龙岩市 2020 年4月份高三教学质量检查数学（文科）试题.docx

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1、龙岩市 2020 年高中毕业班教学质量检查数学（文科）试题本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题） 全卷满分 150 分，考试时间 120 分钟注意事项：1. 考生将自己的姓名、准考证号及所有的答案均填写在答题卡上2. 答题要求见答题卡上的“填涂样例”和“注意事项”第卷（选择题共 60 分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每个小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的1设集合 M = 1,3,5 ， N = 2, 4, 5 ，则 M U N =A52设 z = i(1 - i) ，则 z =A. 1 - ix22B 3,5B. 1 + iC 2, 4, 5C. -1

2、- iD 1, 2, 3, 4, 5D. -1 + i3. 若双曲线- ya2= 1(a 0) 的实轴长为 4，则其渐近线方程为A. y = xB. y = 2xC. y = 1 x20.24已知 a = log2 , b = 20.2 , c = 0.20.3 ，则A a c bC. c a bx - 3y + 4 0D. y = 2xB a b cD b c 1) 的一个焦点，过点 F 作圆 x2 + y 2 = 1 的两条切线，若这两条切线互相垂直，则a =23A 2BCD11. 函数 f (x) = coswx(w 0) 在区间对称，则w=0, 上是单调函数，且 f (x) 的图像关于

3、点 M ( 3 24, 0)2102141014A. 或33B 3 或2C3 或2D 3 或 34an - an222212. 已知数列an 满足 an+1 = 2 +，则 a1 + a2020 的最大值是2A 4 - 2B 8 -C 4 + 2D. 8 +第卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分13. 曲线 y = (x - 1)ex 在点(1, 0) 处的切线方程为 14. 已知向量a = (1,1), b = (-3, m) ，若向量 2a - b 与向量b 共线，则实数 m = 15. 已知圆锥的顶点为 S ，点 A,B,C 在底面圆周上，且 AB 为

4、底面直径，若 SA = AC = BC ， 则直线 SA 与 BC 的夹角为 316. 有一道题目由于纸张破损，有一条件看不清楚，具体如下：“在DABC 中，角 A , B , C 的对边分别为a, b, c ，已知 a = ， ， c2 - b2 - 3c + 3 = 0 ，求角 A ”经推断，破损处的条件为三角形一边的长度，且该题的答案 A = 45 是唯一确定的，则破损处应是 三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共 60 分。17. 已知a 是公差为1的等差

5、数列，数列b 满足b = 1 , b = 1 , a b+ b= nb n（1） 求数列bn 的通项公式；n122n n+1n+1n（2） 设cn = bnbn+1 ，求数列cn 的前 n 项和 Sn 18. 如图，在棱长为 2 的正方体 ABCD - A1B1C1D1 中， E , F , M 分别是棱 AB , BC , AD 的中点（1） 证明： D1M / 平面 A1EF ；（2） 求点 D1 到平面 A1EF 的距离19. 某共享单车运营公司的市场研究人员为了了解公司的经营状况，对公司最近 6 个月的市场占有率 y% 进行了统计，结果如下表：月份2019.2019.2019.2019

6、.12019.12019.12月份代码 x123456y101415162021（1） 请用相关系数说明能否用线性回归模型拟合 y 与月份代码 x 之间的关系如果能， 请计算出 y 关于 x 的线性回归方程；如果不能，请说明理由；（结果精确到 0.01）（2） 根据调研数据，公司决定再采购一批单车扩大市场，从成本 1000 元/辆的 A 型车和800 元/辆的 B 型车中选购一种，两款单车使用寿命频数如下表：报废年限车型1 年2 年3 年4 年总计A8324020100B12433510100经测算，平均每辆单车每年能为公司带来 500 元的收入，不考虑除采购成本以外的其它成本，假设每辆单车的

7、使用寿命都是整数年，用频率估计每辆单车使用寿命的概率，以平均每辆单车所产生的利润的估计值为决策依据，如果你是公司负责人，会选择哪款车型？6 6 6 参考数据： (x - x)( y - y) = 37 ， (x - x)2 = 17.5 ， ( y - y)2 = 82 ，iii=1ii=1ii=1143537 37.88 ， 37.88 0.98 n i=1n n (x - x)( y - y)2i2ii=1(xi - x)( yi - y)n (xi - x)( yi - y) 参考公式：相关系数 r =i=1，b$ =i=1(x - x)n 2i，$a = y - $b x i=120.

