2022年全等三角形问题中常见的8种辅助线的作法有答案 .pdf

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1、全等三角形问题中常见的辅助线的作法( 有答案 ) 总论：全等三角形问题最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，构造二个角之间的相等1. 等腰三角形“三线合一”法：遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题2. 倍长中线：倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形3. 角平分线在三种添辅助线4. 垂直平分线联结线段两端5. 用“截长法”或“补短法” ：遇到有二条线段长之和等于第三条线段的长，6. 图形补全法：有一个角为60 度或 120 度的把该角添线后构成等边三角形7. 角度数为 30、60 度的作垂线法：遇到三角形中的一个角为30 度或 60 度，可以从角一边

2、上一点向角的另一边作垂线，目的是构成30-60-90的特殊直角三角形，然后计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角。从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。8. 计算数值法：遇到等腰直角三角形，正方形时，或30-60-90的特殊直角三角形，或40-60-80 的特殊直角三角形, 常计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角，从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。常见辅助线的作法有以下几种：最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，二个角之间的相等。1)遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换

3、中的“对折”法构造全等三角形2)遇到三角形的中线，倍长中线， 使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”法构造全等三角形3)遇到角平分线在三种添辅助线的方法，（1）可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 20 页DCBAEDFCBA线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理 （2）可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交，形成一对全等三角形。（ 3）可以在该角的两边上，距离角的顶点相等长度的位置

4、上截取二点，然后从这两点再向角平分线上的某点作边线，构造一对全等三角形。4)过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形， 利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”5)截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长， 是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目6)已知某线段的垂直平分线，那么可以在垂直平分线上的某点向该线段的两个端点作连线，出一对全等三角形。特殊方法： 在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答一、倍长中线（线段）

5、造全等例 1、 （ “希望杯” 试题）已知，如图 ABC中，AB=5 ， AC=3 ， 则中线 AD的取值范围是_. 例 2、如图， ABC中， E、F 分别在 AB 、AC上， DE DF，D是中点，试比较BE+CF与 EF的大小 . 例 3、如图， ABC中， BD=DC=AC，E是 DC的中点，求证：AD平分 BAE. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 20 页EDCBA应用：1、 （ 09崇文二模）以ABC的两边 AB、AC 为腰分别向外作等腰RtABD和等腰RtACE，90 ,BADCAE连接 DE，M、N分别是

6、 BC、DE 的中点探究： AM与DE的位置关系及数量关系（ 1）如图当ABC为直角三角形时，AM与DE的位置关系是，线段 AM与DE的数量关系是；（ 2） 将图中的等腰RtABD绕点 A沿逆时针方向旋转(0AD+AE. EDCBA四、借助角平分线造全等1、如图，已知在ABC中， B=60， ABC的角平分线AD,CE相交于点O ，求证： OE=OD 2、如图， ABC中， AD平分 BAC ，DG BC且平分 BC ，DE AB于 E，DF AC于 F. （1）说明 BE=CF的理由；（2）如果 AB=a，AC=b，求 AE 、BE的长 . EDGFCBA精选学习资料 - - - - - -

7、 - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 20 页NMEFACBAFEDCBA应用：1、如图， OP 是 MON 的平分线，请你利用该图形画一对以OP 所在直线为对称轴的全等三角形。请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：（1）如图， 在 ABC 中，ACB 是直角， B=60，AD、CE 分别是 BAC、BCA的平分线， AD、CE 相交于点 F。请你判断并写出FE 与 FD 之间的数量关系；（2）如图，在 ABC 中，如果 ACB 不是直角，而 (1)中的其它条件不变，请问，你在 (1)中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。五、旋转

8、例 1 正方形 ABCD 中，E为 BC上的一点， F 为 CD上的一点， BE+DF=EF ，求 EAF的度数 . 例 2 D 为等腰Rt ABC斜边 AB的中点， DM DN,DM,DN分别交 BC,CA于点 E,F。（1）当MDN绕点 D转动时，求证DE=DF 。（2）若 AB=2 ，求四边形DECF 的面积。(第 23 题图 ) O P A M N E B C D F A C E F B D 图图图精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 20 页例 3 如图，ABC是边长为3 的等边三角形，BDC是等腰三角形，且0120

