山东省济南市历城第二中学2022学年高一上学期期中考试数学试卷.pdf

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1、历城二中高一期中考试历城二中高一期中考试数学数学一一选择题：选择题： 在每小题给出的四个选项中，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符只有一项是符合题目要求的合题目要求的. .1.已知集合A x x3 5，B 0,1,2,3，则AA.0【答案】D【解析】【分析】根据交集的概念，直接得出结果.【详解】因为A x x3 5x x 2，B 0,1,2,3，所以AB 0,1.B （）B.1,2C.2,3D.0,1故选：D.2.“2 x5”是“3 x 4”（）A.充分不必要条件C.充分必要条件【答案】B【解析】【分析】根据充分条件、必要条件的概念判断即可.【详解】若3 x 4，则2 x5成立，即必要性成

2、立，反之若2 x5，则3 x 4不成立，B.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件所以“2 x5”是“3 x 4”的必要不充分条件.故选：B.3.下图中可以表示以x为自变量的函数图象是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据函数的定义，对于自变量中的任意一个x，都有唯一确定的数y与之对应.【详解】根据函数的定义，对于自变量中的任意一个x，都有唯一确定的数y与之对应，所以 ABD 选项的图象不是函数图象，故排除,故选：C.4.下列结论正确的是（）A.若a b，c b，则a cC.若a b，c d，则ac bd【答案】DB.若a b，则a2 b2c d，D.若a b，则ac bd【解析】

3、【分析】对于 A，B，C 举反例可判断，对于 D 利用不等式的性质可判断【详解】若a 1,b 0,c 2，则a b，c b成立，而此时a c，所以A错误；221 2，1 (2)，B错误；错误；4 1，12，4(1)1(2)，C由不等式同向可加性知D正确故选：D5.若函数fx x2m1x3在区间3,5内存在最小值，则m的取值范围是（）A.5,9【答案】B【解析】【分析】根据函数fx x2m1x3在区间3,5内存在最小值，则函数的对称轴满足3 【详解】函数m1 5求解.2m1，2B.11,7C.5,9D.11,7fx x2m1x3的对称轴为：x 因为函数fx x2m1x3在区间3,5内存在最小值，

4、所以3 m1 5，2解得11 m 7.故选：B6.已知全集U R，集合A x 2x27x3 0，1B y y x,x 0，则AxUB（）A.,3【答案】A【解析】【分析】 1B.2,1C.,22D.,先根据不等式的解法， 以及基本不等式， 分别化简两集合，再由并集和补集的概念，即可得出结果.【详解】因为x 0，所以x即x 1时，等号成立；即B 2,)，所以U111 2 x 2，当且仅当x ，xxxB (,2)； 12A x 2x 7x3 0 又,3，2所以AUB (,3)故选：A.7.已知偶函数fx在,0上单调递减，且f40，则不等式xfx 0的解集为（）A.4,0 4,C.4,0 0,4【答

5、案】AB.,4 0,4D.,4 4,【解析】【分析】根据题中条件，分别讨论x 0，x 0两种情况，结合函数单调性与奇偶性，即可求出结果.详解】若x 0，则xfx 0等价于fx0，因为f4 f40，fx在,0上单调递减，所以由fx0得4 x 0；若x 0，则xfx 0等价于fx0，由题知fx在0,上单调递增，所以由fx0得x 4；.综上，xfx 0的解集为4,0 4,.故选：A.8.关于x的不等式ax2+bx+c0 的解集为(-3， 1)， 则关于x的不等式cx2+bx+a0 的解集为（）A.(3,1)11B.(1, )13C.,31,【答案】C【解析】【分析】D.(,1)1( ,)32a 0且

6、3,1是ax+bx+c=0 的两根，由题意，进一步找到a,b,c的关系，带入原不等式化简解不等式即可.【详解】因为不等式ax2+bx+c0 解集为(-3，1)，所以a 0,a 0,9a3bc 0,即b 2a,不等式abc 0,c 3a.cx2+bx+a0 等价于 3x2-2x-10，解得x 3或x1.故选：C二二多选题：多选题： 在每小题给出的选项中，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要有多项符合题目要求求. .9.下列说法正确的是（）Q【答案】BD【解析】【分析】利用集合与集合和元素与集合的关系， 逐一判断四个选项的正误.【详解】空集中没有元素，A错误；空集是任何集合的子集，B正确；若a0

