梯形中的动点问题.docx

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1、梯形中的动点问题-正文内容开始- PAGE 1 中考压轴题中的动点问题： 动点题是近年来中考的的一个热点问题，解这类题目要“以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解。一般方法是抓住变化中的“不变量”，以不变应万变，首先根据题意理清题目中两个变量X、Y的变化情况并找出相关常量，第二，按照图形中的几何性质及相互关系，找出一个基本关系式，把相关的量用一个自变量的表达式表达出来，然后再根据题目的要求，依据几何、代数知识解出。第三，确定自变量的取值范围，画出相应的图象。 这类题目难度较大从数学知识点来看，一般考察几何图像的判定和性质（如梯形，相似三角形，直角三角形等）以及函数和方程的知识等综合性很强.

2、 从数学思想方法看有：数形结合的思想方法，转化的思想方法，分类讨论的思想方法，方程的数学，函数的思想方法等关键:动点中的分类讨论：抓住运动中的关键点，动中求静. 1、如图，在梯形ABCD中，ADBC，AB=AD=DC=4，A=120动点P、E、M分别从B、A、D三点同时出发，其中点P沿BA向终点A运动，点E沿AD向终点D运动，点M沿DC向终点C运动，且它们的速度都为每秒2个单位连接PE、PM、EM，设动点P、E、M运动时间为t（单位：秒），PEM的面积为S （1）判断PAE与EDM是否全等，说明理由； （2）连接BD，求证：EPMABD； （3）求S与t的函数关系式，并求出PEM的面积的最小值

3、 考点：相似三角形的判定与性质；二次函数的最值；全等三角形的判定；勾股定理；梯形。 解答：解：（1）PAEEDM， 理由如下：根据题意，得BP=AE=DM=2t， AB=AD=DC=4，AP=DE=42t（1分）在梯形ABCD中，AB=DC， PAE=EDM；（2分）又AP=DE，AE=DM， PAEEDM（3分） （2）证明：PAEEDM，PE=EM，1=2（4分） 3+2=1+BAD，3=BAD；（5分） AB=AD，PEBA=EMAD；（6分） （3）过B点作BFAD，交DA的延长线于F，过P点作PGAD交于G； 在RtAFB中，4=180BAD=180120=60， BF=AB?sin

4、4=4?sin60= SABD= （8分） 在RtAPG中，PG=AP?sin4=（42t）?sin60= （2t） AG=AP?cos4=（42t）?cos60=2t， GE=AG+AE=2t+2t=2+t PE2= PG2+ GE2 （2t）2 QUOTE+（2+t）2=4t28t+16 EPMABD，=（9分） SEPM=4 =； S与t的函数关系式为S=（0t2）（10分） 即S= 当t=1，S有最小值，最小值为QUOTE 33 （12分） 另一解法（略解）在RtAPG中，PG=AP?sin4=（42t）?sin60=（2t）3 AG=AP?cos4=（42t）?cos60=2t 在R

5、tMFD中，FM=DM?sinMDF=2t?sin60=3t，DF=DM?cosMDF=2t?cos60=t GF=AG+AD+DF=2t+4+t=6，GE=AG+AE=2t+2t=2+t， EF=ED+DF=42t+t=4t；SEPM=S梯形PGFMSPEGSEFM=（0t2） 2、（2022?湘潭）如图，在直角梯形ABCD中，ABDC，D=90，ACBC，AB=10cm，BC=6cm，F点以2cm/秒的速度在线段AB上由A向B匀速运动，E点同时以1cm/秒的速度在线段BC上由B向C匀速运动，设运动时间为t秒（0t5） （1）求证：ACDBAC； （2）求DC的长； （3）设四边形AFEC的

6、面积为y，求y关于t的函数关系式，并求出y的最小值 考点：二次函数的最值；勾股定理；相似三角形的判定与性质。 解答：解：（1）CDAB，BAC=DCA（1分） 又ACBC，ACB=90，D=ACB=90，（2分） ACDBAC（3分） （2） 4分 ACDBAC 5分 即 解得：6分 过点E作AB的垂线，垂足为G， ACBEGB7分 即故 8分 =故当t=时，y的最小值为19 3、（2022?河北）如图，在等腰梯形ABCD中，ADBC，AB=DC=50，AD=75，BC=135点P从点B出发沿折线段BAADDC以每秒5个单位长的速度向点C匀速运动；点Q从点C出发沿线段CB方向以每秒3个单位长的