9、BDC，以 D为顶点做一个060角，使其两边分别交AB于点 M ，交 AC于点 N，连接 MN ，则AMN的周长为；BCDNMA应用：1、 已 知 四 边 形ABCD中 ，ABAD，BCCD，ABBC，120ABCo，60MBNo，MBN绕B点旋转，它的两边分别交ADDC，（或它们的延长线）于EF，当MBN绕B点旋转到AECF时（如图1） ，易证AECFEF当MBN绕B点旋转到AECF时，在图2 和图 3 这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AECF，EF又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明（图 1）ABCDEFMN（图 2）ABCDEFMN（图 3）AB

10、CDEFMN精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 20 页2、 （西城 09 年一模） 已知 :PA=2,PB=4, 以 AB为一边作正方形ABCD, 使 P、D两点落在直线 AB的两侧 .(1) 如图 , 当 APB=45 时 , 求 AB及 PD的长 ; (2) 当 APB变化 , 且其它条件不变时, 求 PD的最大值 , 及相应 APB的大小 . 3、在等边ABC的两边AB、AC 所在直线上分别有两点M、N，D 为ABCV外一点，且60MDN,120BDC,BD=DC. 探究：当M、N 分别在直线AB 、AC 上移动时，

11、BM 、NC、MN 之间的数量关系及AMN的周长 Q 与等边ABC的周长 L 的关系图 1 图 2 图 3 （I）如图 1，当点 M、N 边 AB 、AC 上，且 DM=DN时， BM 、NC、MN 之间的数量关系是； 此时LQ；（II）如图 2，点 M、N 边 AB、AC 上，且当 DMDN 时，猜想（ I）问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明；（III ） 如图 3，当 M、 N 分别在边 AB 、CA 的延长线上时，若 AN=x，则 Q= （用x、L 表示）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 20 页DCBAE

12、DFCBA参考答案与提示一、倍长中线（线段）造全等例 1、 （ “希望杯” 试题）已知，如图 ABC中，AB=5 ， AC=3 ， 则中线 AD的取值范围是_. 解：延长AD至 E使 AE 2AD ，连 BE ，由三角形性质知AB-BE 2ADAB+BE 故 AD的取值范围是1AD4 例 2、如图， ABC中， E、F 分别在 AB 、AC上， DE DF，D是中点，试比较BE+CF与 EF的大小 . 解： ( 倍长中线 , 等腰三角形“三线合一”法) 延长 FD至 G使 FG2EF，连 BG ，EG, 显然 BG FC ，在 EFG中，注意到DE DF，由等腰三角形的三线合一知EG EF 在

13、 BEG中，由三角形性质知EGBG+BE 故： EFBE+FC 例 3、如图， ABC中， BD=DC=AC，E是 DC的中点，求证：AD平分 BAE. EDCBA解：延长AE至 G使 AG 2AE ，连 BG ，DG, 显然 DG AC ，GDC= ACD 由于 DC=AC ，故ADC= DAC 在 ADB与 ADG中，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 20 页 BDAC=DG ，AD AD ，ADB= ADC+ ACD= ADC+ GDC ADG 故 ADB ADG ，故有 BAD= DAG ，即 AD平分 BAE

14、应用：RtABD和 等 腰1、 （09崇文二模）以的两边AB、AC为腰分别向外作等腰RtACE，90 ,BADCAE连接 DE，M、N分别是 BC、DE 的中点探究： AM与DE的位置关系及数量关系（ 1）如图当ABC为直角三角形时，AM与DE的位置关系是，线段 AM与DE的数量关系是；（ 2） 将图中的等腰RtABD绕点 A沿逆时针方向旋转(090)后， 如图所示， （ 1）问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由二、截长补短1、如图，ABC中， AB=2AC ，AD平分BAC，且 AD=BD ，求证： CD AC 解： （截长法）在AB上取中点F，连 FD ADB是等腰三角形，F 是底