7、，0N，C错误；不是有理数，D正确.故选：BD10.已知函数x1,x 0,fx2gx x27，则（），x x,x 0,1B.0C.若aN，则-aND.A.fx是增函数C.ff13D.fg1 7B.gx是偶函数【答案】ABD【解析】【分析】根据函数解析式，先分别判断fx单调性，以及gx奇偶性，再求函数值，即可得出结果.【详解】对于函数x1,x 0,fx2x x,x 0,当x 0时，fx x1显然单调递增； 当x 0时，fx x2 x是开口向上， 对称轴为x 2的二次函数， 所以在x 0上单调递增；且01 020，所以函数fx在定义域内是增函数；A 正确；又f111 2，所以ff1 f2 42 6

8、，故 C 错；2gxx7 x27 gx，对于函数gx x27，所以gx是1偶函数，B 正确；又g117 6，所以fg1 f6 61 7，D 正确；故选：ABD.11.下列结论不正确的是（）A.“xN”是“xQ”的充分不必要条件B.“xN*，x2-30”是假命题C.ABC内角A，B，C的对边分别是a，b，c，则“a2+b2c2”是“ABC是直角三角形”的充要条件D.命题“x0，x2-30”的否定是“x0，x2-30”【答案】BC【解析】【分析】根据充分不必要条件的定义可判断A；举例可判断B；根据充要条件定义可判断C； 全称量词命题的否定是存在量词命题可判断D.【详解】自然数一定是有理数，有理数不

9、一定是自然数，所以“xN”是“xQ”的充分不必要条件，A正确；12-30，所以“xN*，x2-30”是真命题，B错误；因为a2+b2c2，所以C90，ABC是直角三角形，但是ABC是直角三角形不一定意味着C90， 所以“a2+b2c2”是“ABC是直角三角形”的充分不必要条件，C错误；全称量词命题的否定是存在量词命题，D正确.故选：BC.12.已知实数x，y满足-1x+y3，42x-y9，则（）x4y112334x+y15 D.3 x y 【答案】AC【解析】【分析】根据不等式的基本性质同向可加性可判断 AB，把4x y 2x y2x y和x y (x y)(2x y)分别转化再利用不1323

10、等式的性质可判断 CD.4 2x y 9，33x 12，【详解】 因为1 x y 3，所以1 x4，A正确；因为4 2x y 96 2x2y 2，所以2 3y 11，解得3 y 3，B错112误；4x y 2x y2x y，所以2 4x y 15，C正确；12519x y (x y)(2x y)，所以 x y ，D3333错误.三三填空题：填空题：13.已知集合Aab _.a 1,2，B b,2，若A B，则【答案】1【解析】【分析】a 1,根据集合相等，列出方程求解，得出b 2,，从而可得出结果.【详解】因为集合A a 1 2,b 2,a 1,2，B b,2，A B，所以解得b 2,从而ab

11、 1.a 1,故答案为：1.14.已知函数f2x13x5，若fx0 4，则x0_.【答案】5【解析】【分析】先利用换元法求解出原函数的解析式，然后利用fx0 4得出x的值.0【详解】令t 2x1，则x 37t 13t 337f (t) 5t .，2222因为fx0 4，所以2x02 4，解得x0 5.故答案为：5【点睛】求解复合函数faxb的解析式时，只需用换元法， 令axb t， 用含t的式子表示出x然后代入原函数解析式便可得出fx的解析式.15.已知幂函数fxm2m1xm的图象关于y轴对称，则不等式xmmx30的解集是_【答案】(3,1)【解析】【分析】由题意得m2m11， 解方程可得m

12、2或m 1， 由于此函数的图象关于y轴对称，所以可得m 2，从而可得不等式为x2 2x3 0，解不等式可得答案【详解】因为f (x) m2m1xm是幂函数，所以m2m11，解得m 2或m 1，又因为f (x)的图象关于y轴对称，所以m 2，原不等式整理得(x3)(x1) 0，解得3 x1故答案为：(3,1)16.已知实数a 0，b 0，且3a abb 0，则a3b的最小值为_【答案】16【解析】【分析】31 31 a3b 1根据题中条件，得到，由a3b展开后，baba根据基本不等式，即可求出结果.【详解】因为a 0，b 0，且3a abb 0，3a3b31 31 a 3b a 3b 10 16

13、，1所以，故bababa当且仅当a b 4时取等号，则a3b的最小值为 16.故答案为：16.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1） “一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.四四解答题：本大题共解答题：本大题共 6 6 小题，共小题，共 7070 分分. .解答应写出必要解答应写出必要的文字说明的文字

