2020年高考数学《用函数的图像探究函数的性质》专项训练及答案解析.doc

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1、用函数的图像探究函数的性质一、基础检测1、(2018南京、盐城一模）设函数f(x)是偶函数，当x0时，f(x)若函数yf(x)m有四个不同的零点，则实数m的取值范围是_ 【答案】 【解析】先画出x0时的函数图像，再利用偶函数的对称性得到xb0，且f(a)f(b)，则a2b的最大值是_【答案】16【解析】作出函数f(x)图像，如下图：则0ba，由f (a)f (b)，所以|a26|b26|，则a266b2，所以a212b2，则b(12b2)b，设函数g(b)(12b2)bb312b(0b0，g(b)递增，当b(2，)时，g(b)0，g(b)递减，所以g(b) 的最大值为16，则a2b的最大值是1

2、6. 处理双元变量的最值问题，常用消元法，转化为单元变量的函数来处理，特别注意的是，要注意写准函数的定义域3、(2019泰州期末）已知函数f(x)若存在x00，使得f(x0)0，则实数a的取值范围是_ 【答案】 1，0) 本题是一个分段函数的形式，有以下两种处理的思路：思路1.对两段函数分别研究图像和性质，由于研究的是x0的情形，故分a0和a0两种情况讨论，当a0时，结论易得；当a0时，由于xa时，f(x)单调递增，而f(a)a3a，故要对f(a)a3a的正负分三种情况讨论，最后总结，问题得以解决思路2.考虑能否合并成一个含绝对值的函数，本题f(x)x33|xa|a，从而问题转化为yx3和y3

3、|xa|a的图像在y轴左侧有交点的问题，通过函数的图像，不难得到结论解法1(分类讨论法) 当a0时，只考虑x0，f(x)在(，a)上单调递增，而f(0)4a0，显然不存在x00，使得f(x0)0，所以a0不成立当a0时，当xa时，f(x)在(，a)上单调递增，且f(x)0，即1a0时，则必存在x0a，使得f(x0)0，结论成立；当a1时，f(1)0，结论成立；当a1时，f(x)在 a，1)上单调递增，在(1，0)上递减，而f(1)2a20，结论不成立综上实数a的取值范围是1，0)解法2(图像法) 函数f(x)x33|xa|a，由题意可得yx3与y3|xa|a在y轴左侧有交点y3|xa|a的顶点

4、为(a，a)，在直线yx上，由解得x1.又yx3在x1处的切线率斜恰为3，画出图像如图所示，数形结合知a1，0) 本题解法1属于常规思路，解法2对函数式的化简和变形提出了很高的要求，其中y3|xa|a是折线函数，是由y3|x|图像在yx上滑动所形成的图形，对于此类题型，同学要多总结，多积累，才能灵活应用4、(2018扬州期末） 已知函数f(x)若存在实数k使得该函数的值域为2，0，则实数a的取值范围是_【答案】 【解析】根据函数f(x)的解析式作出草图如图，当x1，k时，f(x)log(x1)1，它在1，1)上是单调递增的，且f(1)2，f0，因为该函数在1，a上的值域为2，0，所以必须有1k

5、；当x(k，a时，f(x)2|x1|，在(，1上单调递增，在1，)上单调递减，且f(0)f(2)2，f(1)0，因为函数的值域为2，0，所以必须有0ka2.综合，要求存在实数k使得该函数的值域为2，0，则必须0k1)相切，设切点(x0，lnx0)，则切线斜率为k，又k，则，解得x0e3，此时k，当k0时，当ykx2与曲线y相切于点(0，2)时，函数yf(x)和ykx2的图像只有三个公共点，不符合题意，此时k1，当1k0时，函数yf(x)和ykx2的图像只有三个公共点，不符合题意，当直线ykx2与yf(x)(0x1)相切时，两图像只有三个公共点，设切点(x0，lnx0)，则切线的斜率k，又k，则