7、速度匀速运动，过点Q向上作射线QKBC，交折线段CDDAAB于点E点P、Q同时开始运动，当点P与点C重合时停止运动，点Q也随之停止设点P、Q运动的时间是t秒（t0） （1）当点P到达终点C时，求t的值，并指出此时BQ的长； （2）当点P运动到AD上时，t为何值能使PQDC； （3）设射线QK扫过梯形ABCD的面积为S，分别求出点E运动到CD、DA上时，S与t的函数关系式；（不必写出t的取值范围） （4）PQE能否成为直角三角形？若能，写出t的取值范围；若不能，请说明理由 考点：等腰梯形的性质；全等三角形的判定与性质；直角三角形的性质；平行四边形的判定。 解：（1）t?=（507550）5=35

8、（秒）时，点P到达终点C（1分） 此时，QC=353=105，BQ的长为135105=30（2分） （2）如图8，若PQDC，又ADBC，则四边形PQCD 为平行四边形，从而PD=QC，由QC=3t，BA+AP=5t 得50755t=3t，解得t=经检验，当t=时，有PQDC（4分） （3）当点E在CD上运动时，如图9分别过点A、D 作AFBC于点F，DHBC于点H，则四边形ADHF为矩形，且ABFDCH， 从而FH= AD=75，于是BF=CH=30DH=AF=40 又QC=3t，从而QE=QCtanC=3t=4t（注：用相似三角形求解亦可） S=SQCE?=QEQC=6t2；（6分） 当点

9、E在DA上运动时，如图8过点D作DHBC于点H， 由知DH=40，CH=30，又QC=3t， 从而ED=QH=QCCH=3t30 S= S梯形QCDE?=(EDQC)DH =120t600（8分） （4）PQE能成为直角三角形（9分） 当PQE为直角三角形时，t的取值范围是0t25且t或t=35（12分） （注：（4）问中没有答出t或t=35者各扣1分，其余写法酌情给分） 下面是第（4）问的解法，仅供教师参考： 当点P在BA（包括点A）上，即0t10时，如图9过点P作PGBC于点G ，则PG=PBsinB=4t，又有QE=4t?= PG，易得四边形PGQE为矩形，此时PQE总能成为直角三角形

10、当点P、E都在AD（不包括点A但包括点D）上，即10t25时，如图8 由QKBC和ADBC可知，此时，PQE为直角三角形，但点P、E不能重合， 即5t503t3075，解得t 当点P在DC上（不包括点D但包括点C）， 即25t35时，如图10由ED25330=45， 可知，点P在以QE=40为直径的圆的外部，故EPQ不会是直角 由PEQDEQ，可知PEQ一定是锐角对于PQE，PQECQE， 只有当点P与C重合，即t=35时，如图11，PQE=90，PQE为直角三角形 综上所述，当PQE为直角三角形时，t的取值范围是0t25且t或t=35 4、（2022?青岛）如图，在梯形ABCD中，点由B出发

11、沿BD方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，线段EF由DC出发沿DA方向匀速运动，速度为1cm/s，交于Q，连接PE若设运动时间为（s）（）解答下列问题： （1）当为何值时，？ （2）设的面积为（cm2），求与之间的函数关系式； （3）是否存在某一时刻，使？若存在，求出此时的值；若不存在，说明理由 （4）连接，在上述运动过程中，五边形的面积是否发生变化？说明理由 考点：平行线的判定；根据实际问题列二次函数关系式；三角形的面积；勾股定理；相似三角形的判定与性质。 解：（1） 而， 当2分 （2）平行且等于，四边形是平行四边形 ， 过B作，交于，过作，交于 ， 又， ， 6分 （3） 若，则有，

12、解得 （4）在和中， 在运动过程中，五边形的面积不变12分 5、如图1，在直角梯形ABCD中，ADBC，D=90，AD=9cm，CD=12cm，BC=15cm点P由点C出发沿CA方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，线段EF由AB出发沿AD方向匀速运动，速度为1cm/s，且与AC交于Q点，连接PE，PF当点P与点Q相遇时，所有运动停止若设运动时间为t（s） （1）求AB的长度； （2）当PECD时，求出t的值； （3）设PEF的面积为S，求S关于t的函数关系式； 如图2，当PEF的外接圆圆心O恰在EF的中点时，则t的值是多少？ QUOTE 154 （直接写出答案） 考点：相似三角形的判定与性质

