 B、C 在 DE 的两侧（如图所示） ，其他条件不变，AB 与 AC 仍垂直吗？若是请给出证明；若不是，请说明理由9如图， ABC 中， ABC= BAC=45 ，点 P在 AB 上， AD CP，BE CP，垂足分别为D，E，已知 DC=2，求 BE 的长10如图，已知在ABC 中， AB=AC ， BAC=90 ，分别过B、C 向过 A 的直线作垂线，垂足分别为E、F（1）如图 过 A 的直线

6、与斜边BC 不相交时，求证：EF=BE+CF ；（2）如图 过 A 的直线与斜边BC 相交时，其他条件不变，若BE=10，CF=3，求： FE 长11如图，已知AB=AC ，BDAC 于 D，CEAB 于 E，BD、CE 相交于 F，请说明BE=CD 12如图 1，OA=2 ，OB=4 ，以 A 点为顶点、 AB 为腰在第三象限作等腰RtABC （1）求 C 点的坐标；（2） 如图 2， P 为 y 轴负半轴上一个动点，当 P点向 y 轴负半轴向下运动时，以 P 为顶点，PA 为腰作等腰RtAPD ，过 D 作 DEx 轴于 E 点，求 OPDE 的值名师归纳总结 精品学习资料 - - - -

7、 - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 41 页 - - - - - - - - - 13如图，等腰直角ACB ， ACB=90 ，CA=CB 操作：如图1，过点 A 任作一条直线（不经过点C 和点 B）交 BC 所在直线于点D，过点 B 作 BFAD 交 AD 于点F，交 AC 所在直线于点E，连接 DE（1）猜想 CDE 的形状；（2）请你利用图2、图 3 作与上述位置不同的直线，然后按上述方法操作画出相应的图形；（3）在经历（ 2）之后，若你认为（1）中的结论是成立的，请你利用图2

8、 加以证明；若你认为不成立，请你利用其中一图说明理由14如图， A= B=90 ，E 是 AB 上的一点，且AE=BC ， 1=2（1）Rt ADE 与 RtBEC 全等吗？并说明理由；（2）CDE 是不是直角三角形？并说明理由15 （2012?珠海）如图，把正方形ABCD 绕点 C 按顺时针方向旋转45 得到正方形A B CD（此时，点B 落在对角线 AC 上，点 A 落在 CD 的延长线上） ，A B 交 AD 于点 E，连接 AA 、CE求证： （1）ADA CDE ；（2）直线 CE 是线段 AA 的垂直平分线名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - -

9、- - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 41 页 - - - - - - - - - 16 （2012?镇江）如图，在四边形ABCD 中， AD BC，E 是 AB 的中点，连接DE 并延长交CB 的延长线于点F，点 G 在边 BC 上，且 GDF=ADF （1）求证： ADE BFE；（2）连接 EG，判断 EG 与 DF 的位置关系并说明理由17 （2012?岳阳） （1）操作发现：如图 ，D 是等边 ABC 边 BA 上一动点（点D 与点 B 不重合），连接 DC，以DC 为边在 BC 上方作等边 DCF，连接 A

10、F你能发现线段AF 与 BD 之间的数量关系吗？并证明你发现的结论（2）类比猜想：如图 ，当动点D 运动至等边 ABC 边 BA 的延长线上时，其他作法与（1）相同，猜想AF 与BD 在（ 1）中的结论是否仍然成立？（3）深入探究：如图 ，当动点 D 在等边 ABC 边 BA 上运动时（点D 与点 B 不重合）连接DC，以 DC 为边在 BC 上方、下方分别作等边DCF 和等边 DCF，连接 AF、BF，探究 AF、BF 与 AB 有何数量关系？并证明你探究的结论如图 ，当动点 D 在等边 边 BA 的延长线上运动时，其他作法与图 相同，中的结论是否成立？若不成立，是否有新的结论？并证明你得出

11、的结论18 （2012?扬州）如图，在四边形ABCD 中， AB=BC ， ABC= CDA=90 ，BEAD ，垂足为 E求证： BE=DE 19 （2012?烟台）（1）问题探究名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 41 页 - - - - - - - - - 如图 1， 分别以 ABC 的边 AC 与边 BC 为边，向ABC 外作正方形ACD1E1和正方形BCD2E2，过点 C 作直线 KH交直线 AB 于点 H，使 AHK= ACD1作

