2022年二次根式导学案 .pdf

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1、学习必备欢迎下载第十六章二次根式第一课时二次根式一、学习目标1、了解二次根式的概念，能判断一个式子是不是二次根式。2、掌握二次根式有意义的条件。3、掌握二次根式的基本性质：)0(0 aa和)0()(2aaa二、学习重点、难点重点：二次根式有意义的条件；二次根式的性质难点：综合运用性质)0(0 aa和)0()(2aaa。三、学习过程（一）复习回顾：（1）已知ax2，那么a是x的_;x是a的_ 记为_,a一定是 _数。（2）4 的算术平方根为2，用式子表示为 =_；正数a的算术平方根为_，0 的算术平方根为_；式子)0(0 aa的意义是。（二）自主学习(1)16的平方根是；(2) 一个物体从高处自

2、由落下，落到地面的时间是t( 单位：秒 ) 与开始下落时的高度h(单位：米 )满足关系式25th。如果用含 h 的式子表示 t ，则 t = ；(3) 圆的面积为 S，则圆的半径是；(4) 正方形的面积为3b，则边长为。思考：16，5h，s,3b等式子的实际意义 . 说一说他们的共同特征 . 4精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 35 页学习必备欢迎下载定义: 一般地我们把形如a（0a）叫做二次根式，a叫做_ 。1、试一试：判断下列各式，哪些是二次根式？哪些不是？为什么？3，16，34，5，)0(3aa，12x2、当a为正数

3、时a指a的，而 0 的算术平方根是，负数，只有非负数a才有算术平方根。所以，在二次根式a中，字母a必须满足 , a才有意义。3、根据算术平方根意义计算：(1) 2)4(2) （3）2)5.0(（4）2)31(根据计算结果，你能得出结论：，其中0a, 4、由公式)0()(2aaa，我们可以得到公式a=2)(a , 利用此公式可以把任意一个非负数写成一个数的平方的形式。如(5)2=5；也可以把一个非负数写成一个数的平方形式，如5=(5)2. 练习： (1) 把下列非负数写成一个数的平方的形式：6 0.35 (2) 在实数范围内因式分解72x 4a2-11 （三）合作探究【例 1】下列式子，哪些是二

4、次根式，哪些不是二次根式：2、33、1x、x（x0） 、0、42、-2、1xy、xy （x0，y?0） _)(2a2)3(精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 35 页学习必备欢迎下载【例 2】当 x 是多少时，23x+11x在实数范围内有意义？【例 3】已知 y=2x+2x+5，求xy的值若1a+1b=0，求 a2012+b2012的值练习： 1、x取何值时，下列各二次根式有意义？43x223x2、 （1）若33aa有意义，则 a 的值为 _ （2）若在实数范围内有意义，则x为（） 。A.正数B.负数 C.非负数D.非正数3

5、、(1) 在式子xx121中，x的取值范围是 _. (2)已知42x+yx20，则yx_. (3) 已知233xxy, 则xy= _。（四）达标测试 ( 一) 填空题：x21x精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 35 页学习必备欢迎下载1、253 2、若0112yx，那么x= ， y = 。3、当 x= 时，代数式45x有最小值，其最小值是。4、在实数范围内因式分解：（1）229xx( )2=（x+ ）(y- ) （2）223xx( )2=（x+ ）(y- )（二）选择题：1、一个数的算术平方根是a，比这个数大 3 的数为（

6、） A 、3a B、3a C、3a D 、32a 2 、二次根式1a中，字母 a 的取值范围是（） A 、 al B、a1 C、a1 D、a1 2、已知03x则 x 的值为（）A、 x-3 B、x-3 C、x=-3 D、 x 的值不能确定3、下列计算中，不正确的是（） 。 A、3= 2)3( B 、 0.5=2)5 .0(C、6 .06 .02D、35)75(2（五）课后提高1、下列各式中， -222a，a，a(a0)，31a是二次根式的是。2、当 x 是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？x35123x12x13x2)2(x48xx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师

