2019大一轮高考总复习文数（北师大版）讲义：第8章 第05节 空间几何体的表面积和体积 .doc

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1、第五节空间几何体的表面积和体积考点高考试题考查内容核心素养空间几何体的表面积2017全国卷T165分外接球的表面积直观想象逻辑推理数学运算2016全国卷T75分空间几何体的三视图、表面积2016全国卷T45分正方体的外接球的表面积2015全国卷T115分空间几何体的三视图空间几何体的体积2017全国卷T65分空间几何体的三视图、体积2015全国卷T65分空间几何体的三视图、体积2015全国卷T65分实际问题数学建模直观想象命题分析高考对本节内容的考查以计算几何体体积、表面积为主，三种题型均有可能出现，难度中等，客观题主要考查由三视图得出几何体的直观图，求其表面积、体积或由体积表面积求其他量；主

2、观题考查线面位置关系以及表面积、体积公式.1圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式圆柱圆锥圆台侧面展开图侧面积公式S圆柱侧2rlS圆锥侧rlS圆台侧(r1r2)l2柱、锥、台和球的表面积和体积名称几何体表面积体积柱体(棱柱和圆柱)S表面积S侧2S底VSh锥体(棱锥和圆锥)S表面积S侧S底VSh台体(棱台和圆台)S表面积S侧S上S下V(S上S下)h球S4R2VR3提醒：1辨明三个易误点(1)求组合体的表面积时：组合体的衔接部分的面积问题易出错(2)由三视图计算几何体的表面积与体积时，由于几何体的还原不准确及几何体的结构特征认识不准易导致失误(3)易混侧面积与表面积的概念2与体积有关的几个结论(

3、1)一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差(2)底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等3几个与球有关的切、接常用结论(1)正方体的棱长为a，球的半径为R，若球为正方体的外接球，则2Ra；若球为正方体的内切球，则2Ra；若球与正方体的各棱相切，则2Ra.(2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R.(3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为31.1判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)多面体的表面积等于各个面的面积之和()(2)锥体的体积等于底面积与高之积()(3)球的体积之比等于半径比的平方()(4)简单组合体的体积等于组成它的简单几何

4、体体积的和或差()(5)长方体既有外接球又有内切球()(6)圆柱的一个底面积为S，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是2S.()答案：(1)(2)(3)(4)(5)(6)2(2018大连双基测试)一个球的表面积是16，那么这个球的体积为()ABC16D24解析：选B设球的半径为R，则表面积是16，即4R216，解得R2.所以体积为R3.3已知圆锥的表面积等于12 cm2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为()A1 cmB2 cmC3 cmD cm解析：选BS表r2rlr2r2r3r212，r24，r2 cm.4(教材习题改编)如图，将一个长方体用过相邻三条棱的中点的平面截出一个

5、棱锥，则该棱锥的体积与剩下的几何体体积的比为()A18B127C147D4748解析：选C设长方体的棱长分别为a，b，c.则截出的棱锥的体积为V1abcabc.剩下的几何体体积为V2abcV1abcabcabc.所以锥体的体积与剩下的几何体体积的比为147.5一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()A3B4C24D34解析：选D由几何体的三视图可知，该几何体为半圆柱，直观图如图所示表面积为222121243.空间几何体的表面积明技法空间几何体表面积的求法(1)以三视图为载体的几何体的表面积问题，关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及数量(2)多面体的表面积是各个面的面积

6、之和；组合体的表面积要注意衔接部分的处理(3)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用提能力【典例】 (1)(2017全国卷)某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为()A10B12C14D16(2)一个六棱锥的体积为2，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为_解析：(1)观察三视图可知该多面体是由直三棱柱和三棱锥组合而成的，且直三棱柱的底面是直角边长为2的等腰直角三角形，侧棱长为2.三棱锥的底面是直角边长为2的等腰直角三角形，高为2，如图所

7、示因此该多面体各个面中有2个梯形，且这两个梯形全等，梯形的上底长为2，下底长为4，高为2，故这些梯形的面积之和为2(24)212.故选B(2)设正六棱锥的高为h，侧面的斜高为h.由题意，得62h2，h1，斜高h2，S侧62212.答案：(1)B(2)12刷好题1(2016全国卷)如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径若该几何体的体积是，则它的表面积是()A17B18C20D28解析：选A由三视图可得此几何体为一个球切割掉后剩下的几何体，设球的半径为r，故r3，所以r2，表面积S4r2r217，选A2(2018大连模拟)如图所示的是一个几何体的三视图，则该几何体的表