12、 D1MKH ，D2NKH ，垂足分别为点M，N试探究线段D1M 与线段D2N 的数量关系，并加以证明（2）拓展延伸 如图 2，若将 “ 问题探究 ” 中的正方形改为正三角形，过点C 作直线 K1H1，K2H2，分别交直线AB 于点 H1，H2，使 AH1K1=BH2K2=ACD1作 D1MK1H1，D2NK2H2，垂足分别为点M，ND1M=D2N 是否仍成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由 如图 3，若将 中的 “ 正三角形 ” 改为 “ 正五边形 ” ，其他条件不变D1M=D2N 是否仍成立？（要求：在图3 中补全图形，注明字母，直接写出结论，不需证明）20 （2012?襄阳）如图，

13、在ABC 中， AB=AC ，AD BC 于点 D，将 ADC 绕点 A 顺时针旋转，使AC 与 AB 重合，点 D 落在点 E 处， AE 的延长线交CB 的延长线于点M，EB 的延长线交AD 的延长线于点N求证： AM=AN 21 （2012?泰安）如图，在ABC 中， ABC=45 ，CDAB，BEAC ，垂足分别为D，E，F 为 BC 中点， BE与 DF，DC 分别交于点G，H， ABE= CBE（1）线段 BH 与 AC 相等吗？若相等给予证明，若不相等请说明理由；（2）求证： BG2GE2=EA222 （2012?沈阳）已知，如图 ， MON=60 ，点 A， B 为射线 OM，

14、ON 上的动点（点A，B 不与点 O 重合），且 AB=4，在 MON 的内部， AOB 的外部有一点P，且 AP=BP， APB=120 （1）求 AP 的长；（2）求证：点P 在 MON 的平分线上名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 41 页 - - - - - - - - - （3）如图 ，点 C， D， E，F 分别是四边形AOBP 的边 AO ，OB，BP，PA 的中点，连接CD，DE，EF，FC，OP 当 AB OP 时，请直接写

15、出四边形CDEF 的周长的值； 若四边形 CDEF 的周长用t 表示，请直接写出t 的取值范围23 （2012?山西） 问题情境： 将一副直角三角板（RtABC 和 RtDEF ）按图 1 所示的方式摆放，其中 ACB=90 ，CA=CB ， FDE=90 ，O 是 AB 的中点，点D 与点 O 重合， DFAC 于点 M，DE BC 于点 N，试判断线段OM与 ON 的数量关系，并说明理由探究展示：小宇同学展示出如下正确的解法：解： OM=ON ，证明如下：连接 CO，则 CO 是 AB 边上中线，CA=CB ， CO 是 ACB 的角平分线 （依据 1）OMAC，ONBC， OM=ON （

16、依据 2）反思交流：（1）上述证明过程中的“ 依据 1” 和“ 依据 2” 分别是指：依据 1：_依据 2：_（2）你有与小宇不同的思考方法吗？请写出你的证明过程拓展延伸：（3）将图 1 中的 RtDEF 沿着射线BA 的方向平移至如图2 所示的位置，使点D 落在 BA 的延长线上，FD 的延长线与 CA 的延长线垂直相交于点M，BC 的延长线与DE 垂直相交于点N，连接 OM 、ON，试判断线段OM、ON的数量关系与位置关系，并写出证明过程24 （2012?南充）在RtPOQ 中， OP=OQ=4，M 是 PQ 的中点，把一三角尺的直角顶点放在点M 处，以 M 为旋转中心，旋转三角尺，三角尺

17、的两直角边与POQ 的两直角边分别交于点A、B（1）求证： MA=MB ；（2）连接 AB，探究：在旋转三角尺的过程中，AOB 的周长是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 41 页 - - - - - - - - - 25 （2012?泸州）如图，ABC 是等边三角形，D 是 AB 边上的一点，以CD 为边作等边三角形CDE，使点 E、A在直线 DC 的同侧，连接AE求证： AE BC26