14、说明证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤. .17.在一次函数y ax b的图象过A0,3，B2,7两点，关于x的不等式1 ax b 3的解集为x|3 x 4，1,aa22a2,a1,0这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中并解答.问题：已知_，求关于x的不等式ax23xa 0的解集.【答案】选择见解析；解集为(,【解析】【分析】先根据所选择的条件求出a的值，然后代入ax23xa 0并求解二次不等式即可得到答案.b 3,a 2,【详解】解：若选，由题得2ab 7,解得b 3.将a 2代1)(2,).2入所求不等式整理得：x22x10，解得x 2或x ，故原不等式的解集为：21(, )(2,)

15、.21若选，因为不等式1 ax b 3的解集为x|3 x 4，所以3ab 1,a 2,a 2代入不等式整理得x22x10，解得将解4ab 3,b 5.得x 2或x 2，故原不等式的解集为：(,2)(2,).若选，若1a22a2，解得a 1，不符合条件；若1 a 1，解得a 2，则a211 2a 2 2符合条件.将a 2代入不等式整理得x22x10，解得x 2或x ，故原不等式的解集为：21(, )(2,).21【点睛】 本题主要考查根据集合的运算及包含关系求参数的值，考查一元二次不等式的解法，较简单.解答时， 根据所选择的条件确定出参数的取值是解答的关键.18.集合Ax|x2-ax+a2-13

16、0，Bx|x2-7x+120，Cx|x2-4x+30.（1）若ABBC，求a的值；（2）若AB ，AC ，求a的值.【答案】 （1）a4 或a-1； （2）a-3.【解析】【分析】求出集合 B、C 再根据元素互异性，即可求解.结合题目条件AB，AC ，分情况讨论即可.【详解】解： （1）因为B3，4，C1，3，所以BC3.又因为ABBC，所以 3A，4A，即 9-3a+a2-130，解得a4 或a-1.当a4 时，A1，3，符合题意；当a-1 时，A-4，3，符合题意.故a4 或a-1.（2）因为AB，所以3A，4A.又因为AC ，所以 1A，即1-a+a2-130，解得a4 或-3.当a4

17、时，A1，3，不符合条件；当a-3 时，A1，-4，符合条件.故a-3.19. （1） 用定义法证明函数fx x2在0,上单调递增；1x（2）已知gx是定义在R R上的奇函数，且当x 0时，gx x33x21，求gx的解析式x33x21,x 0,g x 0,x 0,【答案】 （1）见详解； （2）x33x21,x 0【解析】【分析】（1）任取x1，x20,，令x1 x2，作差比较fx1与fx2，根据函数单调性的定义，即可证明结论成立；（2）根据已知条件，由函数奇偶性，先求出x 0时的解析式，以及g00，进而可得出结果.【详解】 （1）任取x1，x20,，令x则fx1 fx2 x121 x2，x

18、 x112 x2x1 x2x1 x212x1x2x1x21 x1 x2x1 x2.x1x2因为0 x1 x2，所以x1 x2 0，x1 x211 0，即fx1 fx2，x1x2故函数fx x2x0,上单调递增.（2）因为x 0时，gx x33x21，所以当x 0时，x0，gxx33x21 x33x21，因为gx是定义在R R上的奇函数，所以gx gx x33x21，且g00，x33x21,x 0,故gx0,x 0,x33x21,x 0【点睛】方法点睛：定义法判定函数fx在区间D上的单调性的一般步骤：1.取值：任取x1，x2D，规定x2.作差：计算fx1 fx2；3.定号：确定fx1 fx2的正

19、负；4.得出结论：根据同增异减得出结论.20.某商品的日销售量y（单位：千克）是销售单价x（单位：元）的一次函数，且单价越高，销量越低把销量为 0时的单价称为无效价格已知该商品的无效价格为 150 元，该商品的成本价是 50 元/千克， 店主以高于成本价的价格出售该商品（1）若店主要获取该商品最大的日利润，则该商品的单价应定为多少元？（2）通常情况下，获取商品最大日利润只是一种“理想结果”， 如果店主要获得该商品最大日利润的 64%， 则该商品的单价应定为多少元？【答案】 （1）商品的单价应定为 100 元； （2）商品的单价应定为 70 元或 130 元1 x2，【解析】【分析】（1）先设y

20、 kxb(k 0)，根据题中条件，求出b 150k，设该商品的日利润为w元，由题中条件，得到w(x50)y k(x50)(x150)，根据二次函数的性质，即可求出结果；（2） 由 （1） ， 根据题中条件， 可得k(x150)(x50) 2500k64%，求解，即可得出结果.【详解】 （1）依题意可设y kxb(k 0)，将x 150，y 0代入y kxb(k 0)，解得b 150k，即y k(x150)(50 x 150)设该商品的日利润为w元，则w(x50)y k(x50)(x150)2 kx2200 x7500 k (x100) 2500(50 x 150)因为k 0，所以当x 100时