15、AB中点，由三线合一知DF AB ，故 AFD 90ABC精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 20 页EDCBAPQCBAADF ADC （SAS ）ACD AFD 90即： CD AC 2、如图， AD BC ，EA,EB分别平分 DAB,CBA ，CD过点 E，求证 ;ABAD+BC 解： （截长法）在AB上取点 F，使 AFAD ，连 FE ADE AFE （SAS ）ADE AFE ，ADE+ BCE 180AFE+BFE 180故 ECB EFB FBE CBE （AAS ）故有 BFBC 从而 ;ABAD+BC

16、 3、如图，已知在ABC 内，060BAC，040C，P，Q分别在 BC ，CA上，并且 AP ，BQ分别是BAC，ABC的角平分线。求证：BQ+AQ=AB+BP 解： （补短法 , 计算数值法）延长AB至 D，使 BD BP ，连 DP 在等腰 BPD中，可得 BDP 40从而 BDP 40 ACP ADP ACP （ASA ）故 AD AC 又 QBC 40 QCB 故 BQ QC BD BP 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 20 页DCBAP21DCBA从而 BQ+AQ=AB+BP 4、如图，在四边形ABCD中，

17、 BC BA,AD CD ，BD平分ABC，求证：0180CA解： （补短法）延长BA至 F，使 BFBC ，连 FD BDF BDC （SAS ）故 DFB DCB ，FDDC 又 AD CD 故在等腰 BFD中DFB DAF 故有 BAD+ BCD 1805、如图在 ABC中， AB AC ， 1 2，P为 AD上任意一点，求证;AB-ACPB-PC 解： （补短法）延长AC至 F，使 AFAB ，连 PD ABP AFP （SAS ）故 BP PF 由三角形性质知PB PC PF PC BF=BA+AF=BA+AC 从而PB=BE+CE+BCBF+BC=BA+AC+BC=PA例 2 如图

18、，在 ABC的边上取两点D 、E，且 BD=CE ，求证： AB+ACAD+AE. 证明：取 BC 中点 M,连 AM 并延长至 N,使 MN=AM, 连 BN,DN.BD=CE, DM=EM, DMNEMA(SAS), DN=AE, 同理 BN=CA. 延长 ND 交 AB 于 P,则 BN+BPPN,DP+PAAD, 相加得 BN+BP+DP+PAPN+AD, 各减去 DP,得 BN+ABDN+AD, AB+ACAD+AE 。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 20 页OEDCBA四、借助角平分线造全等1、如图，已知在

19、ABC中， B=60， ABC的角平分线AD,CE相交于点O，求证： OE=OD ，DC+AE =AC证明(角平分线在三种添辅助线, 计算数值法 )B=60度, 则BAC+BCA=120 度; AD,CE 均为角平分线 , 则OAC+OCA=60 度=AOE=COD; AOC=120 度. 在 AC 上截取线段 AF=AE, 连接 OF. 又 AO=AO; OAE=OAF .则OAEOAF(SAS),OE=OF;AE=AF; AOF=AOE=60 度. 则COF=AOC-AOF=60 度=COD; 又 CO=CO; OCD=OCF. 故OCDOCF(SAS),OD=OF;CD=CF. OE=O

20、D DC+AE=CF+AF=AC. 2、如图， ABC中， AD平分 BAC ，DG BC且平分 BC ，DE AB于 E，DF AC于 F. （1）说明 BE=CF的理由；（2）如果 AB=a，AC=b，求 AE 、BE的长 . 解： ( 垂直平分线联结线段两端) 连接 BD ，DC DG垂直平分BC ，故 BD DC 由于 AD平分 BAC ， DEAB于 E，DF AC于 F，故有ED DF 故 RTDBE RTDFC （HL）故有 BE CF。AB+AC 2AE AE （ a+b） /2 BE=(a-b)/2 EDGFCBA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结

21、 - - - - - - -第 15 页，共 20 页FEDCBA应用：1、如图， OP 是 MON 的平分线，请你利用该图形画一对以OP 所在直线为对称轴的全等三角形。请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：（1）如图， 在 ABC 中，ACB 是直角， B=60，AD、CE 分别是 BAC、BCA的平分线， AD、CE 相交于点 F。请你判断并写出FE 与 FD 之间的数量关系；（2）如图，在 ABC 中，如果 ACB 不是直角，而 (1)中的其它条件不变，请问，你在 (1)中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。五、旋转例 1 正方形 ABCD 中，E为 BC