18、 （2012?阜新）（1）如图，在 ABC 和 ADE 中， AB=AC ，AD=AE ， BAC= DAE=90 当点 D 在 AC 上时，如图1，线段 BD 、CE 有怎样的数量关系和位置关系？直接写出你猜想的结论； 将图 1 中的 ADE 绕点 A 顺时针旋转角 （0 90 ） ， 如图 2， 线段 BD 、 CE 有怎样的数量关系和位置关系？请说明理由（2）当 ABC 和ADE 满足下面甲、乙、丙中的哪个条件时，使线段BD 、CE 在（ 1）中的位置关系仍然成立？不必说明理由甲： AB：AC=AD ：AE=1 ， BAC= DAE 90 ；乙： AB：AC=AD ：AE 1， BAC=

19、 DAE=90 ；丙： AB：AC=AD ：AE 1， BAC= DAE 90 27 （2012?长春）感知：如图 ，点 E 在正方形ABCD 的边 BC 上， BFAE 于点 F，DGAE 于点 G，可知ADG BAF （不要求证明）拓展：如图 ，点 B、C 分别在 MAN 的边 AM 、AN 上，点 E、F 在 MAN 内部的射线AD 上， 1、 2 分别是ABE 、CAF 的外角已知AB=AC ， 1=2=BAC ，求证： ABE CAF应用：如图 ，在等腰三角形ABC 中， AB=AC ，ABBC点 D 在边 BC 上， CD=2BD ，点 E、F 在线段 AD 上，1=2=BAC 若

20、 ABC 的面积为9，则 ABE 与CDF 的面积之和为_名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 41 页 - - - - - - - - - 28 （2011?绍兴）数学课上，李老师出示了如下框中的题目小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：（1）特殊情况 ?探索结论当点 E 为 AB 的中点时， 如图 1， 确定线段AE 与的 DB 大小关系 请你直接写出结论： AE_DB （填 “ ” ，“ ” 或 “ =” ） （2）特例启发，解答題目解：

21、题目中， AE 与 DB 的大小关系是：AE_DB （填 “ ” ，“ ” 或“ =” ） 理由如下：如图 2，过点 E 作 EFBC，交 AC 于点 F， （请你完成以下解答过程）（3）拓展结论，设计新题在等边三角形ABC 中，点 E 在直线 AB 上，点 D 在直线 BC 上，且 ED=EC若ABC 的边长为1，AE=2，求 CD的长（请你直接写出结果）29 （2011?沈阳）已知， ABC 为等边三角形，点D 为直线 BC 上一动点（点D 不与 B、C 重合） 以 AD 为边作菱形 ADEF ，使 DAF=60 ，连接 CF（1）如图 1，当点 D 在边 BC 上时， 求证： ADB=

22、AFC ； 请直接判断结论AFC= ACB+ DAC 是否成立；（2） 如图 2， 当点 D 在边 BC 的延长线上时， 其他条件不变， 结论 AFC= ACB+ DAC 是否成立？请写出AFC 、ACB 、 DAC 之间存在的数量关系，并写出证明过程；（3）如图 3，当点 D 在边 CB 的延长线上时，且点A、F 分别在直线BC 的异侧，其他条件不变，请补全图形，并直接写出 AFC 、 ACB 、 DAC 之间存在的等量关系名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - -

23、- 第 9 页，共 41 页 - - - - - - - - - 30 （2011?山西）如图（ 1） ，RtABC 中， ACB=90 ，CDAB，垂足为 DAF 平分 CAB ，交 CD 于点 E，交CB 于点 F （1）求证： CE=CF（2）将图（ 1）中的 ADE 沿 AB 向右平移到 A D E 的位置，使点E 落在 BC 边上，其它条件不变，如图（2）所示试猜想： BE 与 CF 有怎样的数量关系？请证明你的结论名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - -

24、- 第 10 页，共 41 页 - - - - - - - - - 参考答案与试题解析一解答题（共30 小题）1 （2010?顺义区）已知：如图，AB=AC ，点 D 是 BC 的中点， AB 平分 DAE ，AEBE，垂足为E求证： AD=AE 考点 ： 直角三角形全等的判定；全等三角形的性质。专题 ： 证明题。分析：求简单的线段相等，可证线段所在的三角形全等，结合本题，证ADB AEB 即可解答：证明： AB=AC ，点 D 是 BC 的中点， ADB=90 ， AEEB， E=ADB=90 ， AB 平分 DAE ， 1=2；在 ADB 和 AEB 中， ADB AEB （AAS ） ，

