2022年点到直线的距离公式 .pdf-得力文库

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1、点与直线直线方程一. 教学内容：点到直线的距离；点关于点、关于直线的对称点；直线关于点、关于直线的对称直线；直线方程复习；二. 知识点：1. 点到直线距离公式及证明dAxByCAB|0022关于证明：根据点斜式，直线PQ 的方程为不妨设A0yyBAxx00(),即，BxAyBxAy00解方程组AxByCBxAyBxAy000，得，xB xAByACAB20022这就是点Q 的横坐标，又可得xxB xAByACA xB xAB0200202022A AxByCAB()0022，yyBAxxB AxByCAB000022()()，所以，dxxyyAxByCAB()()()020200222精选学习

2、资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 16 页|AxByCAB0022。这就推导得到点Px0，y0到直线l：Ax+By+C=0的距离公式。如果 A=0 或 B=0，上式的距离公式仍然成立。下面再介绍一种直接用两点间距离公式的推导方法。设点 Q 的坐标为 x1，y1 ，则AxByCyyxxBAA11101000,()，把方程组作变形，A xxB yyAxByCB xxA yy()()()()()10100010100，把，两边分别平方后相加，得()()()()ABxxBAyy2210222102()AxByC002，所以，()()()x

3、xyyAxByCAB10210200222，所以，dxxyy()()102102|AxByCAB0022此公式还可以用向量的有关知识推导，介绍如下：设，、，是直线上的任意两点，则P xyP xyl111222()()AxByCAxByC112200把、两式左右两边分别相减，得A xxB yy()()12120，由向量的数量积的知识，知精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 16 页nP P，210这里 n=A，B 。所以 n=A， B是与直线l 垂直的向量。当与的夹角为锐角时，nP P10dP P|cos10，如下图当与

4、的夹角为钝角时，nP P10dP PP PP P|cos()|cos|cos |101210180如下图所以，都有dP P|cos |10，因为nP PnP P，1010| |cos所以dnPPn| |10精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 16 页|(,)()|A BxxyyAB，010122| ()()|A xxB yyAB010122|AxByCAB0022()因为，所以AxByCAxByC111102. 平行线间的距离公式3. 点关于点的对称点中点坐标公式4. 已知 P0 x0，y0直线 l： Ax+By+C=0 B

5、 0点，关于直线的对称点：P xyl000()设为，P xy111()则AxxByyCyyxxAB010110102201()特别地关于特殊直线的对称点。x 轴、 y 轴、直线y=x ，直线 y=x5. 直线 l 关于点 P0 x0，y0对称直线三种方法6. 直线关于直线的对称直线三种方法llA xB yC11110()特别地直线l 关于特殊直线y=x+b 的对称直线。【典型例题】例 1. 求与直线：平行且到的距离为的直线的方程。lxyl512602解法一：设所求直线的方程为，5120 xyc在直线上取一点，512600120 xyP ()点到直线的距离为Pxyc05120精选学习资料

6、 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 16 页dcc|()|121251261322由题意，得。|c6132c=32 或 c=20，所求直线方程为和。512320512200 xyxy解法二：设所求直线的方程为5120 xyc，由两平行直线间的距离公式，得，解之，2651222|()c得或。cc3220故所求直线的方程为512320512200 xyxy和。小结：求两条平行线之间的距离，可以在其中的一条直线上取一点，求这点到另一条直线的距离，即把两条平行线之间的距离，转化为点到直线的距离。也可以直接套两平行线间的距离公式。dCCAB|

7、2122例 2. 已知正方形的中心为G 1，0 ，一边所在直线的方程为x+3y 5=0，求其他三边所在的直线方程。解：正方形中心G 1，0到四边距离均为|151361022。设正方形与已知直线平行的一边所在直线的方程为x+3y+c1=0。则，即。|1106101611cc解得或。cc1157故与已知边平行的边所在直线的方程为x+3y+7=0 设正方形另一组对边所在直线的方程为3xy+c2=0。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 16 页则，|()|31106102c即，|c236解得或。cc2293所以正方形另两边所在直线

8、的方程为：390330 xyxy和。综上所述，正方形其他三边所在直线的方程分别为：xyxyxy370390330、。小结：本例解法抓住正方形的几何性质，利用点到直线的距离公式，求得了正方形其他三边所在直线的方程。例 3. 求直线关于直线对称的直线的方程。xyxy21010解法一：由，得，xyxyxy2101010点 1，0为两已知直线的交点。设所求直线的斜率为k，由一条直线到一条直线的角的公式，得，。112112112kkk故所求直线方程为yxxy21220()，即。解法二：由解法一知两已知直线的交点为A1，0 。在直线上取一点，xyB210012()设点关于直线的对称点为，则BxyC x