22、上的一点， F 为 CD上的一点， BE+DF=EF ，求 EAF的度数 . 证明：将三角形 ADF 绕点 A 顺时针旋转 90 度，至三角形ABG 则 GE=GB+BE=DF+BE=EF 又 AE=AE ，AF=AG，所以三角形 AEF 全等于 AEG 所以 EAF=GAE=BAE+GAB= BAE+DAF 又EAF+BAE+DAF=90 所以 EAF=45 度例 2 D 为等腰Rt ABC斜边 AB的中点， DM DN,DM,DN分别交 BC,CA于点 E,F。(1) 当MDN绕点 D转动时，求证DE=DF 。(2) 若 AB=2，求四边形DECF 的面积。(第 23 题图 ) O P A

23、 M N E B C D F A C E F B D 图图图精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 20 页解： (计算数值法 ) （1）连接 DC ，D为等腰Rt ABC斜边 AB的中点，故有CD AB，CD DA CD平分 BCA 90， ECD DCA 45由于 DM DN ，有 EDN 90由于 CDAB ，有 CD A90从而 CDE FD A故有 CDE ADF （ASA ）故有 DE=DF （2）SABC=2, S四 DECF= SACD=1例 3 如图，ABC是边长为3 的等边三角形，BDC是等腰三角形，且01

24、20BDC，以 D为顶点做一个060角，使其两边分别交AB于点 M ，交 AC于点 N，连接 MN ，则AMN的周长为；解： (图形补全法 , “截长法”或“补短法”, 计算数值法 ) AC 的延长线与BD 的延长线交于点 F，在线段 CF 上取点 E，使 CEBM ABC 为等边三角形，BCD 为等腰三角形，且BDC=120 ， MBD= MBC+ DBC=60 +30 =90 ，DCE=180 -ACD=180 -ABD=90 ，又 BM=CE ，BD=CD ， CDE BDM ， CDE= BDM ， DE=DM ，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - -

25、- - - - -第 17 页，共 20 页NDE= NDC+ CDE= NDC+ BDM= BDC- MDN=120 -60 =60 ，在 DMN 和 DEN 中，DM=DE MDN= EDN=60 DN=DN DMN DEN ，MN=NE 在 DMA 和 DEF 中，DM=DE MDA=60 - MDB=60 - CDE= EDF (CDE= BDM) DAM= DFE=30 DMN DEN (AAS) ，MA=FE AMN 的周长为 AN+MN+AM=AN+NE+EF=AF=6应用：1、 已 知 四 边 形ABCD中 ，ABAD，BCCD，ABBC，120ABCo，60MBNo，MBN绕

26、B点旋转，它的两边分别交ADDC，（或它们的延长线）于EF，当MBN绕B点旋转到AECF时（如图1） ，易证AECFEF当MBN绕B点旋转到AECF时，在图2 和图 3 这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AECF，EF又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明（图 1）ABCDEFMN（图 2）ABCDEFMN（图 3）ABCDEFMN精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 20 页2、 （西城 09 年一模） 已知 :PA=2,PB=4, 以 AB为一边作正方形ABCD, 使 P、D两点落在

27、直线 AB的两侧 .(1) 如图 , 当 APB=45 时 , 求 AB及 PD的长 ; (2) 当 APB变化 , 且其它条件不变时, 求 PD的最大值 , 及相应 APB的大小 . 3、在等边ABC的两边AB、AC 所在直线上分别有两点M、N，D 为ABCV外一点，且60MDN,120BDC,BD=DC. 探究：当M、N 分别在直线AB 、AC 上移动时，BM 、NC、MN 之间的数量关系及AMN的周长 Q 与等边ABC的周长 L 的关系图 1 图 2 图 3 （I）如图 1，当点 M、N 边 AB 、AC 上，且 DM=DN时， BM 、NC、MN 之间的数量关系是； 此时LQ；（II）如图 2，点 M、N 边 AB、AC 上，且当 DMDN 时，猜想（ I）问的两个结论还精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 20 页成立吗？写出你的猜想并加以证明；（III ） 如图 3，当 M、 N 分别在边 AB 、CA 的延长线上时，若 AN=x，则 Q= （用x、L 表示）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 20 页