概率第三章习题答案.doc

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1、YOUR LOGO原 创 文 档 请 勿 盗 版习题三1、 设 ( X ,Y )地分布律为X123Y1211631 9a1 181 9求 a；解： 由分布律地性质，得16191181310，即1，pij1,aa9ij0，a2 ；解得， a9注： 考察分布律地完备性与非负性；2、设 ( X ,Y )地分布函数为F ( x, y)表示：F ( x, y)，试用c；(2) P0b；(1) PaXb,YY精品学习资料勤奋，为踏入成功之门地阶梯第 1 页，共 37 页b(3) P Xa,Y解： 根据分布函数地定义X ，得c；)(1) PaP X(2)Xa,Yb,YccP Xb,YF (b, c)F (a

2、, cP0F (3)P XF (Yb)P XF (,YbP X,Y0, b,0)a,Y, bbP X,YbP Xa,Yb)F (a, b)3、设二维随机变量( X ,Y )地分布函数为F ( x, y)，分布律如下：X1234Y123140001 161 161 16014141 160精品学习资料勤奋，为踏入成功之门地阶梯第 2 页，共 37 页1P22,33,0试求 ：(1)4；XY24；(3)F (2,3) (2) P1XY解： 由 ( X ,Y )地分布律，得(1)12321,YPX,0Y4P X1P X1,Y2P X1,Y314(2)P1116516；0X2,31,Y2,YY334P

3、 XP XP XP X1,Y2,Y44116116；000(3)F (2,3)P XP XP XP X1,Y1,Y2,Y2,Y3132P XP XP X1,Y2,Y2,Y213；精品学习资料勤奋，为踏入成功之门地阶梯第 3 页，共 37 页141161411658004、设，为随30机变量，且XY0PPXX00,YPY004求 Pmax( X ,Y )Pmax( X ,Y )解P( X0)(Y0)5 ；70表P X0PY0P X0,Y0注： 此题关键在于理解max( X ,Y )示( X公式；0)，然后再根据概率地加法0)(Y5 、只取下列数值中地值：( X ,Y )，且相应概率(0,0),(

4、1,1),(1,1/ 3),(2,0)11,15依次为；请列出 ( X ,Y )地概率,631212分布表，并写出关于Y 地边缘分布解：（1）根据 ( X ,Y ) 地全部可能取值以及精品学习资料勤奋，为踏入成功之门地阶梯第 4 页，共 37 页相应概率，得( X ,Y ) 地概率分布表为X102Y001 12165 12001300113（ 2）根据 Y 地边缘分布与联合分布地关系，得X102PYjY001 121 60051200712131 1211313所以， Y 地边缘分布为Ypk01213171 12136、设随机向量( X ,Y ) 服从二维正态精品学习资料勤奋，为踏入成功之门地

5、阶梯第 5 页，共 37 页分布 N (0,0,10 2 ,102 ,0) ，其概率密度函数为x 2y21200200，f ( x, y)e求 PXY解： 由图形对称性，得12Y ，故 P X；P XY P XY 注： 本题地求解借助与图形地特点变得很简单，否则若根据概率密度函数地性质求解会相对复杂些；3 进行7、设随机变量( X ,Y ) 地概率密度为k(6xy), 0x2, 2y4f ( x, y)0,其它，（1）确定常数（2）求 P Xk ；1,Y3；（3）求 P X；（4）求 PX1.5Y4精品学习资料勤奋，为踏入成功之门地阶梯第 6 页，共 37 页分析： 利用P( X ,Y )Gf

6、 ( x,y)dx dyf ( x, y)dx dy,G再化为累次积分，其中GDoDo( x, y)0x2 ,2y4解：（ 1）由概率密度函数地完备性，得241f ( x,y)dx dyk(6xy)dydx8k,021 ；8P( X解得 k131, Y3)f ( x, y)dxdy（2）；183813dx(6xy)dy02（3）1.5)1.5P( XP( X1.5, Y)f ( x,y)dxdy1827321.54dx(6xy)dy;02精品学习资料勤奋，为踏入成功之门地阶梯第 7 页，共 37 页P( XY4)f ( x, y)dxdy；xy4（4）182324xdx(6xy)dy008、已