9、y1000()精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 16 页0212210120110000 xyyx，()()解得，。xy00321点的坐标为，。C()321直线的方程为，ACyxxy0101321220即直线关于直线对称的直线的方程为。xyxyxy21010220解法三：设 Px，y是所求直线上的任一点，P 关于直线xy10 对称的点为P0 x0，y0 ，则在直线上。Pxy0210，xy00210kyyxxPP000，线段的中点是，。PPMxxyy00022()点与点关于直线对称，PPxy010，。yyxxxxyy000

10、0112210()，。xyyx0011代入，得xy00210精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 16 页12 110yx()，即为所求。220 xy解法四：直线 x+y 1=0 k=1 由 x+y1=0 xyyx11代入 x2y1=0 得1y2(1x)1=0 2x y2=0 即为所求。小结：求直线 l 关于直线l1对称的直线的方程，只要在l 上取两点A、 B，求 A、B 关于 l1的对称点A、B，然后写出直线AB 的方程即为所求。解法二和解法三中，都用到了求一个点P关于某直线l 的对称点 P0的问题。这个问题的解法就是根

11、据：直线 P0P 与直线 l 垂直；线段P0P 的中点在直线l 上，列出方程组解出x0、y0，代入 x0、y0所满足的方程，整理即得所求直线的方程。例 4. 求经过直线和的交点，且在两坐标轴上的32602570 xyxy截距相等的直线方程。解法一：由方程组，32602570 xyxy得，。xy43两已知直线的交点为4，3 。当所求直线在两坐标轴上的截距都是0 时，直线的横截距、纵截距相等。所求直线的方程为，yx34即。当所求直线不过原点时，340 xy设所求直线方程为，xya因为点 4，3在直线x+y=a 上，431aa故所求直线方程为。xy10综上所述，所求直线方程为或。34010 xyxy

12、精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 16 页解法二：所求直线经过直线和直线的交点，32602570 xyxy所以可设所求直线的方程为。3262570 xyxy()(*)在式中，令得；(*)xy07625令得。yx07632由题意，得。76257632所以或。6713把和分别代入式整理，6713(*)即得和。34010 xyxy小结：解法一设直线的截距式时注意了截距为0 的情形。故而没有直接设成xayaA xB yCA xB yC10111222的形式，解法二中用到了过两直线与的交点的直线系方程：。0A xB yCA xB

13、 yC1112220()例 5. 已知两条直线：，：，求分别满足下laxbylaxyb124010()列条件的a、 b的值。1直线 l1过点 3， 1 ，并且直线l1与直线 l2垂直；2直线 l1与直线 l2平行，并且坐标原点到l1、l2的距离相等。分析：考查直线与直线平行及垂直的问题的处理方法。解：( )()()111012 ，lla abaab20又点 3， 1在 l1上，340ab由、解得a=2，b=2。2 l1l2且 l2的斜率为1a。l1的斜率也存在，ababaa11，故 l1和 l2的方程可分别表示为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - -

14、 - - -第 9 页，共 16 页laxyaa11410：，()()laxyaa2110：。()原点到l1和 l2的距离相等，或411223| |aaaaaa因此，或，abab22232小结：在2中由于 l1l2，l2有斜率，从而得出l1有斜率，即b0。例 6. 已知函数，求的最小值，并求取得f xxxxxf x( )( )222248最小值时x 的值。解：f xxxxx( )222248()()()()xx1012022222它表示点Px，0与点 A1，1的距离加上点Px，0与点 B2，2的距离之和，即在 x 轴上求一点Px，0与点 A1，1 、B2，2的距离之和的最小值。由下列图可知，

15、转化为求两点A1， 1和 B2，2间的距离，其距离为函数f(x)的最小值。的最小值为fx( )()()12121022再由直线方程的两点式得方程为。A Bxy340令得。当时，的最小值为。yxxfx0434310( )小结：数形结合是解析几何最根本的思想，因此此题联系图形求解，使解法直观、简捷而且准确，易于入手。例 7. 用解析法证明：等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高。证明：建立如下图的坐标系，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 16 页Aa，0 ，B0，b ，C a，0 ， a0，b0 ，则直线

16、的方程为，ABbxayab0直线的方程为BCbxayab0设底边 AC 上任意一点为Px， 0 a xa ，则到的距离PABPEbxababb axab|()2222PBCPFbxababb axab到的距离为 |()2222ABChbaabababab到的距离|22222 | |()()PEPFb axabb axabababh2222222原命题得证。例 8. 等腰直角三角形斜边所在直线的方程是3xy0，一条直角边所在直线l 经过点 4，2 ，且此三角形的面积为10，求此直角三角形的直角顶点的坐标。解：设直角顶点为C，C 到直线 y=3x 的距离为d，则，12210dd，设的斜率为，

