江西省南昌市第十中学2021-2022学年高一下学期期中考试数学试题.docx

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1、 南昌十中 高一下学期期中考试题数学一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 若集合，则（ ）A. B. C. D. 【1题答案】【答案】B【解析】【分析】由题知，再求交集即可.【详解】解：解不等式得，故，解不等式得，故，所以.故选：B2. 某校组织全体学生参加了主题为“奋斗百年路，启航新征程”的知识竞赛，随机抽取了100名学生进行成绩统计，发现抽取的学生的成绩都在50分至100分之间，进行适当分组后（每组的取值区间均为左闭右开区间），画出频率分布直方图（如图），下列说法不正确的是（ ）A. 在被抽取的学生中，成绩在区间内的学

2、生有10人B. 这100名学生成绩的众数为85C. 估计全校学生成绩的平均分数为75D. 这100名学生成绩的中位数为【2题答案】【答案】C【解析】【分析】A由直方图求区间上的样本数量；B由频率的大小确定众数的位置；C、D根据频率直方图求出平均数、中位数.【详解】A：由直方图知：内的学生有人，正确；B：由图知：内的学生频率最大，则众数为85，正确；C：全校学生成绩的平均分数为，错误；D：由，则中位数在区间内，令中位数为，则，可得，正确.故选：C3. 的值为（）A. B. C. D. 【3题答案】【答案】D【解析】【分析】诱导公式变形后由两角差的正弦公式计算【详解】故选：D4. 已知函数的图象（

3、部分）如图所示，则的解析式是（ ）A. B. C. D. 【4题答案】【答案】C【解析】【分析】先由图形可得，然后计算周期并得到，最后代入点，最后可得结果.【详解】由图形可知：，又，所以所以，代入点，所以，则又，所以令，则故故选：C5. 甲、乙去同一家药店购买一种医用外科口罩，已知这家药店出售A，B，C三种医用外科口罩，甲、乙购买A，B，C三种医用口罩的概率分别如表：购买A种医用口罩购买B种医用口罩购买C种医用口罩甲0.10.4乙030.2则甲、乙购买的是同一种医用外科口罩的概率为（ ）A. 0.24B. 0.28C. 0.30D. 0.32【5题答案】【答案】B【解析】【分析】由概率的性质求

4、得甲购买A口罩、乙购买B口罩的概率，再应用独立事件乘法公式和互斥事件加法公式求概率.【详解】由表知：甲购买A口罩概率为，乙购买B口罩概率为，所以甲、乙购买同一种口罩的概率.故选：B6. 已知，则（ ）A. 3B. C. D. 【6题答案】【答案】D【解析】【分析】由角的范围及平方关系求得，利用半角公式即可求目标式的值.详解】由，又，则，所以.故选：D7. 已知，则的值为（ ）A. B. C. D. 【7题答案】【答案】C【解析】【分析】根据已知及诱导公式可得，再应用二倍角余弦公式求目标式的值.【详解】由，又.故选：C8. 已知函数在上有且只有2个零点，则实数的取值范围是（ ）A. B. C.

5、D. 【8题答案】【答案】A【解析】【分析】将问题转化为在上有且只有2个解，根据正弦型函数的性质求的范围.【详解】由，令，所以，而有，所以在上有且只有2个解，故，故.故选：A二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）9. 下列说法正确的有（ ）A. 若向量，则B. 零向量没有方向C. 已知向量，若，则D. 已知向量，是两个非零向量，若，则【9题答案】【答案】AD【解析】【分析】A由相等向量定义判断；B由零向量的定义判断；C注意为零向量的情况；D将题设等式两边平方，应用数量积的运算律展开化

6、简判断.【详解】A：由，又相等向量的方向、长度都相等，易知：，正确；B：零向量的方向任意，错误；C：若为零向量时，不一定成立，错误；D：由，则，应用数量积的运算律展开得，故，正确.故选：AD10. 下列各式中，值为的是（ ）A. B. C. D. 【10题答案】【答案】ABC【解析】【分析】A二倍角余弦公式化简求值；B和角正切公式化简求值；C诱导公式、二倍角正弦公式化简求值；D辅助角公式化简即可.【详解】A：，符合；B：，符合；C：，符合；D：，不符合.故选：ABC11. PM2.5的监测值是用来评价环境空气质量的指标之一划分等级为日均值在以下，空气质量为一级，在，空气质量为二级，超过为超标如