7、知X 与Y 地联合密度为cxy,0,0x1,0其它y1，f ( x, y)试求：（ 1）常数 c；（ 2） X 与Y 地联合分布函数 F ( x, y)解：（1）由概率密度函数地完备性，得121211，1f ( x, y)dxdycxydxdyc00解得 c（2）4；xyF ( x, y)f ( u, v)dudv精品学习资料勤奋，为踏入成功之门地阶梯第 8 页，共 37 页0或 y0,x0xy4uvdvdu,0x1,0y10x014uvdvdu,0x1, y1010y4uvdvdu,x1,0y101014uvdvdu,x1, y1000或y1,0xx0,x2 y2x2 y2 10y11101

8、；0xx1,01, yyx1, y9、设二维随机变量( X ,Y ) 地概率密度为4.8 y(20,x),0x1, 0yxf ( x,y)其它精品学习资料勤奋，为踏入成功之门地阶梯第 9 页，共 37 页求边缘概率密度解：fY ( y) 14.8y(2x)dx,0y1fY ( y)f ( x, y)dxy其它0,y22.4 y(30,4 yy),01.其它x2 ， y10、设 ( X ,Y )在曲线x 所围成地区y域 G 内服从均匀分布，求联合概率密度与边缘概率密度解1：x据题意知，区域地面积为G1d y d x6，SGx 20由于 ( X ,Y )在区域 G 内服从均匀分布，故 ( X ,Y

9、 )地概率密度函数为1SG0,( x, y)G6,0,( x, y)其它G；f ( x, y)其它精品学习资料勤奋，为踏入成功之门地阶梯第 10 页，共 37 页x6dy,0x12f X ( x)f ( x, y)dyx其它0,，26( x0,x),0x1其它y6dx,0y1fY ( y)f ( x, y)dxy其它0,；6(0,yy),0y1其它注：此题求解首先必须画出区域然后根据图形确定积分上下限；G 地图形；11、二维随机变量( X ,Y )地分布律为X01Y017 157 307301 15精品学习资料勤奋，为踏入成功之门地阶梯第 11 页，共 37 页（1 ）求Y地边缘分布律 ；（2

10、 ）0， PY0 ；（ 3）PY0 | X1| X判定 X 与Y 为否独立？解：（ 1）由边缘分布与联合分布地关系，知X01PYjY017715307307310101 15所以， Y 地边缘分布律为Ypi00.710.3（2）P X0,Y0PY0 | X0P X00P X0,Y0,Y，P X023P X0,Y17 / 157 / 157 / 30精品学习资料勤奋，为踏入成功之门地阶梯第 12 页，共 37 页PYP X1| X0,Y01P X0P X0,YP X1；P X0,Y00,Y17 / 30137 / 157 / 30（3）根据二维随机变量知其边缘分布律X( X ,Y )地分布律可0

11、1PYjY01X7 157307107301 153 1010PYPi0,Y7 100310由于 P X0，所以P XX 与Y 不独立；12 、 设 随 机 变 量地 概 率 密 度 为X12|x|，f ( x)e,x问： X 与 | X|为否相互独立?精品学习资料勤奋，为踏入成功之门地阶梯第 13 页，共 37 页解：【法一】 任意给定aa0P Xaf ( x)dx1212120axxae dxedx(2e)01 e2aa|x|dxP| X |af ( x)dxaa12120axxaedxa,| Xedx1|eaaP Xa0|aaP| X1e2|x|dx所以f ( x)dxaa12120ax

12、xaedxedx1ea0a， 因 而PX 与 | XX,a|X|P|不独立；【法二】0，有若 X 与 | X |相互独立，则对任意aa，即P Xa,| X|aP XaP| X，|而| X|a Xa精品学习资料勤奋，为踏入成功之门地阶梯第 14 页，共 37 页a，aP| X |P Xa,| XP| X|aaP| XP X|a0所以，解得，P| X |a(1P Xa)0或1a，很显然这为不成P XP| X |a立地，故X 与| X|不为相互独立地；13、将某一医药公司9 月份与8 月份X 与地青霉素制剂地订货单数分别记为Y ；据以往积累地资料知，分布律为X 与Y 地联合X5152535455Y5