25、 AD=AE 点评：此题考查简单的线段相等，可以通过全等三角形来证明，要判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件2 （2010?十堰）如图， ABC 中， AB=AC ， BDAC，CE AB求证： BD=CE 考点 ： 直角三角形全等的判定；全等三角形的性质。专题 ： 证明题。分析：欲证 BD 、CE 两边相等，只需证明这两边所在的ABD 与ACE 全等，这两个三角形，有一对直角相等，名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - -

26、 - - - - - - - - - - 第 11 页，共 41 页 - - - - - - - - - 公共角 A，AB=AC ，所以两三角形全等解答：证明： BD AC，CEAB ， ADB= AEC=90 在 ABD 和 ACE 中， ABD ACE （AAS ） BD=CE 点评：本题考查证明两边相等的方法，证明这两边所在的三角形全等选择要证的三角形时要结合图形及已知条件3 （2008?台州）CD 经过 BCA 顶点 C 的一条直线， CA=CB E，F 分别是直线CD 上两点， 且 BEC=CFA= （1）若直线CD 经过 BCA 的内部，且E，F 在射线 CD 上，请解决下面两个问

27、题： 如图 1，若 BCA=90 ， =90 ，则 BE=CF；EF=|BEAF|（填 “ ” ，“ ” 或“ =” ） ； 如图 2，若 0 BCA 180 ，请添加一个关于与 BCA 关系的条件 +BCA=180 ，使 中的两个结论仍然成立，并证明两个结论成立（2）如图 3，若直线 CD 经过 BCA 的外部， =BCA ，请提出 EF，BE，AF 三条线段数量关系的合理猜想（不要求证明）考点 ： 直角三角形全等的判定；三角形内角和定理。专题 ： 几何综合题。分析：由题意推出 CBE= ACF ，再由 AAS 定理证 BCE CAF，继而得答案解答：解： （1） BCA=90 ， =90

28、， BCE+ CBE=90 ， BCE+ ACF=90 ， CBE= ACF ， CA=CB ， BEC= CFA； BCE CAF ， BE=CF；EF=|BE AF| 所填的条件是： + BCA=180 证明：在 BCE 中， CBE+ BCE=180 BEC=180 BCA=180 ， CBE+ BCE= BCA 又 ACF+ BCE= BCA ， CBE= ACF ，又 BC=CA ， BEC= CFA， BCE CAF （AAS ） BE=CF，CE=AF ，又 EF=CFCE， EF=|BEAF|名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -

29、精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 12 页，共 41 页 - - - - - - - - - （ 2）EF=BE+AF 点评：本题综合考查全等三角形、等边三角形和四边形的有关知识注意对三角形全等，相似的综合应用4 （2007?绍兴）课外兴趣小组活动时，许老师出示了如下问题：如图1，己知四边形ABCD 中， AC 平分 DAB ，DAB=60 ， B 与 D 互补，求证： AB+AD=AC 小敏反复探索，不得其解她想，若将四边形ABCD 特殊化，看如何解决该问题（1）特殊情况入手添加条件：“ B=D” ，如图 2，可证 AB+AD=AC；

30、 （请你完成此证明）（2）解决原来问题受到（1）的启发，在原问题中，添加辅助线：如图3，过 C 点分别作 AB 、AD 的垂线，垂足分别为 E、F （请你补全证明）考点 ： 直角三角形全等的判定。专题 ： 证明题；开放型。分析：（1）如果： “ B=D” ，根据 B 与 D 互补，那么 B=D=90 ，又因为 DAC= BAC=30 ，因此我们可在直角三角形ADC 和 ABC 中得出 AD=AB=AC ，那么 AD+AB=AC （ 2）按（ 1）的思路，作好辅助线后，我们只要证明三角形CFD 和 BCD 全等即可得到（1）的条件根据AAS 可证两三角形全等，DF=BE 然后按照（ 1）的解法进

