2020年高考数学《平面向量的线性表示》专项训练及答案解析.doc

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1、平面向量的线性表示一、基础检测1、(2019无锡期末）在四边形 ABCD 中，已知 a2b，4ab，5a3b，其中，a，b是不共线的向量，则四边形 ABCD 的形状是_【答案】. 梯形【解析】、因为(a2b)4ab(5a3b)8a2b所以，2，即ADBC，且|AD|BC|，所以，四边形ABCD是梯形2、（2017年苏州期末）设与是两个不共线向量，若A，B，D三点共线，则 【答案】.：【解析】、，设则且，解得3、（2017徐州期末）在中，若点，依次是边上的四等分点，设，用，表示，则 【答案】.【解析】、 在中，所以4、（2016年南通一模）如图，在中，分别为边，的中点. 为边上的点，且，若，则的

2、值为 .【答案】： 【解析】、：因为为的中点，所以，故，。5（2017泰州期中）如图，平面内有三个向量，其中与的夹角为，与的夹角为，且，若，则_，_ 【答案】，【解析】、设与，同方向的单位向量分别为，依题意有，又，则，所以，6、（2016年苏北四市联考）如图，一直线与平行四边形的两边分别 交于两点，且交其对角线于，其中，则的值为 ABCDEFK【答案】【解析】、 因为点F，K，E共线，故可设又，所以，解得二、拓展延伸题型一 向量的共线定理与平面向量的线性运算知识点拨：注意平行四边形法则和三角形法则的灵活运用。例1、(2018南京学情调研）设向量a(1，4)，b(1，x)，ca3b.若ac，则实

3、数x的值是_【答案】 4【解析】、因为a(1，4)，b(1，x)，ca3b(2，43x)又ac，所以43x80，解得x4.【变式1】、(2017南京学情调研）已知向量a(1,2)，b(m,4)，且a(2ab)，则实数m的值为_【答案】 2解法1 由题意得a(1,2)，2ab(2m,8)，因为a(2ab)，所以18(2m)20，故m2.解法2 因为a(2ab)，所以存在实数，使得a2ab，即(2)ab，所以(2,24)(m,4)，所以2m且244，得4，m2.解法3 因为a(2ab)，所以ab，所以42m，即m2.【变式2】、(2017苏州暑假测试）设x，yR，向量a(x,1)，b(2，y)，且

4、a2b(5，3)，则xy_.【答案】 1【解析】、由题意得a2b(x4,12y)(5，3)，所以解得所以xy1.【变式3】、已知点C，D，E是线段的四等分点，为直线外的任意一点，若，则实数 的值为 【答案】：【解析】、 因为，所以【关联1】、(2016南京、盐城、徐州二模）已知为的外心，若，则= 【答案】【解析】、：由已知等式得，平方得，故，得，若为锐角，则与反向，与条件矛盾，故为钝角，从而.误点警示：若为锐角，则与分别是同弧所对的圆心角与圆周角，此时=2；若为钝角，由与的关系是，因此，必须对进行分类讨论.本题从条件判断知，必为钝角.【关联2】、在ABC中，C45，O是ABC的外心，若mn(m

5、，nR)，则mn的取值范围是_【答案】 ，1)思路分析 本题中三点在圆O上是一个关键条件，可以建立坐标系求出m，n的关系式，再利用三角换元求解，也可以对向量等式两边平方后得到m，n的关系式，再利用线性规划求解因为C，O是ABC外心，所以AOB90，mn，所以C在优弧上建立如图所示的平面直角坐标系，不妨设半径为1，则A(0,1)，B(1,0)设C(cos，sin)，代入mn，可得ncos，msin，即mncossinsin.又，所以mn，1)解后反思 本题易错在没有注意点C在优弧上，错误的认为点C在整个圆上本题是典型的二元函数的值域问题，解题方法比较多，可以用基本不等式、线性规划、三角换元，但由

6、于点C在圆弧上，最好的方法建立坐标系，利用三角函数求解，定义域的寻找也较为简单题型二 平面向量的基本定理的应用知识点拨：运用平面向量基本定理表示向量的本质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加法和减法数乘。要特别注意用基底表示向量有时要借助于几何性质，如平行和相似。例2、(2019苏北四市、苏中三市三调）如图，正六边形中，若（），则的值为 【答案】【解析】、：建系（坐标法）如图设六边形边长为2，,，,由得：， 故.ABCDEF（第1题）ABC623.5（第2题）E【变式1】、(2019泰州期末）已知点P为平行四边形ABCD所在平面上一点，且满足20，0，则_【答案】 由于题中出现了四个

7、向量，因此可以考虑消去或，再根据平面向量基本定理，即可求得和的值解法1(转化法) 如图，因为20，所以2()0，即2()0，即2()0，所以，320，即0，所以，.解法2(基底法) 因为0，0，两式相减得0，所以1，1，.解法3(几何法) 取AB中点E，则22，所以，即P为DE中点，延长CP交BA延长线于点F，易知：A，E为BF的三等分点，且P为CF中点由，得0，所以. 本题考查了平面向量基本定理，也就是平面向量分解的唯一性定理，解法1，把用其他三个向量来表示，根据平面向量的基本定理得到和的值；解法2，两式相减，同时消去了，转化为以，为基向量的方程；解法3，通过构造三角形，根据向量的线性运算，