13、1525354550.060.070.050.050.050.050.050.100.020.060.050.010.100.010.050.010.010.050.010.010.010.010.050.030.03精品学习资料勤奋，为踏入成功之门地阶梯第 15 页，共 37 页(1)求边缘分布律；（2）求8月份地订单数为51 时，9 月份订单数地条件分布律解：（1）由联合分布律与边缘分布律地关系，得X5152535455PYjY5152535455X0.060.070.050.050.050.280.050.050.100.020.060.280.050.010.100.010.050.2

14、20.010.010.050.010.010.090.010.010.050.030.030.130.180.150.350.120.201Pi（2）P X51,Y510.060.181 ,3P X51| Y51PY51P X52,Y51P X52 | Y51PY51，0.050.18518精品学习资料勤奋，为踏入成功之门地阶梯第 16 页，共 37 页P X53,Y51P X53 | Y51PY51，0.050.18518P X54,Y51P X54 | Y51PY51，0.010.18118P X55,Y51P X55 | Y51PY51，0.010.181188 月份地订单数为分布律为5

15、1 时， 9 月份订单数地条件XYp515152535 18541 18551 181351814、已知( X ,Y )地分布律如表所示，精品学习资料勤奋，为踏入成功之门地阶梯第 17 页，共 37 页X012Y012求：（1）在 Y1411830001 60181地条件下，X 地条件分布律；（2）在 X分布律2地条件下，Y 地条件解：根据联合分布律可得边缘分布律，X如下：012PYjY012X1 401 65 121 8001 81 8317832413011 24Pi1（1）根据上表，可得精品学习资料勤奋，为踏入成功之门地阶梯第 18 页，共 37 页P X0,Y1P X0 | Y1PY1

16、（2），01 30P X1,Y1P X1 | Y1PY1，1 / 31 / 31P XPY2,Y11P X2 |Y1，01 / 30所以，在 Y1地条件下，X 地条件分布律为XYp1001120（3）根据上表，可得P X2,Y0PY0 | X2P X2（4），01 / 80精品学习资料勤奋，为踏入成功之门地阶梯第 19 页，共 37 页P XP X2,Y21PY1 | X2，01 / 80P X2,Y21 / 81 / 81，PY2 | X2P X2所以，在Y2地条件下，Y 地条件分布律为XXp200102115、已知 ( X ,Y ) 地概率密度函数为3 x,0,0x1,0其它yx，f (

17、x, y)求：（1）边缘概率密度函数；（2）条件概率密度函数 解：（1）f X ( x)xf ( x, y)dy1；3 x 2 ,0,3xdy,0x其它10x其它00,精品学习资料勤奋，为踏入成功之门地阶梯第 20 页，共 37 页fY ( y)1f ( x, y)dx32；2y ),3xdx,0y其它1(10y1y0,（2）当 0其它0,1时，xf ( x, y)fY |X( y| x)f X( x)；3x1x,0yx,0yx23x其它其它0,0,当 01时，yf ( x, y)fY ( y)f X |Y( x | y)3x2x,yx1,yx13222(1y)(1y)0,.其它其它0,注：

18、此题求解时最好画出联合密度函数不为零精品学习资料勤奋，为踏入成功之门地阶梯第 21 页，共 37 页时地区域，以便准确地确定自变量地取值或积分上下限；16、设 X 与Y 相互独立，其概率分布如 表所示，XpiYpi21 4111301 121113123122144求 ( X ,Y )地联合概率分布，1，P XY0P XY解： 由于 X 与Y 相互独立，故对任意i , j ，有j，P Xi,YjP Xi PY所以， ( X ,Y ) 地联合概率分布为X21012Y11321816111244848161 161 161 121 121 121 12精品学习资料勤奋，为踏入成功之门地阶梯第 22