7、归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 35 页学习必备欢迎下载第二课时二次根式的性质一、学习目标1、理解二次根式的性质，能运用二次根式的性质进行二次根式的运算和化简；2、经历探索（a）2=a（a0）的过程，培养分类的数学思想。3、掌握二次根式的基本性质二、学习重点、难点重点：二次根式的性质。难点：综合运用性质aa2进行化简和计算。三、学习过程（一）复习引入：（1）什么是二次根式，它有哪些性质？（2）二次根式52x有意义，则 x。（3）在实数范围内因式分解：226xx( )2=（x+ ）(x- )（二）自主学习【探究一 】1.根据算术平方根的意义填空：（4）2=_； （2）2=_；

8、 （9）2=_； （3）2=_；（13）2=_； （72）2=_； （0）2=_根据以上结果，你能发现什么规律？【归纳 】二次根式的性质 ：（a）2=a（a0）【例 1】计算：（32）2（35）2（56）2（72）2 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 35 页学习必备欢迎下载【例 2】计算：（1x）2（x0）（2a ）2（221aa）2（24129xx）2 【例 3】在实数范围内分解下列因式: （1）x2-3 （2）x4-4 (3) 2x2-3 【探究二 】1、计算：2422.02)54(220观察其结果与根号内幂底数的关

9、系，归纳得到：当2,0aa时2、计算：2)4(2)2 .0(2)54(2)20(观察其结果与根号内幂底数的关系，归纳得到：当2,0aa时3、计算：20当2,0aa时4、归纳总结精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 35 页学习必备欢迎下载将上面做题过程中得到的结论综合起来，得到二次根式的又一条非常重要的性质：00002aaaaaa5、化简下列各式：（1） 、23.0（2） 、2)5. 0(（3） 、2) 6(（4） 、22a= （0a）6、请大家思考、讨论二次根式的性质)0()(2aaa与aa2有什么区别与联系。【例 1】化简

10、：（1）9（2）2( 4)（3）25（4）2( 3)【例 2】求下列各式的值。2)45(2)32(2)21(2)14. 3(（三）巩固练习1计算（1） （9）2（2）-（3）2（3） （126）2（4） （-323）2 (5) (233 2)(233 2)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 35 页学习必备欢迎下载2把下列非负数写成一个数的平方的形式: 5 3.4 16x（x0） 3在实数范围内分解下列因式: x2-2 x4-9 3x2-5 4 、化简下列各式（1）)0(42xx (2) 4x5、化简下列各式（1）)3()3

11、(2aa（2）232x（x-1.5) （四）达标测试：A组1、填空： （1） 、2) 12( x-2)32(x)2(x=_. （2） 、2)4(= （3）a、b、c 为三角形的三条边，则cabcba2)(_. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 35 页学习必备欢迎下载2、已知 2x3，化简：3)2(2xxB组3 已知 0 x1，化简：4)1(2xx4)1(2xx4、把212xx的根号外的x2适当变形后移入根号内，得（）A、x2B、2x C 、x2 D 、2x5、 若二次根式26x有意义，化简 x-4 - 7-x。6 6已知

12、1xy+3x=0，求 xy的值（六）课后提高1、如果2)2(2xx，那么 x 的取值范围是。2、若 1x0，y0) 2、若32)3)(2(xxxx，则 x 的取值范围是。3、自由落体的公式为S=12gt2（g 为重力加速度，它的值为10m/s2） ，若物体下落的高度为720m，则下落的时间是 _4、已知：)35(21a，)35(21b，求 a2-ab+b2的值。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 35 页学习必备欢迎下载第二课时二次根式的除法一、学习目标1、掌握二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质。2、能熟练进行二次根

13、式的除法运算及化简。二、学习重点、难点重点： 掌握和应用二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质。难点： 正确依据二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质进行二次根式的化简。三、学习过程（一）复习回顾1、写出二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质2、计算：（1）38（-46）（2）3612abab3、填空：（1）916=_，916=_；规律：916_916；（2）1636=_，1636=_；1636_1636；（3）416=_，416=_；416_416；（4）3681=_，3681=_3681_3681一般地，对二次根式的除法规定：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳

14、总结 - - - - - - -第 15 页，共 35 页学习必备欢迎下载ab=ab（a0，b0）反过来，ab=ab（a0，b0）下面我们利用这个规定来计算和化简一些题目（二）合作探究【例 1】计算：（1）123（2）3128（3）11416（4）648解：【例 2】化简：（1）364（2）22649ba（3）2964xy（三） 、巩固练习1、计算：（1）123（2）3128（3）11416（4）648精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 35 页学习必备欢迎下载2、化简：（1）364（2）22649ba（3）2964xy（

15、4）25169xy注： 1、当二次根式前面有系数时，类比单项式除以单项式法则进行计算：即系数之商作为商的系数，被开方数之商为被开方数。2、化简二次根式达到的要求：（1）被开方数不含分母；（2）分母中不含有二次根式。（四）拓展延伸阅读下列运算过程：1333333，22 52 55555数学上将这种把分母的根号去掉的过程称作“分母有理化 ” 。利用上述方法化简：(1)26=_ （）13 2=_() 112=_ _ ( ) 102 5=_ _ （五）达标测试：A组1、选择题（1）计算112121335的结果是（） A275 B27 C2 D27（2）化简3 227的结果是（） A-23 B-23 C

16、-63 D-2精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 35 页学习必备欢迎下载2、计算：（1）482（2）xx823（3）16141（4）2964xyB组用两种方法计算：（1）648（2）346第三课时最简二次根式一、学习目标1、理解最简二次根式的概念。2、把二次根式化成最简二次根式3、熟练进行二次根式的乘除混合运算。二、学习重点、难点重点：最简二次根式的运用。难点：会判断二次根式是否是最简二次根式和二次根式的乘除混合运算。三、学习过程（一）复习回顾1、化简（ 1）496x= （2）3 227= （3）35= (4）3 227

17、= （5）82a= 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 35 页学习必备欢迎下载2、结合上题的计算结果，回顾前两节中利用积、商的算术平方根的性质化简二次根式达到的要求是什么？（二）自主学习观察上面计算题1 的最后结果，可以发现这些式子中的二次根式有如下两个特点： 1被开方数不含分母； 2被开方数中不含能开得尽方的因数或因式我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根（三）合作探究【例 1】判断下列二次根式，哪些是最简二次根式？为什么？8；a1；5.2；22yx；22ba；342；23例 2、化简 : (1) 5312

18、(2) 2442x yx y (3) 238x y (4)208例 3 、计算：521312321例 4、比较下列数的大小（ 1）8.2与432（2）7667与注：1、化简二次根式的方法有多种，比较常见的是运用积、商的算术平方根的性质和分母有理化。2、判断是否为 最简二次根式的两条标准： （1）被开方数不含分母；（2）被开方数中所有因数或因式的幂的指数都小于2精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 35 页学习必备欢迎下载（四）拓展延伸观察下列各式，通过分母有理化，把不是最简二次根式的化成最简二次根式：121212)12)(1

19、2() 12(1121，232323)23)(23()23(1231，同理可得：321 =32，从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算（231121+200820091） （12 0 9）的值（五）达标测试：1、选择题（1）如果xy（y0）是二次根式，化为最简二次根式是（） Axy（y0） B xy （y0） Cxyy（y0） D 都不对（2）化简二次根式22aaa的结果是 A 、2a B、-2a C、2a D、-2a精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 35 页学习必备欢迎下载 2 、填空：（1）化简422xx y =_

20、 （x0）（2）已知251x，则xx1的值等于 _. 3 、计算：（1）2147431 (2) 21541)74181(2133（六）课后提高1、计算：abbaabb3)23(235（a0,b0）2、若 x、y 为实数，且 y=224412xxx，求yxyx的值。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 35 页学习必备欢迎下载3、已知 a 为实数，化简：3a -a1a，阅读下面的解答过程，请判断是否正确？若不正确，?请写出正确的解答过程：解：3a -a1a=aa-a1aa=（a-1）a4、观察下列各式，通过分母有理化，把不是最