8、找到，这三个向量的关系式，以上三种解法都可以称为基底法，此外本题可以将平行四边形特殊化为矩形或正方形，通过坐标法来处理【变式2】、在ABC中，AB2，AC3，角A的平分线与AB边上的中线交于点O，若xy(x，yR)，则xy的值为_. 【答案】. 解析：如图，在ABC中，AD为BAC的平分线，CE为AB边的中线，且ADCEO.在AEO中，由正弦定理得；在ACO中，由正弦定理得，两式相除得，因为AEAB1，AC3，所以.所以3，即3()，即43，所以4，从而，因为xy，所以x，y，于是xy.课本探源 本题的难点是关系的建立，借助于正弦定理，可以证明.实际上，必修5P54例5已经证明了此结论，若能够

9、想到这一点，理顺本题的解题思路就容易多了：在ABC中，AD是BAC的平分线，用正弦定理证明：. 【变式3】、如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，E为线段AO的中点，若(，R)，则_.【答案】解析：因为O，E分别是AC，AO的中点，所以().又()()，故.【变式4】、（2017苏州期末）在中，若，则的值为 【答案】 因为，而,所以，所以，则的值为. 【关联1】、（2016年南通一模）如图，在ABC中，BO为边AC上的中线，设，若，则的值为 【答案】思路一：，因为，所以1，思路二：不妨设，则有 【关联2】、（2017年江苏卷）如图,在同一个平面内，向量、，的模分别为1,1，与的夹

10、角为，且，与的夹角为，若, 则的值为_【答案】、解析 由可得，根据向量分解易得：，即，解得 所以 A C BO题型三 平面向量基本定理的综合运用知识点拨：向量的基本运算分为线性运算和坐标运算，建立坐标系转化为坐标的运算也可以转化为基底运算，其中三点共线可以转化为点在直线上也可以用共线向量基本定理来转化基底法运算量小于坐标法、坐标法的思维难度低于基底法例3、（2017年苏州一模）如图，直角梯形ABCD中，ABCD，DAB90，ADAB4，CD1，动点P在边BC上，且满足mn(m，n均为正实数)，则的最小值为_【答案】、 解法1 建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0,0)，B(4,0)，D(0,

11、4)，C(1,4)又kBC，故BC：y(x4)又mn，(4,0)，(0,4)，所以(4m,4n)，故P(4m,4n)，又点P在直线BC上，即3n4m4，即4（）(3n4m)（）77274，所以（）min，当且仅当即m，n时取等号解法2 因为mn，所以mn()mnn.又C，P，B三点共线，故mn1，即m1，以下同解法1. 【变式1】、 （2017年徐州联考）如图，经过的重心G的直线与OA，OB交于点P，Q，设，则的值为 【答案】、3解析 连接并延长，交于点，因为是的重心，即是的中线，所以，因为，所以，同理可得，将代入可得，即，设，则有，根据平面向量基本定理，有，故的值为3【变式2】、（2017泰

12、州期末）如图，在等腰三角形ABC中，已知ABAC1，A120，E，F分别是边AB，AC上的点，且m，n，其中m，n.若EF，BC的中点分别为M，N，且m4n1，则的最小值为_【答案】、思路分析：本题易求，所以可以利用点M，N是EF，BC的中点将转化用和表示，再求|的最小值；另外也可以通过建立平面直角坐标系将点M，N的坐标表示出来再求解解析1 由于M，N是EF，BC的中点，m，n，m4n1，所以，所以2n.而11cos120，所以|，显然当n时，|min.解析2 如图，以点N为坐标原点，直线BC为x轴，直线NA为y轴建立平面直角坐标系，由ABAC1，A120得N(0,0)，A0，B，0，C，0，

13、所以nn，n，m2n，2n(由于m4n1)，从而点E，点Fn，n，线段EF的中点Mn，n，所以|，显然当n时，|min.【关联1】、（2018年南通二模） 已知ABC是边长为3的等边三角形，点P是以A为圆心的单位圆上一动点，点Q满足，则|的最小值是_. 【答案】、 思路分析 求|的最小值，就是求线段BQ长的最小值，因为点B为定点，而点Q是随着点P的运动而运动的，那么就要关注点Q是如何运动的，即要先求出点Q的轨迹方程，通过建系运用相关点法即可求得点Q的轨迹方程，通过点Q的轨迹方程发现其轨迹是一个圆，接下来问题就转化为定点与圆上的动点的距离的最小值问题，那就简单了一般与动点有关的最值问题，往往运用

14、轨迹思想，首先探求动点的轨迹，在了解其轨迹的基础上一般可将问题转化为点与圆的关系或直线与圆的关系或两圆之间的关系解法1 以A为原点，AB为x轴建立平面直角坐标系，则(3,0)，设Q(x，y)，P(x，y)，由，得，即所以两式平方相加得22(x2y2)，因为点P(x，y)在以A为圆心的单位圆上，所以x2y21，从而有22，所以点Q是以M为圆心，R的圆上的动点，因此BQminBMR.解法2 .令，则()，那么|，求|的最小值，就转化为求|的最小值，根据不等式的知识有：|，而|22222323332，即|，所以|1，从而|，当且仅当与同向时，取等号解法3 ，设，则22219337，|，所以222171coscos，其中是，的夹角，由于P在圆上运动，所以0，所以|2的最小值为，所以|的最小值为.【关联2】、（2016年扬州检测）在中，为边上一点，且，为上一点，且满足，求的最小值解析 因为，所以，又因为为上一点，不妨设，所以,，因为不共线，所以，则所以，当且仅当，即时等号成立ABCEP