6、，解得x0e1，此时ke不符合题意，当ke时，两图像只有两个公共点，不合题意，而当ek0时，令f(x)ex0，解得xln20，此时函数f(x)有1个零点，因为要求函数f(x)在R上有3个不同的零点，则当x0时，f(x)x33mx2有2个不同的零点，因为f(x)3x23m，令f(x)0，则x2m0，若m0，则函数f(x)为增函数，不合题意，故m0，所以函数f(x)在(，)上为增函数，在(，0上为减函数，即f(x)maxf()m3m22m2，f(0)20，即m1，故实数m的取值范围是(1，)解法2(分离参数) 当x0时，令f(x)ex0，解得xln20，此时函数f(x)有1个零点，因为要求函数f(

7、x)在R上有3个不同的零点，则当x0时，f(x)x33mx2有2个不同的零点，即x33mx20，显然x0不是它的根，所以3mx2，令yx2(x0)，则y2x，当x(，1)时，y0，此时函数单调递增，故ymin3，因此，要使f(x)x33mx2在(，0)上有两个不同的零点，则需3m3，即m1.二、拓展延伸题型一、运用函数图像解决多元问题知识点拨：解决多元问题的最值问题主要思想就是把多元问题转化为单元问题，要通过函数的图像找到各个参数的关系，但要注意参数的范围。例1、(2018苏锡常镇调研（二） 已知函数若存在实数，满足，则的最大值是 【答案】 思路点拨：根据函数解析式，可以结合函数的图象得出，的

8、关系，利用消元思想将问题转化为一元函数问题，进而利用导数知识解决.解题过程：作函数的图象如下：根据题意，结合图象可得，且所以令，则，易得在上递增，又因为，根据零点存在性定理可得存在唯一，使得，从而函数的减区间是，增区间是，又因为，则所以在上的最大值是 解后反思：本题以分段函数为背景，考查了导数知识在解决函数综合问题中的应用，以及数形结合，化归与转化等重要数学思想.【变式1】、(2017常州期末）已知函数，若存在实数、，满足 ，其中，则的取值范围是 .【答案】思路点拨：由存在实数、，满足得，存在一条平行于轴的直线与函数的图象有四个不同的交点，从而得到之间所存在的关系，利用这一关系来求得的取值范围

9、。解析：如图，由图形可知，则，因为，所以，由得或，由于，且二次函数的图象的对称轴为，故且，故【变式2】、（2015南京、淮安三模） 已知函数若存在，当时，则的取值范围为 【答案】解析： 因为时，画出函数的图象，易知，则此时，所以，令，解得，当取得最大值，时取得最小值3，所以的取值范围是【关联1】、(2018南京学情调研）设函数，若存在，使成立，则实数a的取值范围为.【答案】 思路点拨：先分别求出函数和的值域，再根据条件建立这两个函数值域之间的关系并求出实数的取值范围.解析：对于函数，当时，；当时，从而当，函数的值域为；对于函数，因为，所以，从而当，函数的值域为（）；因为存在，使，所以,若，则或

10、，解之得或，所以当时，即所求是实数的取值范围是.精彩点评：本题求函数和函数的值域并不困难，关键在于先求时实数的取值范围，再用补集的思想实数的取值范围，从而得到本题的最终答案，这种正难则反的思想希望同学们掌握.【关联2】、(2018南通、扬州、淮安、宿迁、泰州、徐州六市二调） 已知函数f(x)若abc且fff，则(ab1)c的取值范围是_.【答案】.解析 作出函数f(x)的图象，abc时，f(a)f(b)f(c)，log4alog4b，即log4alog4b0，则log4ab0，a1b4c6，且ab1，1624c2c0时，当且仅当点(16，8)在直线yk(x3)的上方且点(32，16)在直线yk

11、(x3)的下方(或在其上)时，两图像有两个公共点，可求出k；当k0时，当且仅当点(2，1)在直线yk(x3)的上方时，两图像有两个公共点，可求出1k0，故所求的实数k的取值范围是(1，0). 这个函数题型是2015年，2016年的热点，又出现在今年的复习迎考中，难点在于yf(x)第二段图像的寻找和画出，其实是图像的平移与变换的应用，注意观察其特征，即可轻易得出后一段图像均为前一段图像的模纵坐标伸长到原来2倍所得本题为填空题，也可直接用具体的数去算，发现规律，然后再画出示意图，最后是利用数形结合寻找到符合题意的临界位置，最后进行求解最终的答案【变式1】(2018南京、盐城、连云港二模）已知函数f