21、简二次根式的化成最简二次根式：121=1 ( 21)212 1( 21)( 21)=2-1，132=1 ( 32)3232( 32)(32)=3-2，同理可得：143=4-3，从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算（121+132+143+120022001） （2002+1）的值精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 35 页学习必备欢迎下载二次根式的加减第一课时二次根式的加减学习目标：1、理解同类二次根式，并能判定哪些是同类二次根式2、理解和掌握二次根式加减的方法 3、先提出问题，分析问题，在分析问题中，渗透对二次根式进

22、行加减的方法的理解再总结经验，用它来指导根式的计算和化简学习重点、难点1、重点：二次根式化简为最简根式2、难点：会判定是否是最简二次根式学习过程一、自主学习（一） 、复习引入计算 （1）xx32；（2）222532xxx；（3）yxx32；（4）22223aaa（二） 、探索新知学生活动：计算下列各式（1）22+32 = （2）28-38+58 = （3）7+27+397 = （4）33-23+2= 由此可见，二次根式的被开方数相同也是可以合并的，如22与8表面上看是不相同的，但它们可以合并吗？也可以 （与整数中同类项的意义相类似我们把33与32，a3、a2与a4这样的几个二次根式，称为同类二

23、次根式） 32+8=32+22=52 33+27=33+33=63精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页，共 35 页学习必备欢迎下载所以， 二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，?再将同类二次根式进行合并二合作探究例 1计算（1）8+18（2）16x+64x例 2计算（ 1）348-913+312（ 2 ） （48+20）+（12-5）归纳：第一步，将不是最简二次根式的项化为最简二次根式；第二步，将相同的最简二次根式进行合并三、巩固练习(1) )27131(12 (2) )512()2048(3) yyxyxx124

24、1（4）)461(9322xxxxxx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 24 页，共 35 页学习必备欢迎下载四、课堂检测（一） 、选择题 1以下二次根式：12；22；23；27中，与3是同类二次根式的是（） A和 B和 C和 D和2下列各式： 33+3=63；177=1；2+6=8=22；243=22，其中错误的有（） A3 个 B2 个 C1 个 D0 个3在下列各组根式中，是同类二次根式的是( ) (A)3和18(B)3和31(C)ba2和2ab(D)1a和1a4下列各式的计算中，成立的是( ) (A)5252(B)15354(

25、C)yxyx22(D)520455若121,121ba则)(abbaab的值为 ( ) (A)2 (B)2 (C)2(D)22二、填空题 1在8、1753a、293a、125、323aa、30.2、-218中，与3a是同类二次根式的有 _ 2计算二次根式 5a-3b-7a+9b的最后结果是 _精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 25 页，共 35 页学习必备欢迎下载3若最简二次根式123x与13x是同类二次根式，则x_4若最简二次根式ba3与bab2是同类二次根式，则a_，b_五、课后提高1、 计算：（1）aaaaaaa10843332

26、73123（2）5.07531281322、先化简，再求值)364()36(3xyyxxxyyxyx，其中 x=32，y=273、已知 4x2+y2-4x-6y+10=0 ，求（293xx +y23xy）-（x21x-5xyx）的值精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 26 页，共 35 页学习必备欢迎下载第二课时二次根式的混合运算一、学习目标熟练应用二次根式的加减乘除法法则及乘法公式进行二次根式的混合运算。二、学习重点、难点重点：熟练进行二次根式的混合运算。难点：混合运算的顺序、乘法公式的综合运用。三、学习过程（一）复习回顾：1、填空（

27、1） 整式混合运算的顺序是：。（2）二次根式的乘除法法则是：。（3）二次根式的加减法法则是：。（4）写出已经学过的乘法公式：2、计算：（1）6a3b31（2）16141（3）50511221832（二）合作交流1、探究计算：（1） （38）6（2）22)6324(精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 27 页，共 35 页学习必备欢迎下载2、探究计算：（1）)52)(32(（2）2)232(（三）展示反馈计算： （1）12)323242731(（2）)32)(532(（3）2)3223(（4） （10-7） （-10-7）注：整式的运算法