31、行计算即可解答：证明：（1） B=D=90 ， CAD= CAB=30 ， AB=AC ，AD= AB+AD=（ 2）由（ 1）知， AE+AF=AC， AC 为角平分线，CFCD，CEAB ， CE=CF而 ABC 与 D 互补， ABC 与 CBE 也互补， D=CBE 在 RtCDF 与 RtCBE 中， RtCDFRtCBE DF=BE AB+AD=AB+（AF+FD ）=（AB+BE ）+AF=AE+AF=AC点评：本题考查了直角三角形全等的判定及性质；通过辅助线来构建全等三角形是解题的常用方法，也是解决本题的关键名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - -

32、 - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 13 页，共 41 页 - - - - - - - - - 5 （2005?内江）如图，将等腰直角三角形ABC 的直角顶点置于直线l 上，且过A，B 两点分别作直线l 的垂线，垂足分别为D，E，请你在图中找出一对全等三角形，并写出证明它们全等的过程考点 ： 直角三角形全等的判定。专题 ： 探究型。分析：分析图可知，全等三角形为：ACD CBE根据这两个三角形中的数量关系选择ASA 证明全等解答：解：全等三角形为：ACD CBE证明如下：由题意知 CAD+ ACD=90 ， ACD+ BC

33、E=90 ， CAD= BCE在 ACD 与 CBE 中， ACD CBE（AAS ） 点评：本题考查三角形全等的判定方法和全等三角形的性质，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、 SAS、 ASA 、AAS 、HL注意： AAA 、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角6 （2002?呼和浩特）如图， ABC 中，ACB=90 ，AC=BC ，AE 是 BC 边上的中线， 过 C 作 CFAE，垂足为 F，过 B 作 BD BC 交 CF 的延长线于D（1）求证： AE=CD ；（2）若 AC=12cm，求 BD 的

34、长考点 ： 直角三角形全等的判定；全等三角形的性质。专题 ： 计算题；证明题。分析：（1）证两条线段相等，通常用全等，本题中的AE 和 CD 分别在三角形AEC 和三角形CDB 中，在这两个三角形中，已经有一组边相等，一组角相等了，因此只需再找一组角即可利用角角边进行解答（ 2）由（ 1）得 BD=EC=BC=AC，且 AC=12，即可求出BD 的长解答：（1）证明： DBBC，CFAE， DCB+ D=DCB+ AEC=90 D=AEC 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - -

35、 - - - - 第 14 页，共 41 页 - - - - - - - - - 又 DBC= ECA=90 ，且 BC=CA ， DBC ECA （AAS ） AE=CD （ 2）解：由（ 1）得 AE=CD ，AC=BC ， CDB AEC （HL） BD=EC=BC=AC，且 AC=12 BD=6 点评：三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件7把两个含有45 角的大小不同的直角三角板如图放置，点D 在 BC 上，连接BE，AD ，AD 的延长线交B

36、E 于点F说明： AFBE考点 ： 直角三角形全等的判定；全等三角形的性质。专题 ： 证明题。分析：可通过全等三角形将相等的角进行转换来得出结论本题中我们可通过证明三角形BEC 和 ACD 全等得出 FBD= CAD ，根据 CAD+ CDA=90 ，而 BDF= ADC ，因此可得出BFD=90 ，进而得出结论那么证明三角形BED 和 ACD 就是解题的关键，两直角三角形中，EC=CD，BC=AC ，两直角边对应相等，因此两三角形就全等了解答：证明： AFBE，理由如下：由题意可知DEC=EDC=45 ，CBA= CAB=45 ， EC=DC，BC=AC ，又 DCE=DCA=90 ， EC

37、D 和 BCA 都是等腰直角三角形， EC=DC，BC=AC ， ECD= ACB=90 在 BEC 和ADC 中EC=DC ， ECB=DCA ，BC=AC ， BEC ADC （SAS） EBC= DAC DAC+ CDA=90 ， FDB= CDA ， EBC+ FDB=90 BFD=90 ，即 AFBE点评：本题考查了全等三角形的判定，通过全等三角形来将相等的角进行适当的转换是解题的关键8如图，在 ABC 中， AB=AC ，DE 是过点 A 的直线， BD DE 于 D，CE DE 于点 E；（1）若 B、C 在 DE 的同侧（如图所示）且AD=CE 求证： AB AC；名师归纳总结