8、 设抛物线C : y2 = 2 px( p 0) 的焦点为 F ，C 的准线与 x 轴的交点为 E ，点 A 是C 上的动点当DAEF 是等腰直角三角形时，其面积为 2（1） 求C 的方程；（2） 延长 AF 交C 于点 B ，点 M 是C 的准线上的一点，设直线 MF , MA , MB 的斜率分别是k0 , k1 , k2 ，证明： k1 + k2 = 2k0 21. 已知函数 f (x) = x + 1 ln2 x - ln x +1 2（1） 讨论 f (x) 的单调性；（2） 若 m 0 ，方程 mf (x) - x + m = 0 有两个不同的实数解，求实数 m 的取值范围x（二）

9、选考题：共 10 分请考生在 22、23 两题中任选一题作答. 注意：只能做所选定的题目如果多做，则按所做第一个题目计分. 作答时，请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑22（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程已知曲线C 的极坐标方程是r- 6 cosq= 0 ，以极点为原点，极轴为 x 轴的正半轴，建立3平面直角坐标系，直线l 过点 M (0, 2) ，倾斜角为 4（1） 求曲线C 的直角坐标方程与直线l 的参数方程；MA（2） 设直线l 与曲线C 交于 A , B 两点，求1+1MB的值23（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲已知函数 f (x) =

10、| x +1| + | x - 2a | （1） 若 a = 1 ，解不等式 f (x) b ，2所以 A = 45 或者 A = 135 ，这与已知角 A 的解为唯一解矛盾（2） B = 30 ，又 A = 45 ，所以C = 105 ，csin105= c =33 + 3sin 452c检验：3 + 3=a2=3 sin A =2 ，sin Csin Asin 75sin A23 +3又 A (0,180) ，且c a ， A = 45故应填的条件是： c =2三、解答题：本大题共6小题，满分70分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤17（本小题满分 12 分）解：（1）由已知得， a1

11、b2 + b2 = b1 ，所以 a1 = 1又因为an 是公差为1的等差数列，所以 an = n 所以(n +1)bn+1 = nbn ，所以数列nbn 是常数数列，所以 nbn= b1= 1，所以bn=6 分1n111nn（2）由已知得, cn = n(n +1) =-+1 ，11111所以 Sn = (1- 2) + (- ) +L+ ( 23-) ，nn +1所以 Sn= 1-1=n +1n n +112 分18（本小题满分 12 分）解：（1）法一：取CD 的中点 N ，连结 MN ,D1N , EN .因为 E , F , M , N 分别是棱 AB , BC , AD , CD

12、的中点， 所以 MN / EF ，又因为 MN 平面 A1EF ，EF 平面 A1EF ，所以 MN / 平面 A1EF .又因为 A1D1 /EN ，所以四边形 A1D1NE 是平行四边形， 所以 A1E / D1N ，所以 D1N / 平面 A1EF .又 D1N I MN = N ，所以平面 D1MN / 平面 A1EF ，又 D1M 平面 D1MN ，所以 D1M / 平面 A1EF6 分法二：连接 A1C1 , C1F , AC , MF ，所以 AC /A1C1 ，因为 E , F 分别是棱 AB , BC 的中点，所以 EF / 1 AC ，21所以 EF / 2 A1C1 ，所

13、以 A1 , E, F , C1 共面1 ，因为 F , M 分别是棱 BC , AD 的中点，所以 MF /DC /D1C所以四边形 D1C1FM 是平行四边形，所以 D1M / C1F ，又因为 D1M 面 A1EF ，C1F 平面 A1EF ，所以 D1M / 平面 A1EF6 分（2） 因为 D1M / 平面 A1EF ，所以点 D1 到平面 A1EF 的距离可以转化为点 M 到平面A1EF 的距离1112AA 2 + AF 214 + 51由已知可得 SDMEF = 2 21 = 1 ,所以VA -MEF = 3 SDMEF AA1 = 3 1 2 = 3 ,又 A E =5, EF