19、 页，共 37 页P X116Y1481P X2,Y3P X0,Y1112,P X1Y( P X011,YP X1YP X01 / 2,Y1 / 2)11216341().17、某旅客到达火车站地时间X 均匀分布在早上7：558：00，而火车这段时间开 出地时2(5间y)地密度函数为Y,0y5，求此人能fY ( y)250,其它及时上火车地概率解： 令7：55看作时刻0，以分为单位，故X U 0,5，即 X 地概率密度函数为15,0x5，f X ( x)其它0,精品学习资料勤奋，为踏入成功之门地阶梯第 23 页，共 37 页而 X 与Y 相互独立，故 ( X ,Y )地联合概率密度函数为f (

20、 x, y)（2 51250,f X( x) fY ( y)y)5 ，,0x5,0y其它所以，此人能及时上火车地概率为PYX f ( x, y)dxdy；yx2(5125y)2355dydx0x18、设 X 与Y 为两个相互独立地随机变量，X U (0,1) ，Y e(1/ 2)（1）求 X 与Y 地联合概率密度； （2）设a2有 a 地二次方程实根地概率0，求它有2 XaY解： 因为 X U (0,1) ，所以1,0x1；f X ( x)0,other精品学习资料勤奋，为踏入成功之门地阶梯第 24 页，共 37 页11ey2, y0因为 Y e(1 / 2)，所以，fY ( y)20,oth

21、er又 X ,Y 相互独立，所以f ( x, y)f X( x) fY ( y)1y2,01e（1）x1, y020,other（2）所求概率为21y2xx 212112dxedx(1e)dx000x 2211edx0x 22x 22120 (1)121012edxedx120 (0).19、设随机变量X 与Y 都服从N (0,1) 分精品学习资料勤奋，为踏入成功之门地阶梯第 25 页，共 37 页布，且X 与Y 相互独立，求( X ,Y )地联合概率密度函数；解： 据题意知，由于随机变量X 与Y 都服从N (0,1) 分布，所以为X 与Y 地概率密度函数分别x 221212与，xf( x)e

22、Xy22，yf( y)eY又由于f X相互独立，即XY( x) fY ( y) ，f ( x, y)故 X 地联合概率密度函数为x2y2122f ( x, y)f( x) f( y)e,x, y.XY20、设随机变量X 与Y 相互独立，且分别服从二项分布证：B(n, p)与 B(m, p) ，求精品学习资料勤奋，为踏入成功之门地阶梯第 26 页，共 37 页m, p)XY B(n证： 据题意知，X B(n, p)，Y B(m, p) ，故 X 与Y 地分布律分别为C ipi (1pj (1p)np)mi , ij , j, n ，P Xi 0,1,2,njm0,1,2, m，PY又由于P XP

23、 XkjCX 与 XY 相互独立，故Yk2,YP X0,YkP Xk,Y1,Yk1k2P Xk0P Xi,Yki P Xi PYki i0i0kCpi (1ip)niki pki (1p)m( ki )Cnmi0kpk (1p)mnkikimkmpk (1p)mnk ，CCCnni0n ；k0,1,2, m21、设随机变量X 与Y 相互独立，且都等可能地取1,2,3 为值，求随机变量精品学习资料勤奋，为踏入成功之门地阶梯第 27 页，共 37 页max X ,Y 与 Vmin X ,Y 地 联 合U分布解： 由题意，X 与Y 地分布律为XYpi1231 3i,Vi ,V1313可见 UV ，下

24、求 PUjj（1）当 i（2）当 ij 时， PUj 时，0PUP Xi ,Vi ,Yi PUP XV P XY i ii PY1 / 9（3）当 ij 时，jPU2 / 9i ,VP Xi ,YjP Xj ,Yi所以得到关于UU ，V 地联合分布律为123V12319219922990001 9精品学习资料勤奋，为踏入成功之门地阶梯第 28 页，共 37 页22、设( X ,Y ) U ( D), D( x, y) | 0x2,0y10, X1, X0, X1, XYY且U，2Y2Y求U 与VV地联合概率分布1,( x, y)2D ，解：由题意f ( x, y)0,otherY , XPU0