38、 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 15 页，共 41 页 - - - - - - - - - （2）若 B、C 在 DE 的两侧（如图所示） ，其他条件不变，AB 与 AC 仍垂直吗？若是请给出证明；若不是，请说明理由考点 ： 直角三角形全等的判定；全等三角形的性质。专题 ： 证明题；探究型。分析：（1）由已知条件，证明ABD ACE ，再利用角与角之间的关系求证BAD+ CAE=90 ，即可证明AB AC ；（ 2）同（1） ，先证 ABD ACE ，再利用角与

39、角之间的关系求证BAD+ CAE=90 ，即可证明ABAC 解答：（1）证明： BDDE，CEDE， ADB= AEC=90 ，在 RtABD 和 RtACE 中， RtABD RtACE DAB= EAC， DBA= ACE DAB+ DBA=90 ， EAC+ ACE=90 ， BAD+ CAE=90 BAC=180 （ BAD+ CAE ）=90 ABAC （ 2）AB AC 理由如下：同（ 1）一样可证得RtABD RtACE DAB= ECA， DBA= EAC， CAE+ ECA=90 ， CAE+ BAD=90 ，即 BAC=90 ， ABAC 点评：三角形全等的判定是中考的热点

40、，一般以考查三角形全等的方法为主，借助全等三角形的性质得到相等的名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 16 页，共 41 页 - - - - - - - - - 角，然后证明垂直是经常使用的方法，注意掌握、应用9如图， ABC 中， ABC= BAC=45 ，点 P在 AB 上， AD CP，BE CP，垂足分别为D，E，已知 DC=2，求 BE 的长考点 ： 直角三角形全等的判定；全等三角形的性质。分析：已知了 CD 的长， 求 BE 的长， 可通过证明

41、三角形BEC 和 ACD 全等来得出 这两个三角形中已知的条件只有一组直角，根据ABC= BAC=45 ，因此 ACB=90 ，AC=BC ，我们发现 DAC 和 BCE 同为 ACD的余角，因此DAC= BCE，这样就构成了三角形ACD 和 BCE 全等的条件，两三角形全等这样就能求出 BE、CD 的关系就能得出BE 的长解答：解： ABC= BAC=45 ACB=90 ，AC=BC DAC+ ACD=90 ， BCE+ACD=90 DAC= BCE 又 ADC= CEB ACD CEB BE=CD=2 点评：此题考查简单的线段相等，可以通过全等三角形来证明，等腰直角三角形在直角三角形的题目

42、中经常出现，注意应用等角对等边来解题10如图，已知在ABC 中， AB=AC ， BAC=90 ，分别过B、C 向过 A 的直线作垂线，垂足分别为E、F（1）如图 过 A 的直线与斜边BC 不相交时，求证：EF=BE+CF ；（2）如图 过 A 的直线与斜边BC 相交时，其他条件不变，若BE=10，CF=3，求： FE 长考点 ： 直角三角形全等的判定；全等三角形的性质。专题 ： 计算题；证明题。分析：此题根据已知条件容易证明BEA AFC ，然后利用对应边相等就可以证明题目的结论；（2）根据（ 1）知道 BEA AFC 仍然成立，再根据对应边相等就可以求出EF 了解答：（1）证明： BEEA

43、，CFAF， BAC= BEA= CFE=90 ， EAB+ CAF=90 ， EBA+ EAB=90 ， CAF= EBA ，在 ABE 和 AFC 中， BEA= AFC=90 ， EBA= CAF ，AB=AC ，名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 17 页，共 41 页 - - - - - - - - - BEA AFC EA=FC ，BE=AF EF=EA+AF （ 2）解： BEEA，CF AF， BAC= BEA= CFE=90 ， EAB

44、+ CAF=90 ， ABE+ EAB=90 ， CAF= ABE ，在 ABE 和 ABF 中， BEA= AFC=90 ， EBA= CAF ，AB=AC ， BEA AFC EA=FC=3 ，BE=AF=10 EF=AFCF=103=7点评：此题主要考查了全等三角形的性质与判定，利用它们解决问题，经常用全等来证线段和的问题11如图，已知AB=AC ，BDAC 于 D，CEAB 于 E，BD、CE 相交于 F，请说明BE=CD 考点 ： 直角三角形全等的判定；全等三角形的性质。专题 ： 证明题。分析：根据已知利用AAS 判定 ABD ACE ，则 AD=AE ，因为 AC=AB ，得证解答