8、面积为_解析：该几何体为一个长方体从正上方挖去一个半圆柱剩下的部分，长方体的长，宽，高分别为4,1,2，挖去半圆柱的底面半径为1，高为1，所以表面积为SS长方体表2S半圆柱底S圆柱轴截面S半圆柱侧24121224212212126.答案：26空间几何体的体积析考情空间几何体的体积是高考中的高频考点，主要有以下两个方面：一是求简单几何体的体积，二是求组合体的体积，三是由三视图求相关几何体的体积. 各种题型均有可能考查，难度中低档，分值约5分提能力命题点1：求简单几何体的体积【典例1】 (2018潍坊模拟)如图所示，已知三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长均为1，且AA1底面ABC，则三棱锥B1AB

9、C1的体积为()ABCD解析：选A三棱锥B1ABC1的体积等于三棱锥AB1BC1的体积，三棱锥AB1BC1的高为，底面积为，故其体积为.命题点2：求组合体的体积【典例2】 (2018唐山模拟)如图，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且ADE，BCF均为正三角形，EFAB，EF2，则该多面体的体积为()ABCD解析：选A如图，分别过点A，B作EF的垂线，垂足分别为G，H，连接DG，CH，容易求得EGHF，AGGDBHHC，SAGDSBHC1，VVEADGVFBCHVAGDBHC2VEADGVAGDBHC21.故选A命题点3：与三视图有关的几何体的体积【典例3】 (2017全

10、国卷)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为()A90B63C42D36解析：选B方法一(割补法)由几何体的三视图可知，该几何体是一个圆柱截去上面虚线部分所得，如图所示将圆柱补全，并将圆柱从点A处水平分成上下两部分由图可知，该几何体的体积等于下部分圆柱的体积加上上部分圆柱体积的，所以该几何体的体积V32432663.故选B方法二(估值法)由题意知，V圆柱V几何体V圆柱又V圆柱321090，45V几何体90.观察选项可知只有63符合故选B悟技法空间几何体体积问题的常见类型及解题策略(1)若所给定的几何体是可直

11、接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解(2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解(3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解刷好题1某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为()ABCD1解析：选A通过三视图可还原几何体为如图所示的三棱锥PABC，通过侧视图得高h1，通过俯视图得底面积S11，所以体积VSh1.2现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为_解

12、析：设新的底面半径为r，由题意得r24r28524228，解得r.答案：与球体有关的切、接问题明技法空间几何体与球接、切问题的求解方法(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解(2)若球面上四点P，A，B，C构成的三条线段PA，PB，PC两两互相垂直，且PAa，PBb，PCc，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R2a2b2c2求解提能力【典例】 (2016全国卷)在封闭的直三棱柱ABCA1B1C1内有一个体积为V的球若ABBC，AB6，BC8，AA13，则V的最大值是

13、()A4BC6D解析：选B由ABBC，AB6，BC8，得AC10，要使球的体积V最大，则球与直三棱柱的部分面相切，若球与三个侧面相切，设底面ABC的内切圆的半径为r.则68(6810)r，则r2.此时2r43，不合题意因此球与三棱柱的上、下底面相切时，球的半径R最大由2R3，即R.故球的最大体积VR3.母题变式1 若本例中的条件变为“直三棱柱ABCA1B1C1的6个顶点都在球O的球面上”，若AB3，AC4，ABAC，AA112，求球O的表面积解：将直三棱柱补形为长方体ABECABEC，则球O是长方体ABECABEC的外接球，体对角线BC的长为球O的直径因此2R13，故S球4R2169.母题变式2 若本例中的条件变为“正四棱锥的顶点都在球O的球面上”，若该棱锥的高为4，底面边长为2，求该球的体积解：如图，设球心为O，半径为r，则在RtAOF中，(4r)2()2r2，解得r，则球O的体积V球r3()3.刷好题(2017全国卷)已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为()ABCD解析：选B设圆柱的底面半径为r，球的半径为R，且R1，由圆柱两个底面的圆周在同一个球的球面上可知，r，R及圆柱的高的一半构成直角三角形r.圆柱的体积为Vr2h1.故选B