13、；三角形的面积；等腰三角形的判定；勾股定理；直角梯形；三角形的外接圆与外心。 解：（1）过A作AMBC于M，则四边形AMCD是矩形；AD=MC=9cm，AM=CD=12cm； RtABM中，AM=12cm，BM=BCMC=6cm； 由勾股定理，得：AB=65cm（只写答案给1分）（3分） （2）D=90，AD=9cm，CD=12cm，AC=AD AP=15t当PECD时AEPADC AEAD=APAC 即 解得（符合题意） QUOTE 458 当PECD时，t= QUOTE 458 45/8 （3）过点E，F作EGAC于G，FHAC于H因为AC=BC；EFAB易证AQ=AE=t（1分） 在RT

14、ADC中，sinDAC=DC/AC=12/15 EG=AEsinDAC= QUOTE 45 12/15t； ADBCACB=DAC FH=CFsinACB=CFsinDAC=12/15(15-t)=12-12/15t PQ=15-2t EG+FH=12 SPEF=SPQE+SPQF=PQEG2+PQFH2= =12t+90； QUOTE 易知：AE=CP=t，AP=CF=CQ=15t，EAP=FCP， AEPCPF，EP=PF； EF是O的直径 EPF=90； EPF是等腰直角三角形；易知EF=AB=65cm； S=1/2 QUOTE 12 6535=45cm2； 代入的函数关系式，得： 12

15、t+90=45，解得t=154（3 点评：此题考查了直角梯形的性质、勾股定理、圆周角定理、等腰三角形和相似三角形的判定和性质等知识的综合应用能力 6、如图，在直角梯形中OABC，已知B、C两点的坐标分别为B（8，6）、C（10，0），动点M由原点O出发沿OB方向匀速运动，速度为1单位/秒；同时，线段DE由CB出发沿BA方向匀速运动，速度为1单位/秒，交OB于点N，连接DM 若设运动时间为t（s）（0t8） （1）当t为何值时，以B、D、M为顶点的三角形OAB与相似？ （2）设DMN的面积为y，求y与t之间的函数关系式； （3）连接ME，在上述运动过程中，五边形MECBD的面积是否总为定值？若是

16、，求出此定值；若不是，请说明理由 考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定；直角梯形。 专题：综合题；动点型；分类讨论。 解：（1）分类讨论。若BAOBDM，则BABD=BO 在直角梯形中OABC由B（8，6）、C（10，0）可知AB=8，OA=6：OB=OC=10 8/t=10/10-t解得t=40/9（2分） 若BAOBMD，BABM=BOBD，（3分）即8/10-t QUOTE=10t，解得t=509；（4 所以当t= QUOTE 40/9t= QUOTE50/9，以B，D，M为顶点的三角形与OAB相似 （2）过点M作MFAB于F，则BFMBAO； 从而 QUOTE MF6 MF/

17、6=( QUOTE10-t)/10，所以MF=65/3 QUOTE 35 t，（5分） SBDM=1/2 QUOTE 12 BD?MF=1/2 QUOTE 12 t（65/3 QUOTE 35 t），（6分） 容易证BDNOBC SOBC=1/2 QUOTE 12 106=30，SBDM / SOBCQUOTE SBDNSOBC =（t10）2，所以SBDN= QUOTE 310 t2（7分） 当0t5时，y=SDMN=SBDMSBDN= QUOTE 12 t（6 QUOTE 35 t） QUOTE 310 t2= QUOTE 35 t2+3t； 当5t8时，y=SDMN=SBDNSBDM=

18、QUOTE 310 t2t（6 QUOTE 35 t）=（8分） （3）在BDM与OME中， BD=OM=t，MBD=EOM，BM=EO=10t， 所以BDMOME；（9分） 从而五边形MECBD的面积等于三角形OBC的面积，因此它是一个定值， SMECBD=30（10分） 点评：此题考查的知识点有：直角梯形的性质、相似三角形及全等三角形的判定和性质、图形面积的求法等知识，（2）题中一定要根据M、N的不同位置分类讨论，以免漏解 7、如图，梯形ABCD中，ADBC，AB=DC=AD=4，BDCD，E是BC的中点 （1）求DBC的度数； （2）求BC的长； （3）点P从点B出发沿BC以每秒3个单位