21、，w最大，且最大值为2500k，故若店主要获取该商品最大的日利润， 则该商品的单价应定为 100 元，（2）由题得k(x150)(x50) 2500k64%，即x2200 x91000，解得x 70或x 130，故若店主要获得该商品最大日利润的 64%，则该商品的单价应定为 70 元或 130 元【点睛】思路点睛：求解给定函数模型的问题，一般需要根据题中条件，得出对应函数关系式，再结合函数的性质等，即可求出结果.21.（1）比较a213与6a 3的大小；（2）解关于x的不等式x23m1x2m22m0【答案】 （1）a213 6a3； （2）见详解.【解析】【分析】（1）两式作差比较，即可得出结

22、果；（2）分别讨论2m m1，2m m1，2m m1三种情况，分别解不等式，即可得出结果.【详解】 （1）a2136a3 a26a10 a321，因为a32 0，所以a3211 0，即a213 6a3.（2）x23m1x2m22m x2mxm1.当2m m1，即m1时，解原不等式，可得2m x m1；当2m m1，即m 1时，解原不等式，可得x 2；当2m m1，即m 1时，解原不等式，可得m1 x 2m.综上所述，当m1时，原不等式的解集为2m,m1；当m 1时，原不等式的解集为2；当m 1时，原不等式的解集为m1,2m.22.已知a0，函数f(x)x2-ax+3，g(x) xaax.（1）

23、求f(x)在1，3上的最小值h(a)；（2）若对于任意x11，3，总存在x21，3，使得f(x1)g(x2)成立，求a的取值范围.4a,0 a 2,2 a【答案】 （1）h(a) 43,2 a 6,； （2）(122,2).123a,a 6.【解析】分析】（1）依题意可得函数的对称轴x 2 0，再对对称轴分类讨论，分别求出相对应的函数的最小值，即可得解；（2）由题意知，原不等式等价于在1,3内，fxmin gxmin成立，任取x3,x41,3(x3 x4)(x3x4 a2)g(x3) g(x4) ， 对参数a分类讨论， 求出gx的最ax3x4a小值，再解不等式，即可求出参数a的取值范围；【详解

24、】解： （1）因为a 0，所以函数fx x2ax3图象的对称轴方程x 2 0.若021，即 0a2，则f(x)在1，3上单调递增，h(a)f（1）4-a；若12 3， 即 2a6， 则f(x)在1,2)上单调递减， 在(2,3上aa2单调递增，h(a) f (2) 43；aaaaa若a3，即2a6，则f(x)在1，3上单调递减，h(a)f（3）12-3a.4a,0 a 2,2 ah(a) 综上，3,2 a 6,4123a,a 6.（2）由题意知，原不等式等价于在1,3内，fxmin gxmin成立，任取x3,x41,3，令x3 x4，则x3ax4a(x3 x4)(x3x4 a2)g(x3) g

25、(x4) .ax3ax4ax3x4若 0a1，则x3x4-a12(x3 x4)(x3x4a2) 0，0，ax3x4g(x)在1，3上单调递增，g(x)min g(1)a a.若 1a3，则当x3，x41，a)时，x3x4-a20，(x3 x4)(x3x4a2) 0； 当ax3x4x3，x4(a， 3时，x3x4-a2(x3 x4)(x3x4a2) 0，0，ax3x4即g(x)在1，a)上单调递减，在(a，3上单调递增，g(x)ming(a)2.若a3，则x3x4-a32(x3 x4)(x3x4a2) 0，0，ax3x4g(x)在1，3上单调递减，g(x)min g(3)a3.故当 0a1 时，

26、则4a 12a，解得1 a 1；a2a当 1a2 时，则 4-a2，解得 1a2；当 2a3当 3a6a2时，则43 2，不等式无解；a23aa23时，则43a3，因为4343a，a3 2，所以不等式无解；当a6 时，则123a a3，因为12-3a-6，所以不等式无3a解.综上，a21,2的取值范围为.2【点睛】 本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：一般地，已知函数y fx,xa,b，y gx,xc,d（1）若x1a,b，x2c,d，总有fx1 gx2成立，故fxmax gx2min；（2）若x1a,b，x2c,d，有fx1 gx2成立，故fxmax gx2max；（3）若x1a,b，x2c,d，有fx1 gx2成立，故fxmin gx2min；（4）若x1a,b，x2c,d，有fx1 gx2，则fx的值域是gx值域的子集