2022年专题复习直线与圆锥曲线 .pdf

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1、学习必备欢迎下载专题复习直线与圆锥曲线一. 本周教学内容：专题复习直线与圆锥曲线（一）知识与方法要点：直线与圆锥曲线的关系问题是平面解析几何中的重要问题，一方面它能很好地把有关直线方程的知识和圆锥曲线方程的知识综合起来；另一方面， 其中蕴藏了丰富的思想方法，是历年高考试题中的常考常新的内容，从而也就成为高三总复习的着力点常见的问题有： 1. 直线与圆锥曲线位置关系的研究。包括位置关系的判定，位置关系与参数值，位置关系与曲线方程等。 2. 直线与圆锥曲线相交成弦的问题。包括弦长的计算，弦的中点，最值，由弦长或弦的中点的几何性质确定直线方程或圆锥曲线的方程，对称性问题等等。基本的思想方法： 1.

2、直线与圆锥曲线的位置关系是由它们的方程组成的方程组的解的情形来确定的，因此要学会利用对方程组的解的情况的讨论来研究直线与圆锥曲线的位置关系。反之亦然， 这种思考方法就是解析几何的坐标法。 2. 分析直线与圆锥曲线的位置关系时，要注意对称性的应用和数形结合思想的应用，以及方程、函数的思想、等价转化的思想、分类讨论的思想的运用。 3. 直线 l ：y=kx+b 与圆锥曲线C：F（x，y）=0 相交所得弦长的计算方法（公式）：设 l 与曲线 C相交于两点A （ x1， y1） ，B（x2，y2） ，则2212212211)()(|yyxxABbkxybkxy，从而弦长，2212221221)(1()

3、()(xxkkxkxxx4)(1 (212212xxxxk如此以来，便与一元二次方程f(x)=0的根与系数的关系公式建立了联系，自然地，就需联立直线l 与曲线 C的方程，消元，化出关于x 的一元二次方程。 （注意，该方程的两个实根恰为 A，B两点的横坐标x1，x2）【典型例题】例 1. 顶点在原点，焦点在x 轴上的抛物线被直线l ： y=2x+1 截得的弦长为15. 求抛物线方程。分析： 依题意可知抛物线的开口或向左或向右，而标准方程中均有p0，为了统一起见，不妨设出抛物线方程的统一形式：y2=2mx(m R，且 m 0) ，再根据弦长为即可的方程，求，列出关于mm15解： 设所求抛物线方程为

4、y2=2mx(m R且 m 0)，另设 l 与该抛物线交于A（x1，y1） ，名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 9 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载B（x2，y2） ，01)24(421222xmxmxyxy一方面，因l 与抛物线相交于两点，故 =(42m)2 160，解得 m4 41222121xxmxx，另一方面，由韦达定理由弦长公式，得|()()ABm1512224142解得 m= 2 或 m=6 ，显然均满足

5、题意。故所求抛物线的方程为y2=4x 或 y2=12x。注：本例中体现了方程的思想方法，即为了求抛物线，先设出其方程，然后利用已知条件待定所设的参数m ，把问题转化为解关于m的方程。例 2. 设过原点的直线l 与抛物线y2=4(x 1)交于 A、B两点，且以AB为直径的圆恰好过抛物线的焦点F，（1）求直线l 的方程；（2）求 |AB| 的长。分析：（1）欲求 l 的方程，只需待定其斜率k，为此就需寻求等量关系，以便列出关于 k 的方程。由已知条件，发现：AFBF ，从而得到等量关系kAFkBF=1，从而 k 可求（2）一旦直线l 确定，则求弦长|AB| 迎刃而解。解： （1）设直线 l 的方程

6、为y=kx，A（x1，y1） ，B（x2， y2）044) 1(4222xxkxykxy显然 k=0 时， l 与 x 轴重合，不合题意，故k0，从而有，22122144kxxkxx又由已知条件，得AFBF， kAFkBF=1，又 F（2，0）名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 9 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载0)2)(2(1202021212211xxyyxyxy，化简得而 y1=kx1，y2=kx2，代入上式，

7、整理，得04)(22121212xxxxxxk220484)1(222kkkk，解得把代入，得。的方程为所求直线xyl228821)1()2(21212xxxxk，从而知由34848)211(4)(1(|2212212xxxxkAB弦长例 3. 已知椭圆的一个顶点为A（ 0， 1） ，焦点在x 轴上，其右焦点到直线022yx的距离为3 （1）求椭圆方程；（2）椭圆与直线y=kx+m（ k0）相交于不同两点M 、N，当 |AM|=|AN| 时，求 m的取值范围。分析：)0(1)1(2222babyax所求椭圆的方程为根据已知条件，可断定”，的距离为“右焦点到直线，故只需根据条件且30221yxb

8、来待定出a即可。（2）由椭圆与直线相交于不同两点，可得知由它们的方程联立消元所得的一元二次方程有两个不等实根，从而有=f(m ，k)0 ；另一方面，又由|AM|=|AN| ，可得点A 在线段 MN的垂直平分线上，设MN中点为 P，则有 MN AP ，从而 kMNkAP=1，即 g(m，k)=0 ，只需联立f(m，k)0 及 g(m，k)=0 消去 k，解关于m的不等式即可，求得m的取值范围。解：)0( 1) 1(2222babyax程为根据题意，可设椭圆方而 b=1，右焦点设为F（c，0） ，)0(32|22|cc由已知，得名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - -

9、 - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 9 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载32ac，从而解得。所求椭圆方程为1322yx（2）设 P为线段 MN中点，由 |AM|=|AN| 得 MN AP ，从而 kMNkAP=1 22)()(21212211yyyxxxyxNyxMPP，则，设0) 1( 36)13(1322222mmkxxkyxmkxy，化简得一方面，130)1(3) 13(4)6(22222kmmkmk1313313622221kmmxkykmkxkmkxxPPP，从而另一方面，又，

10、及，得，把，代入，整理，得AkyxxyPPPP()()01111322km由，消去k2，得 m22m ，解得 0m0 ，但应注意 A、B两点的横坐标xA，xB均小于 0；另一方面，由直线l 过 P及 AB中点，又可得到关于 k，b 的等量关系g(k ，b)=0 ，联立 f(k ， b)0 及 g(k ，b)=0 ，可求 b 的取值范围。解：022)1(112222kxxkyxkxy设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，AB中点为 M （x0，y0） ，则由题意，得名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - -

11、- - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 9 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载210)1(8401201222221221kkkkxxkkxx)111(11112222002210kkkMkkxykkxxx，即，又221)2(1011222kkkkkklPM的斜率为直线)2(2212xkkyl的方程为直线)21 (22202，轴上的截距为在，得直线令kkkbylx注：求 b 的取值范围，即求以k 为自变量的函数b=f(k)的值域。上为减函数，在函数)21(817)41(222)(22xkkkg，且gg kgg k()( )( )( )2100)(1

12、)(22kgkg，即即12)(2222)(2kgkg或222bb或即例 5 从双曲线的右焦点引直线 ，使其与一条渐近线垂直相xyFll2218161交于 A，与另一渐近线l2交于点B，求证：线段AB被双曲线的左准线平分。名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 9 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载分析： 本题的一般思路为：设出l 的点斜式方程分别与l1，l2的方程联立，表出A，B坐标求出AB中点 M的坐标，验证点M在双曲线的

13、左准线上。事实上，由于，为此需把，求出的值即可，而不必分别，只需求出BABABAMxxxxxxx2的的方程联立，可得关于，与统一形式两条渐近线方程合并成xlyx016822一元二次方程，利用韦达定理，可得xA+xB，进而可求得xM。解法一：（求 A，B交点坐标）xylxylF22)062(21，设，由已知得l l2)62(22)62(210 xyxyl，即的方程为)334362()62(222，解得由Axyxy)3462()62(222，解得由Bxyxy)338362(，的坐标为的中点 MAB3622cax为而双曲线的左准线方程名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - -

14、 - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 9 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载经验证， M在左准线上，故线段AB被双曲线的左准线平分。解法 2：)062(，由已知 F211的斜率为而， lll联立，与双曲线的渐近线方程的方程为直线0168)62(2222yxxyl0246432xxy，得消364)()(212211xxyxByxA，则由韦达定理，得，设362221xxxMABM的横坐标为中点从而3622cax左准线方程为又AB的中点 M在左准线上，即线段AB被双曲线的左准线平分。例 6 对

15、称的两点，上存在关于直线已知椭圆mxylyxC214922试求 m的取值范围。分析： “两点 A、B关于直线l 对称” ，意味着直线AB与椭圆有两个不同交点；直线 AB l ；线段 AB的中点在l 上，逐一把这些几何关系化为代数的等式或不等式，即可达到求 m的取值范围的目的。解： 设在椭圆上A、B 两点关于直线l 对称，则依题意，直线AB方程可设为名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 9 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载

16、nxy2103699425149212222nnxxyxnxy，则，设2536)()(212211nxxyxByxA)25162518(nnMAB，的坐标为中点从而点 M在 l 上mnn251822516整理，得mn45又直线 AB与椭圆相交于A、B两点，0)369(4254)9(22nn则化简，得4252n。，解不等式，得代入，得2242mm【模拟试题】 1. 设抛物线xy42截直线kxy2所得弦长为53，（1）求 k 的值；（2）以（ 1）中所得弦长为底边长，以x 轴上 P点为顶点的三角形的面积为9 时，求点 P的坐标。 2. 若抛物线12axy上总存在关于直线l ：0yx对称的点，求a

17、的取值范围。3. 已知抛物线xy2与直线) 1(xky相交于 A、B两点，（1）求证： OA OB ；（2）当 OAB的面积为10时，求 k 的值。 4. 已知椭圆以坐标轴为对称轴，焦点在x 轴上，左焦点到坐标原点、到右焦点、到右准线的距离依次成等差数列，若直线l 与椭圆相交于A、B两点，且 AB中点 M （ 2，1） ，且34| AB，求直线l 和椭圆的方程。名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 9 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载【试题答案】 1. （1）k=4； （2）P（ 1，0）或 P（5，0） 2. )43(，a 3. （1）继证 kOAkOB=1； （2）61k 4. l方程为3xy；椭圆方程为1122422yx。名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页，共 9 页 - - - - - - - - -