19、的速度向点C匀速运动，同时点Q从点E出发沿ED以每秒1个单位的速度向点D匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点也停止运动设运动时间为t（s），连接PQ当t为何值时PEQ为等腰三角形 考点：梯形；等腰三角形的判定。 解：（1）设DBC=x，因为ADBC，AB=AD， 所以ABD=ADB=x，四边形ABCD为等腰梯形，BCD=2x， 又BDCD， 所以x+2x=90，即x=30即DBC=30 （2）在RtBCD中，E是BC的中点，所以DE=BE=CE 又C=60，所以CDE为等边三角形所以DE=DC=4，即BC=2DE=8 （3）若点P在BE上，因为PEQ=120，所以PE=QE；即43t=t，解

20、之t=1s； 若P在EC上，因为PEQ=60，所以PE=QE， 即3t4=t，解之t=2s所以当t=1s或t=2s时，PEQ是等腰三角形 8、（2022?乐山）如图在梯形ABCD中，DCAB，A=90，AD=6厘米，DC=4厘米，BC的坡度i=3：4，动点P从A出发以2厘米/秒的速度沿AB方向向点B运动，动点Q从点B出发以3厘米/秒的速度沿B?C?D方向向点D运动，两个动点同时出发，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止设动点运动的时间为t秒 （1）求边BC的长； （2）当t为何值时，PC与BQ相互平分； （3）连接PQ，设PBQ的面积为y，探求y与t的函数关系式，求t为何值时，y有最

21、大值？最大值是多少？ 考点：梯形；二次函数的最值。专题：分类讨论。 解：（1）作CEAB于E，则四边形ADCE是矩形又.2分 在中，由勾股定理得：3分 （2）要使PC与BQ相互平分由，只需保证四边形CPBQ是平行四边形， 此时在上）由（1），得AB=4+8=12，则PB=122t 即解得即秒时，与相互平分 （3）当在上，即时，作于，则 即8分 =9分 当秒时，有最大值为10分 当在上，即时， =易知随的增大而减小故当秒时， 有最大值为 综上，当时，有最大值为12分 9、如图，在梯形ABCD中，ADBC，AB=DC，AD=6，BC=12，梯形ABCD的面积为36，动点P从D点出发沿DC以每秒1个

22、单位的速度向终点C运动，动点Q从C点出发沿CB以每秒2个单位的速度向点B运动，两点同时出发，点P到达点C时，Q点随之停止运动 （1）线段CD的长为5； （2）设P、Q运动时间为t（0t5）秒，PQ与梯形ABCD的边DC、BC所围成的三角形的面积为S，求S与t之间的函数关系式； （3）是否存在某一时刻，使以P、Q、C三点为顶点的三角形是直角三角形，若有，请求出相应时间；若没有，请说明理由 考点：梯形；一次函数综合题；平行线分线段成比例；相似三角形的判定与性质。 专题：代数几何综合题；存在型；分类讨论。 分析：（1）作AEBC，DFBC，则四边形ADFE是矩形，ABEDCF，由勾股定理可求得CD的

23、值； （2）过点P作PGBC于点G，则PG是PCQ的高，由平行线的性质可求得高PG用t表示的代数式，而CQ=2t，故可求得S与t的关系式； （3）分两种情况讨论：当PQBC时，作DEBC于E，由平行线分线段成比例可求解；当QPCD时，可由相似三角形的性质求解 解答：解：（1）作AEBC，DFBC，垂足分为点E、F，则四边形ADFE是矩形，EF=AD=6，AE=DF， 由题意四边形ABCD是等腰梯形，AB=CD，AEB=DFC， ABEDCF， CF=BE=（BCEF）2=3 梯形的面积为36， DF=362（AD+BC）=362（6+12）=4 在RtCDF中，由勾股定理得CD= QUOTE=

24、5； （2）过点P作PGBC于点G，则PG是PCQ的高，有PGDF， PG：DF=CP：CD， DP=t，CD=5，DF=4，PC=CDDP PG= QUOTE， CQ=2t， SPCQ= QUOTECQ?PG= QUOTE?2t? QUOTE= （3）当P、Q、C三点构成的三角形是直角三角形时，有两种情况： 当PQBC时，作DEBC于E， PQDE， QUOTE= QUOTE， t= QUOTE（7分） 当QPCD时， QPC=DEC=90，C=C，QPCDEC， QUOTE= QUOTE， QUOTE= QUOTE，t= QUOTE（9分） 由、知：当t= QUOTE或 QUOTE时，P、