14、 =2, A F = 3 ，115 + 2 - 9103 10所以cos A1EF =2 5 = -210，可知sin A1EF = 10，113 1031所以 SDA EF = 2 A1E EF sin A1EF = 2 5 2 10= 2又因为V= V，所以点 M 到平面 A EF 的距离为 4 A1 -MEFM - A1EF13所以点 D 到平面 A EF 的距离为 4 12 分11319（本小题满分 12 分）解：（1）由表格中数据可得， x = 3.5 ， y = 16 n ( x - x )( y- y )ni=1( x- x )2ini=1( y - yi)2 r =i=1ii=

15、37=37 0.98 2 分17.5 821435 y 与月份代码 x 之间高度正相关，故可用线性回归模型拟合两变量之间的关系n ( x - x )( y- y )3774b =i=1ii= 2.114 ，i=1in (x - x )217.535 a = y - bx = 16 - 2.114 3.5 8.601 ，关于 x 的线性回归方程为 y = 2.11x + 8.60 6 分（2）这 100 辆 A 款单车平均每辆的利润为1100(-500 8 + 0 32 + 500 40 +1000 20 )= 360 （元），这 100 辆 B 款单车平均每辆的利润为1100(-30012 +

16、 200 43 + 700 35 +120010 )= 415 （元）用频率估计概率，A 款单车与B 款单车平均每辆的利润估计值分别为 360 元、415 元， 应采购 B 款车型12 分20（本小题满分 12 分）解：（1）解：依题意可知，当DAEF 是等腰直角三角形时， AFE = 90抛物线C 方程为 y2 = 2 px( p 0) ,焦点 F ( p , 0) ，E(- p , 0) ，| EF |=| AF |= p DAEF 的面积 SDAEF22= 1 p 2 = 2 ，解得 p = 2 ，2抛物线C 的方程为 y2 = 4x4 分（2）证明：由（1）知 F (1,0) ，2设直

17、线 AB 的方程： x = ty +1代入 y2 = 4x 得: y2 - 4ty - 4 = 0 , 设 A(x1, y1 ), B(x2 , y2 ) ，所以 y1 + y2 = 4t, y1 y2 = -4设 M (-1, y ) ，则： k= - yM ， k= y1 - yM ， k= y2 - yMM021x1 = ty1 + 1x1 +1 = ty1 + 2x1 +1x2 +1 x = ty + 1， x +1 = ty + 2 22 22 k + k= y1 - yM + y2 - yM= y1 - yM + y2 - yM12x +1x +1ty + 2ty + 21212=

18、 ( y1 - yM )(ty2 + 2) + ( y2 - yM )(ty1 + 2)(ty1 + 2)(ty2 + 2)= 2ty1 y2 + 2( y1 + y2 ) - yM t( y1 + y2 ) + 4t 2 y y + 2t ( y + y ) + 41 212-8t + 8t - y (4t 2 + 4)- y (4t 2 + 4)= M= M= - yM-4t 2 + 8t 2 + 44t 2 + 4 k1 + k2 = 2k012 分21（本小题满分 12 分）解：（1）依题意函数 f (x) 的定义域为(0, +)， f (x) = 1+ ln x - 1 = x +

19、ln x -1 ，xxx令 g(x) = x + ln x -1，则g(x) = 1+ 1 0 ，故 g(x) 在(0, +) 单调递增，x又 g(1) = 0 ，所以当 x (0,1) 时， g(x) 0 , 即 f (x) 0 ，即 f (x) 0 ；故 f (x) 在(0,1) 上单调递减，在(1, +) 上单调递增5 分（2）解法一：方程 mf (x) - x + m = 0 化简可得 m(x + ln x) = x 2 ，x2m2x2 - mx - m设 F (x) = x- mx - m ln x ，则 F (x) = 2x - m -=，xx令 F(x) = 0 ，可得 x1 =

20、m -m +m2 + 8m4， x2 =m2 + 8m 4 0 （舍去）所以当 x (0, x1 ) 时，F(x) 0 ；故 F (x) 在(0, x1 ) 上单调递减，在(x1 , +) 上单调递增 所以 F (x) 在 x = x1 时取得最小值，故要使方程mf (x) - x + m = 0 有两解，xF(x ) = 02x 2 - mx- m = 0须满足1，即11，化简得 2 ln x + x-1 0 1111F (x ) 0x 2 - mx- m ln x 0 ，x所以 h(x) 在(0, +) 单调递增，又h(1) = 0 ，所以当 x (1, +) 时， h(x) 0 ,所以