25、,V0P X2Y 1 ，40，X11dx01P XY f ( x, y)dxdydy2xD1PUPU0,V1,V10P XP X1Y , XY , X2Y 2Y PPY2Y 1142 yf ( x, y)dxdydydx,20yD2PU1,V1P X2Y , X2Y P X2Y 1dy 212x/2f ( x, y)dxdydx,00D3精品学习资料勤奋，为踏入成功之门地阶梯第 29 页，共 37 页所以， U 与V 地联合概率分布为U01V01141142023、设 ( X ,Y ) 地联合密度函数为x 2y212222，求f ( x, y)eZXY地密度函数；解：22FZ ( z)P Zz

26、PXYzf ( x, y)dxdyx2y2z2Y 2当 z当 z0时， F0时，( z)PXz0Z精品学习资料勤奋，为踏入成功之门地阶梯第 30 页，共 37 页x 2y21z22120, z2F( z)edxdyZx2y20r 222ze0z2 /2xr cos, yr sindrdr1e00z2 /2 , z所以 F，所以( z)Z10e00, zzef Z ( z)z2 /2, z0( X ,Y )地概率密度为24、设随机变量X（1）问 X 与 XY 为否相互独立？（2）求12( xy)( xy)e,x0,y0,f ( x, y)其他 .0,Y 地密度函数ZX解：（1）精品学习资料勤奋，

27、为踏入成功之门地阶梯第 31 页，共 37 页f X ( x)0,f ( x, y)dyx0,1212( xy)x( xy)edy( x1)e, x00由 X 、Y 地对称性得，0,y0fY ( y)f ( x, y)dx12y( y1)e, y0因为f ( x, y)( x) f( y) ，所以 X 与Y 不独立；fXY（2）x)dx，由f ( x, y)地表( z)f ( x, zf Z达形式知，当0,时0，zx0, yf ( x, y)即当0，也即时，xy)0, zx0x，0f (x,精品学习资料勤奋，为踏入成功之门地阶梯第 32 页，共 37 页f Z ( z)0, zf ( x, z

28、x)dx0所以，；1ze12z ezzdzz , z022025、设 X 与Y 为两个随机变量，且347P X0,Y0,P( X0)P(Y0),7求 Pmax( X ,Y )0解：Pmax( X ,Y )0P YP( X0 0)(Y0)0Y,P47X470 37PX5；726、设随机变量( X ,Y ) 地概率密度为( xy)be0,0x1,0yf ( x, y)其它,（1）试确定常数b；（2）求边缘概率精品学习资料勤奋，为踏入成功之门地阶梯第 33 页，共 37 页密度, fY；（3 ）求函数f Xxymax( X ,Y )地分布函数U解 ：（ 1 ） 有 概 率 密 度 函 数 地 性 质

29、 ， 得1( xy)1f ( x, y)dydxbedydx001 b1e1e解得， b；11( x)（2）f ( x,y)dyf X0或 x0x1，xe( xy)bedy,0x1101e0,y0fY ( y)f ( x, y)dx;1( xy)ybedxey00（3）精品学习资料勤奋，为踏入成功之门地阶梯第 34 页，共 37 页FU (u)P XPUuPmax(X ,Y )uuuu,YuF (u, u)f ( x, y)dxdy,当 u当0时， FU( u)0 ，u2(11ee)uu( xy)dx dy0u1,F(u)be,U100u1( xy)u当 u，1,FU ( u)bedx dy1e00所以， Umax( X ,Y )地分布函数为0,ee eu0u2(111)11；FU (u),0uu,u127、设X 与Y 为相互独立地两个随机变量，且服从同一分布，试证明：a2b2Pamin X ,Y b P X P X精品学习资料勤奋，为踏入成功之门地阶梯第 35 页，共 37 页证： 设 Zmin X ,Y min X ,Y ，则FZ (a) ，Pa而由于bF Z (b)X 与Y 为相互独立且服从同一分布，所z2 ，以 F( z)