25、Q、C三点构成的三角形是直角三角形 点评：本题考查了等腰梯形的性质，利用了平行线分线段成比价的性质、相似三角形的知识注意处级（3）小题要分两种情况讨论 10、菱形ABCD的边长为24厘米，A=60，质点P从点A出发沿着ABBDDA作匀速运动，质点Q从点D同时出发沿着线路DCCBBD作匀速运动 （1）求BD的长； （2）已知质点P、Q运动的速度分别为4cm/秒、5cm/秒，经过12秒后，P、Q分别到达M、N两点，若按角的大小进行分类，请问AMN是哪一类三角形，并说明理由 考点：菱形的性质。专题：计算题；动点型。 分析：（1）根据菱形各边长相等和A=60即可求证ABD为等边三角形； （2）根据菱形

26、的边长和P、Q的移动速度可以求得M、N的位置，即可求得AMN的形状 解答：解：（1）菱形各边长相等，边长为24cm，A=60， ABD为等边三角形，BD=24厘米， （2）P点的移动速度为4cm/秒、Q的移动速度为5cm/秒， 故12秒后P与D重合、Q点为线段BD的中点，AMN为直角三角形 点评：本题考查了菱形各边长相等的性质，考查了等边三角形的判定，考查了等腰三角形的腰长相等的性质，本题中正确求得M、N的位置是解题的关键 11、如图矩形ABCD中，AB=10cm，AD=6cm，在BC边上取一点E，将ABE沿AE翻折，使点B落在DC边上的点F处 （1）求CF和EF的长； （2）如图2，一动点P

27、从点A出发，以每秒1cm的速度沿AF向终点F作匀速运动，过点P作PMEF交AE于点M，过点M作MNAF交EF于点N设点P运动的时间为t（0t10），四边形PMNF的面积为S，试探究S的最大值？ （3）以A为坐标原点，AB所在直线为横轴，建立平面直角坐标系，如图3，在（2）的条件下，连接FM，若AMF为等腰三角形，求点M的坐标 考点：相似三角形的判定与性质；二次函数的最值；角平分线的性质；勾股定理；矩形的性质。 专题：代数几何综合题；动点型；分类讨论。 分析：（1）根据翻折对称性EF=BE，AF=AB，利用勾股定理求出DF的长，CF=ABDF，在CEF中，设EF为x， 则CE=6x，利用勾股定理

28、列式求解即可求出EF； （2）根据相似三角形对应边成比例求出PM的长，矩形的面积等于PM?PF，再根据二次函数最值问题求解； （3）因为三角形的腰不明确，分AM=MF和AM=AF两种情况讨论，当AM=MF时，根据等腰三角形三线合一的性质点M是AE的中点，根据三角形中位线定理即可求出点M的坐标；当AM=AF时，根据相似三角形对应边成比例求解点M的坐标 解：（1）由题意，得AB=AF=10， AD=6，DF=8，CF=2（2分） 设EF=x，则BF=EF=x，CE=6x 在RtCEF中，22+（6x）2=x2解得， QUOTE， QUOTE；（4分） （2）PMEF， APMAFE， QUOTE即

29、 QUOTE， QUOTE， PMNF是矩形，S=PM?PF= QUOTE（6分） QUOTE，当 QUOTE时，；（8分） （3）若AM=FM，则 QUOTE， 过点M作MGAB于G，则AMGAEB， QUOTE， QUOTE，M（5， QUOTE）；（11分） 若AM=AF=10，过点M作MHAB于H， 由AMHAEB，得AH=3 QUOTE，MH= QUOTE， M（3 QUOTE， QUOTE）故点M的坐标为（5， QUOTE）或（3 QUOTE， QUOTE） 点评：本题综合性较强，主要利用勾股定理，等腰三角形的性质，二次函数最值问题求解，相似三角形对应边成比例的性质，熟练掌握各定理和性质并灵活运用是解 第20页 共20页第 20 页 共 20 页第 20 页 共 20 页第 20 页 共 20 页第 20 页 共 20 页第 20 页 共 20 页第 20 页 共 20 页第 20 页 共 20 页第 20 页 共 20 页第 20 页 共 20 页第 20 页 共 20 页