21、x1 1 ，即 x1 = 1，解得 m 1m +m2 + 8m41当m 1时， F (1) = 1 + m(1 - ) 0 ee2e11所以， F ( e)F (x1 ) 0 ，所以存在唯一t1 ( e , x1 ) ，使得 F (t1 ) = 0.m +(m + 4)2m又 x1=+ 1 m + 1 em - m 2令G(x) = ex - x 2 (x 1) ， G(x) = ex - 2x ， G (x) = ex - 2 e - 2 0 ， 所以G(x) 在(1, +) 上单调递增， G(x) G(1) = e - 2 0 ，所以G(x) 在(1, +) 上单调递增， G(x) G(1

22、) = e -1 0 ，所以 F (em ) = em (em - m) - m2 em - m2 0所以， F (em )F (x ) 0 ，所以存在唯一t (x , em ) ，使得 F (t) = 0 1112所以方程 mf (x) - x + m = 0 有两个不同的实数解时，x正实数m 的取值范围是(1, +)12 分解法二：方程 mf (x) - x + m = 0 化简可得 m(x + ln x) = x 2 ，x所以方程 mf (x) - x + m = 0 有两解等价于方程 x + ln x = 1 有两解，xx2mx + ln xx2 + x - 2x2 - 2x ln x

23、1- x - 2 ln x设 F (x) =，则 F (x) =，x2(x2 )2x3令h(x) = 1- x - 2 ln x ，由于 h(x) = -1- 2 0 , 即 F(x) 0当 x (1, +) 时， h(x) 0 ，即 F(x) 0 ；故 F (x) 在(0,1) 上单调递增，在(1, +) 上单调递减 所以 F (x) 在 x = 1时取得最大值 F (1) = 1 ，又 F (1) = e - e2 0 ，所以存在 x (1 ,1) ，使得 F (x ) = 0e1e1又 F (x) 在(0,1) 上单调递增，所以当 x (0, 1) 时， F (x) 0 ，即 F (x)

24、 (0,1) .e因为 F (x) 在(1, +) 上单调递减，且当 x (1, +) 时， F (x) = x + ln x 0 ，即x2F (x) (0,1) .x + ln x11所以方程=有两解只须满足0 1所以方程 mf (x) - x + m = 0 有两个不同的实数解时，x实数 m 的取值范围是(1, +)12 分22（本小题满分 10 分）解：（）因为r= 6 cosq，所以r2 = 6rcosq，所以 x2 + y2 = 6x ，即曲线C 的直角坐标方程为：(x - 3)2 + y2 = 9 ，2 分x = t cos 3x = - 2 t直线l 的参数方程43 ( t 为参

25、数)，即2( t 为参数)， 2 y = 2 + t sin4 y = 2 +t25 分（）设点 A , B 对应的参数分别为t1 , t2 ，将直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程得(-2 t - 3)2 + (2 +2 t)2 = 9 ，22整理，得t2 + 5 2t + 4 = 0 ，所以t1 + t2 = -5 2 ， 7 分t1t2 = 42Qt1 + t2 0,t1 0, t2 0所 以 MA + MB = t1 + t2= -(t1 + t2 ) = 5, MA MB=| t1t2 | =4,+11MAMB所以=10 分5 2MA+MBMA MB423（本小题满分 10

26、分）解：（）当 a = 1 时， f (x) 4 | x +1| + | x - 2 | 4 ， x 2化为 2 x 或- 33 4或2x -1 43 分解得- 3 x -1或-1 x 2 或2 x 522 ，353 5- 2 x 2 .即不等式 f (x) 4 的解集为(- 2 , 2)5分（）根据题意，得 m2 - 2m + 4 的取值范围是 f (x) 值域的子集.m2 - 2m + 4 = (m -1)2 + 3 3又由于 f (x) =| x +1| + | x - 2a | 2a +1|， f (x) 的值域为| 2a +1|,+)故| 2a +1| 3 ，-2 a 1 .4 分即实数 a 的取值范围为-2,110 分