17、则dlkkkk1031345112tan 的方程为，即lyxxy2124280()设是与直线平行且距离为的直线，lyx310则与的交点就是点，设的方程是，llClxym30精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 16 页则，|mm101010的方程是lxy3100由方程组及得点坐标是，或xyxyxyxyC28031002803100125145()()285345，例 9. 已知直线：，lm xm ym()()2124301求证：不管m 为何实数，直线l 恒过一定点M；2过定点M 作一条直线l1，使 l1夹在两坐标轴之间的

18、线段被M 点平分，求l1的方程；3假设直线l2过点 M，且与 x 轴负半轴、 y 轴负半轴围成的三角形面积最小，求l2的方程。解：( )()124230化原直线方程为，xym xy由，定点的坐标为，24023012xyxyM()( )21设过点的直线方程为，Mxayb它与 x 轴、 y 轴分别交于Aa， 0 ，B0，b 。M 为 AB 中点，由中点坐标公式得a=2，b=4，所求直线方程为 240 xy( )()()32102设所求直线的方程为，lyk xk它在轴，轴上的截距分别为，，则易得：xyabSabkkkkkk12122121212221244| | |()()()()当且仅当k

19、2 时，围成的三角形面积最小，所求的直线方程为，即yxxy221240()【模拟试题】1. 已知直线 l 经过点 P 5，10 ，且原点到它的距离为5，则直线l 的方程为 _。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 16 页2. 设，)02，则点P 1 ， 1 到直线xycossin2的最大距离是_。3. 已知点P 1，cos到直线xysincos11402的距离等于，且，则_。4. 如图，已知正方形ABCD 的中心为E 1， 0 ，一边 AB 所在的直线方程为xy350，求其他三边所在直线的方程。5. 求

20、平行线27802760 xyxy和的距离。6. 求过点 A 1，2且与原点的距离为22的直线方程。7. 求过点P1，2且被两平行直线lxylxy1243104360：与：截得的线段长为2的直线方程。8. 求过点 P0，2且与点 A1，1 ，B 3，1等距离的直线l 方程。9. 原点关于直线8625xy的对称点坐标是A. ()232，B. ()258256，C. ()34，D. 4，31991 年全国高考题精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 16 页【试题答案】1. 342505xyx或提示：1当直线l 的斜率存在时，可设l

22、 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 16 页或m717。点 E 在 CD 上方， m 17。经检验不合题意，舍去。m=7， CD 所在直线方程为xy370。AB BC，可设 BC 所在直线方程为30 xyn，则|3013105132222n， n=9 或 3。经检验， BC 所在直线方程为390 xy，AD 所在直线方程为330 xy。综上所述，其他三边所在直线方程为xyxyxy370390330，。5. 分析：在直线上任取一点，求这点到另一直线的距离。解：在直线2760 xy上任取一点，如P 3，0 ，则点 P3，0到直线2780

23、 xy的距离就是两平行线间的距离。因此d|()2370827145314 535322。注意用上面方法可以证明如下结论：一般地，两平行直线AxByC10和AxByC20()CC12间的距离为dCCAB|1222。6. 分析：设直线的点斜式方程，利用点到直线的距离公式求出斜率k。解：设直线方程为yk x21()，则kxyk20。|21222kk，解之得kk17或。故所求直线的方程为yx21()或yx271()，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 16 页即xyxy10750或。7. 分析：先画图，由图

24、形易求得两平行直线间的距离为1，则所求直线与两平行直线成45角，则由夹角公式求得所求直线的斜率kk717或。解：易求得两平行直线间的距离为1，则所求直线与两平行直线成45角，设所求直线的斜率为k，则|tankk43143451，解之得kk717或。所求直线方程为xyxy7150750或。注意在寻求问题解的过程中，数形结合可优化思维过程。8. 分析：画图分析，可知符合题意的直线l 有 2 条。解：画图分析，可知符合题意的直线l 有 2 条。其一直线经过AB 的中点；其二直线与AB所在的直线平行。又由AB 的中点为 1，1得所求直线为yx2；当所求直线与AB 所在的直线平行时，得所求直线方程为y2。9. 解：直线862543xy的斜率为，与它垂直的直线斜率为34，因此原点关于此直线对称的点应在直线yx34上。对照选项，只有4，3在直线上，故选D。评注此题考查直线方程和对称点的有关知识。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 16 页

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