圆的一般方程６.ppt

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1、高一数学 必修圆的标准方程圆的标准方程: : (x-a)2+(y-b)2=r2指出下面圆的圆心和半径：指出下面圆的圆心和半径： (x-1)2+(y+2)2=2 (x+2)2+(y-2)2=5特征：特征：直接看出直接看出圆心圆心与与半径半径若将圆的标准方程展开，若将圆的标准方程展开，会有什么结论？会有什么结论？ x x2 2 y y 2 2DxDxEyEyF F0 0 由于由于a,b,ra,b,r均为常数均为常数FrbaEbDa 222,2,2令令结论：结论：任何任何一个圆方程可以写成下面形式：一个圆方程可以写成下面形式：把圆的标准方程（把圆的标准方程（x-a)x-a)2 2+(y-b)+(y-

2、b)2 2=r=r2 2展开，得展开，得x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2 =0结论：结论：任何一个圆方程可以写任何一个圆方程可以写成下面形式：成下面形式： x2 y 2DxEyF0 是不是任何一个形如是不是任何一个形如 x2 y 2DxEyF0 的的方程表示的曲线都是圆呢？方程表示的曲线都是圆呢？思考 ：下列方程表示什么图形？0142) 1 (22yxyx012222 ) 2 (22yxyx01564) 3 (22yxyx0142) 1 (22yxyx 表示以表示以(1(1，-2)-2)为圆心，半径为为圆心，半径为2 2的圆。的圆。 012222 ) 2 (22yxyx 表示点表示

3、点 )21,21(01564) 3 (22yxyx不表示任何图形不表示任何图形 。配方得：配方得：42122yx配方得：配方得：0212122yx配方得：配方得：23222yx先将方程配方，变形为先将方程配方，变形为44222222FEDEyDx 、当时，方程表示、当时，方程表示0422 FED 以为圆心，以为半径长的圆以为圆心，以为半径长的圆)2,2(ED FED42122 、当时，方程表示一个点、当时，方程表示一个点0422 FED)2,2(ED 、当时，方程不表示任何图、当时，方程不表示任何图 形形0422 FED圆的一般方程圆的一般方程022 FEyDxyx)04(22 FED圆心圆心

4、)2,2(ED FED42122 半径半径1、A C 0 2、B=03、 D2E24AF0 二元二次方程表二元二次方程表示圆的一般方程示圆的一般方程圆的一般方程：圆的一般方程：x2 y 2DxEyF0（D D2 2+E+E2 2-4F0-4F0）与二元二次方程：与二元二次方程：的关系的关系: :A x2 +BxyCy 2DxEyF0（1）x2+y2-2x+4y-4=0（2）2x2+2y2-12x+4y=0（3）x2+2y2-6x+4y-1=0（4）x2+y2-12x+6y+50=0（5）x2+y2-3xy+5x+2y=0圆心（圆心（1 1，-2-2）半径）半径3 3圆心（圆心（3 3，-1)-

5、1)半径半径10 判断下列方程能否表示圆的方程判断下列方程能否表示圆的方程, ,若能请写若能请写出圆心与半径出圆心与半径(x-1)(x-1)2 2+(y+2)+(y+2)2 2=9=9配方配方(x-3)(x-3)2 2+(y+1)+(y+1)2 2=10=10配方配方配方配方(不符合一般方程的形式不符合一般方程的形式)(x-6)(x-6)2 2+(y+3)+(y+3)2 2=-5=-5(含含xy项项) 例例1 求过三点求过三点O（0，0），），M1（1，1），），M2（4，2）的圆的方程，并求出这个圆的半径长和圆心坐标。的圆的方程，并求出这个圆的半径长和圆心坐标。解：设圆的一般方程是解：设圆的

6、一般方程是022 FEyDxyx由已知圆过三点由已知圆过三点O，M1，M2把三点坐标代入圆把三点坐标代入圆的方程，得的方程，得 024020FEDFEDF解得解得0, 6, 8 FED06822 yxyx所以，所求圆的方程是所以，所求圆的方程是圆心坐标（圆心坐标（4，-3）半径半径542122 FEDr(1)(1)标准方程标准方程易于看出易于看出圆心圆心与与半径半径, ,几何特征明显。几何特征明显。一般方程一般方程突出突出形式上形式上的特点：的特点： 没有没有xyxy这样的二次项这样的二次项 x x2 2与与y y2 2系数相同并且不等于系数相同并且不等于0 0；a=-D/2，b=-E/2，r

7、= FED42122 (2)(2)通过展开或配方，它们之间可以相互转化通过展开或配方，它们之间可以相互转化且且圆的标准方程与圆的一般方程各自有何特点圆的标准方程与圆的一般方程各自有何特点知知D、E、F知知a、b、rD2+E2 4F0配方配方展开展开圆的方程（x-a)2+(y-b)2=r2X2+y2+Dx+Ey+F=0课堂练习(1)(1)已知圆已知圆 的圆心坐标为的圆心坐标为(-2,3),(-2,3),半径为半径为4,4,则则D,E,FD,E,F分别等于分别等于022FEyDxyx3 , 6, 4)(A3 , 6 , 4)(B3, 6 , 4)(C3, 6, 4)(D0222ayaxyx 是圆的

8、方程的充要条件是是圆的方程的充要条件是(2)21)(aA21)(aB21)(aC21)(aD根据题意，选择标准方程或一般方程根据题意，选择标准方程或一般方程根据已知条件列出关于根据已知条件列出关于a a、b b、r r或或D D、E E、F F 的方程组的方程组解出解出a a、b b、r r或或D D、E E、F F，代入标准方程或，代入标准方程或 一般方程一般方程 求圆的方程常用求圆的方程常用“待定系数法待定系数法”，用，用“待待定系数法定系数法”求圆的方程的大致步骤是：求圆的方程的大致步骤是：(1)(1)若已知条件涉及圆心和半径若已知条件涉及圆心和半径, ,我我 们一般采用圆的标准方程较简

9、单们一般采用圆的标准方程较简单. .(2)(2)若已知三点求圆的方程若已知三点求圆的方程, ,我们常我们常 采用圆的一般方程用待定系数法采用圆的一般方程用待定系数法 求解求解. . 圆的一般方程与圆的标准方程圆的一般方程与圆的标准方程在应用上的比较在应用上的比较若知道或涉及圆心和半径若知道或涉及圆心和半径, ,我们一般采用圆我们一般采用圆 的标准方程较简单的标准方程较简单. .二、圆的一般方程与圆的标准方程的联系二、圆的一般方程与圆的标准方程的联系三、要学会根据题目条件三、要学会根据题目条件, ,恰当选择圆方程形式恰当选择圆方程形式: :若已知三点求圆的方程若已知三点求圆的方程, ,我们常常采用圆我们常常采用圆 的一般方程用待定系数法求解的一般方程用待定系数法求解. . 课堂小结课堂小结一、本节课的主要内容是圆的一般方程一、本节课的主要内容是圆的一般方程, ,其表达式为其表达式为022 FEyDxyx)04(22 FED一般方程一般方程标准方程标准方程配方配方展开展开