12、(x)tR.若函数g(x)f(f (x)1)恰有4个不同的零点，则t的取值范围为_【答案】4，0) 本题是“复合函数零点”问题，常见思路是借助函数图像，由求外函数零点切入，进而再分析内函数零点个数当x0时，有f(x)3x26x3x(2x)，故函数f(x)在区间(，0)上单调递减，则函数f(x)在区间(，0)上至多一个零点，进而分类讨论即可当x0时，有f(x)3x26x3x(2x)，故函数f(x)在区间(，0)上单调递减，此时f(0)t.当t0时，令f(x)0得，x0，从而当g(x)f(f(x)1)0时，f(x)1，借助图像1知，此时至多两个零点，不符合题意；当t0时，令f(x)0得，x0，或x

13、m(m0)，且m33m2t0，从而当g(x)f(f(x)1)0时，f(x)10或f(x)1m，即f(x)1或f(x)1m，借助图像2知，欲使得函数g(x)恰有4个不同的零点，则m10，从而1m0，故t(m)在区间1，0)上单调递增，从而t4，0),图1),图2)【变式2】(2018南通、泰州一调）已知函数f(x)g(x)x212a.若函数yf(g(x)有4个零点，则实数a的取值范围是_【答案】 换元g(x)t，f(t)0，由g(x)x212at得x2t(12a)，因为函数有四个零点，所以方程f(t)0有且仅有两个不相等的根t1，t2，且t112a，t212a，因为方程f(t)0的一个解为t1，

14、故按照12a与1的大小关系，分三种情况讨论得出a的取值范围设g(x)t，因为函数yf(g(x)有四个不同的零点，所以方程f(t)0有且仅有两个不相等的根t1，t2，且由g(x)x212at，得x2t(12a)，故t112a，t212a.当t0时，由ln(t)0得t1.若12a1，则a1，易得函数f(g(x)有五个不同的零点，舍去若12a1，所以f(0)1，则a12a，t212a.因为t0时，f(t)t22ata1，所以a0，4a24(a1)0，f(0)0，f(12a)(12a)22a(12a)a10，解得a1.综上可知，a1，即a|a1【变式3】(2017南通、扬州、淮安、宿迁、泰州、徐州六市

15、二调）已知函数f(x)其中m0，若函数yf(f(x)1有3个不同的零点，则实数m的取值范围是_【答案】(0,1)思路分析 先画出函数图像草图，再分类讨论令f(f(x)1，得f(x)或f(x)m10，进一步，得x或xm0或x.因为已知m0，所以只要m1，即0m1.【变式4】(2015宿迁一模）已知函数f(x)x22axa21，若关于x的不等式f(f(x)0的解集为空集，则实数a的取值范围是_【答案】 (，2 注意到f(f(x)0是关于x的四次不等式，所以直接求解是有困难的，因此，首先得降次，由于f(x)可分解为，从而应用整体思想，可将问题转化为a1f(x)a1，此时再来研究不等式a1f(x)a1

16、的解集若直接解不等式组则需要进行分类讨论，且情况众多，所以应用数形结合的思想来加以解决，考虑函数yf(x)与ya1，ya1的图像关系，易得到问题答案因为f(x)x(a1)x(a1)，所以f(f(x)0等价于f(x)(a1)f(x)(a1)0，从而a1f(x)a1，要使f(f(x)0的解集为空集，根据函数的图像，则需ya1与yf(x)至多有一个交点又因为f(x)(xa)211，所以a11，解得a2.【关联】(2015无锡期末）已知函数yf(x)是定义域为R的偶函数，当x0时，f(x)若关于x的方程f(x)2af(x)0，a，bR有且仅有8个不同的实数根，则实数a的取值范围是_【答案】作出函数f(x)的图像(如图)令tf(x)，则关于x的方程2af(x)0(aR)有且仅有8个不同的实数根可转化为关于x的方程tf(x)在R上有4个不同的实数根，并且关于实数t的方程t2at0在t内有两个不等实根，令g(t)t2at，则g(t)的对称轴方程为t，判别式a2，则即解得a.