45、：解：理由： AB=AC ， ADB= AEC=90 ， A= A， ABD ACE AD=AE AC=AB ， ACAD=AB AE BE=CD 点评：此题考查学生对全等三角形的判定方法的理解及运用，本题比较简单12如图 1，OA=2 ，OB=4 ，以 A 点为顶点、 AB 为腰在第三象限作等腰RtABC （1）求 C 点的坐标；（2） 如图 2， P 为 y 轴负半轴上一个动点，当 P点向 y 轴负半轴向下运动时，以 P 为顶点，PA 为腰作等腰RtAPD ，过 D 作 DEx 轴于 E 点，求 OPDE 的值考点 ： 直角三角形全等的判定。专题 ： 动点型。分析： 如图 1，过 C 作

46、CM x 轴于 M 点，则可以求出MAC OBA ，可得 CM=OA=2 ，MA=OB=4 ，故点名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 18 页，共 41 页 - - - - - - - - - C 的坐标为（6， 2） 如图 2，过 D 作 DQOP 于 Q 点，则 DE=OQ 利用三角形全等的判定定理可得 AOP PQD（ AAS ）进一步可得PQ=OA=2 ，即 OP DE=2解答：解： （1）如图 1，过 C 作 CM x 轴于 M 点， MAC+

47、 OAB=90 ， OAB+ OBA=90 ，则 MAC= OBA ，在 MAC 和OBA 中 MAC OBA （AAS ） ， CM=OA=2 ，MA=OB=4 ， OM=OA+AM=2+4=6，点 C 的坐标为（6， 2） （ 2）如图 2，过 D 作 DQOP 于 Q 点，则 DE=OQ OPDE=OPOQ=PQ， APO+QPD=90 ， APO+ OAP=90 ， QPD=OAP，在 AOP 和 PQD 中， AOP PQD（AAS ） PQ=OA=2 即 OPDE=2 点评：本题重点考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS 、ASA 、SAS、SSS，直

48、角三角形可用HL 定理，关键还要巧妙作出辅助线，再结合坐标轴才能解出，本题难度较大13如图，等腰直角ACB ， ACB=90 ，CA=CB 操作：如图1，过点 A 任作一条直线（不经过点C 和点 B）交 BC 所在直线于点D，过点 B 作 BFAD 交 AD 于点F，交 AC 所在直线于点E，连接 DE名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 19 页，共 41 页 - - - - - - - - - （1）猜想 CDE 的形状；（2）请你利用图2、图 3 作

49、与上述位置不同的直线，然后按上述方法操作画出相应的图形；（3）在经历（ 2）之后，若你认为（1）中的结论是成立的，请你利用图2 加以证明；若你认为不成立，请你利用其中一图说明理由考点 ： 直角三角形全等的判定。专题 ： 探究型。分析：（1）猜想 CDE 是等腰直角三角形；（ 2）据要求画出图形；（ 3）只要证得 ACD BEC，可得到CD=CE ，即可得到结论；解答：解： （1）由 AC=BC ， ACD= BCE，容易猜想到 ACD BEC，那么 CD=CE，则 CDE 是等腰直角三角形；（ 2）据要求画出图形如下：（ 3）结论成立；证明： ACB=90 ，AFBE， FDB+ B=90 B

50、+CEB=90 ， FDB= CEB；又 FDB= ADC （对顶点角相等） ， ADC= CEB；在直角三角形ACD 和 BCE 中， CA=CB ， ADC= CEB， ACB= BCE=90 ， ACD BEC； CD=CE， CDE 是等腰直角三角形即猜想CDE 是等腰直角三角形结论成立点评：此题主要考查直角三角形全等的判定，要利用已知条件寻找缺少的条件判定三角形全等，解题关键在于证明两腰相等14如图， A= B=90 ，E 是 AB 上的一点，且AE=BC ， 1=2（1）Rt ADE 与 RtBEC 全等吗？并说明理由；（2）CDE 是不是直角三角形？并说明理由名师归纳总结 精品学