28、则和乘法公式中的字母意义非常广泛，可以是单项式、多项式，也可以代表二次根式，所以整式的运算法则和乘法公式适用于二次根式的运算。（四）拓展延伸同学们，我们以前学过完全平方公式222()2abaabb，你一定熟练掌握了吧 ! 现在，我们又学习了二次根式， 那么所有的正数（包括 0）都可以看作是一个数的平方，如3=（3）2，5=（5）2，下面我们观察：222( 21)( 2)2 1212221322精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 28 页，共 35 页学习必备欢迎下载反之，232 22221(21)232 2(21)223=2-1 仿上例

29、，求：（1） ；324你会算124吗？（3）若nmba2，则 m、n 与 a、b 的关系是什么？并说明理由（六）达标测试：A组1、计算：（1）5)9080(（2）326324（3）)()3(33abababba（a0,b0）（4）(265 2)(2 65 2)-精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 29 页，共 35 页学习必备欢迎下载2、已知121,121ba，求1022ba的值。B组计算： （1）)123)(123(（2）20092009(310)(310)（七）课后提高1、计算28185 .024832719122（3）)81312

30、()75.032()27331(32yyxyx（5）32313123（6）)253)(253(精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 30 页，共 35 页学习必备欢迎下载（7）22)632()632(（8）)777)(777(2、当 x=15+7，y=15-7，求 x2-xy+y2的值。3、把下列各式的分母有理化（1）151；（2）112 3；（3）262；（4）3 34 23 34 2二次根式复习一、学习目标1、了解二次根式的定义，掌握二次根式有意义的条件和性质。2、熟练进行二次根式的乘除法运算。3、理解同类二次根式的定义，熟练进行二次

31、根式的加减法运算。4、了解最简二次根式的定义，能运用相关性质进行化简二次根式。二、学习重点、难点重点：二次根式的计算和化简。难点：二次根式的混合运算，正确依据相关性质化简二次根式。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 31 页，共 35 页学习必备欢迎下载三、复习过程（一）自主复习1若 a0，a 的平方根可表示为 _ a 的算术平方根可表示 _ 2当 a_时，12a有意义，当 a_时，35a没有意义。32(3)_2( 32)_ 4_1872_;48145_20125_;2712（二）合作交流，展示反馈1、式子5454xxxx成立的条件是什

32、么 ? 2、计算： (1) 25341122 (2)321259xy3(1) 25 33 75 (2) 2( 3 223)（三）精讲点拨在二次根式的计算、化简及求值等问题中，常运用以下几个式子：（1）22()(0)() (0)aa aaaa与（2）00002aaaaaaa精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 32 页，共 35 页学习必备欢迎下载（3）(0,0)(0,0)abab ababab ab与（4）(0,0)(0,0)aaaaababbbbb与（5）22222()2()()abaabbab abab与（四）达标测试：A组1、选择题

33、：（1）化简25的结果是（） A 5 B -5 C 士 5 D 25 （2）代数式24xx中，x 的取值范围是（） A 4x B 2x C 24xx且 D 24xx且（3）下列各运算，正确的是（）A、565352 B、532592519 C 、12551255 D 、yxyxyx2222（4）如果(0)xyy是二次根式，化为最简二次根式是（） A、(0)xyy B、(0)xy y C 、(0)xyyy D 、以上都不对（5）化简2723的结果是（）2262333ABCD精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 33 页，共 35 页学习必备欢

34、迎下载2、计算(1)453227 (2) 162564 (3)(2)(2)aa (4)2(3)x 3、已知223,223ba求ba11的值B组1、选择：（1）55,51ba，则（） A a, b 互为相反数 B a,b 互为倒数 C 5ab D a=b（2）在下列各式中，化简正确的是（）A、15335 B、22121C 、baba24 D、123xxxx（3）把1(1)1aa中根号外的(1)a移人根号内得（）1111AaBaCaDa精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 34 页，共 35 页学习必备欢迎下载 2 、计算：（1）5426362（2）0.91210.36100（3）22(322 3) ( 3 22 3)3、若最简根式343a bab与根式23226abbb 是同类二次根式（或化简后能合并） ，求 a、b 的值4、归纳与猜想：观察下列各式及其验证过程：223322,333388(1) 按上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想1544的变化结果并进行验证(2) 针对上述各式反映的规律，写出n(n 为任意自然数，且 n2)表示的等式并进行验证精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 35 页，共 35 页