7、图是某地12月1日至10日的日均值（单位：），则下列说法正确的是（ ）A. 这10天日均值的80%分位数为60B. 从日均值看，前5天的日均值的极差小于后5天的日均值的极差C. 从日均值看，前5天的日均值的方差小于后5天日均值的方差D. 这10天中日均值的平均值是50【11题答案】【答案】BC【解析】【分析】A由百分位数的定义求80%分位数；B、C求出前后5天的极差、方差判断；C由平均值求法求10天中日均值的平均值即可.【详解】由图知：从小到大为，而，所以分位数为，A错误；日均值的平均值，D错误；前5天极差为，后5天极差为，B正确；前5天平均值为，后5天平均值为，所以前5天的日均值的方差，后5

8、天日均值的方差，C正确；故选：BC12. 已知函数，则（ ）A. 函数的最小正周期为2B. 点是函数图象的一个对称中心C. 将函数图象向左平移个单位长度，所得到的函数图象关于轴对称D. 函数在区间上单调递增【12题答案】【答案】BC【解析】【分析】先将化简为，再结合余弦函数的性质判断4个选项即可.【详解】，故最小正周期为，A错误；，点是一个对称中心，B正确；向左平移个单位长度得到，关于轴对称，C正确；，单调递减，D错误.故选：BC.三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 化简_【13题答案】【答案】【解析】【分析】利用向量加减法运算化简，注意相反向量的应用.【详解】.故答案为

9、：14. 已知，则_【14题答案】【答案】【解析】【分析】由已知，利用差角正切公式求得，根据角的范围即可求.【详解】由，可得，又，所以.故答案为：15. 若，化简_【15题答案】【答案】【解析】【分析】由题设可得，再应用平方关系、二倍角正弦公式化简目标式即可.【详解】由题设，则，又.故答案为：16. 已知函数，当时，关于x的方程恰有两个不同的实数根，则实数m的取值范围是_【16题答案】【答案】【解析】【分析】令，问题转化为与的交点个数，结合正弦型函数的值域，讨论m判断有2个交点情况下m的范围.【详解】由，有，则而原方程可化为，可得，当时，、分别与有两个交点；当时，、分别与有一个交点；当时，此时

10、原方程有2个实数根；当时，此时原方程有1个实数根；当时，此时原方程有2个实数根；当时，此时原方程有3个实数根；当时，此时原方程有1个实数根；综上，.故答案为：【点睛】关键点点睛：令并求出的值域及不同值域区间上自变量对应值个数，再将问题化为由与的交点个数求参数范围.四、解答题（本大题共6小题，共70分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17. （1）利用三角公式化简：（2）已知，求【17题答案】【答案】（1）1；（2）.【解析】【分析】（1）根据切化弦转化为正余弦函数，再由和差角的正弦公式，二倍角公式，诱导公式求解即可；（2）根据角的变换及两角和差的余弦公式化简，再由同角三角函数的基本关系

11、转化为正切函数即可求解.【详解】（1）= =1（2）因为=0所以所以18. 如图，圆心角为的扇形的半径为2，点C是弧AB上一点，作这个扇形的内接矩形（1）求扇形的周长；（2）当点C在什么位置时，矩形的面积最大？并求出面积的最大值【18题答案】【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）先由公式求弧AB长，即可得到周长；（2）设，即可由三角函数表示出，即可得矩形面积与的函数式，最后进行变换得，即可讨论最值最值成立的条件.【小问1详解】由题，弧AB长为，故扇形的周长为：；【小问2详解】设，则，所以，所以矩形面积，所以当时，取得最大值，即当C在弧AB中点时，矩形的面积最大，最大值为.20. 已知，是

12、关于x的一元二次方程的两根（1）求的值；（2）若，求的值【20题答案】【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）由韦达定理结合平方关系得出的值；（2）先判断出，则，再代值计算即可.【小问1详解】因为，是关于x的一元二次方程的两根，所以，且，所以，所以，得，满足，所以，即【小问2详解】因为，又因为，所以，所以所以22. 已知（1）求的值；（2）已知，求的值【22题答案】【答案】（1）； （2）.【解析】【分析】（1）由已知，利用二倍角余弦公式及商数关系可得，再应用万能公式即可求目标式的值.（2）由题设得，结合判断的范围，利用差角正切公式求得，即可确定的值【小问1详解】由题设，则，又.【小问2详

13、解】由题设，则，故，又且，则，则而， 故.24. 已知函数，其中，且（1）求函数的单调递增区间；（2）若，且，求的值【24题答案】【答案】（1）递增区间为且； （2）.【解析】【分析】（1）由二倍角正余弦及辅助角公式可得，根据已知条件可得，进而有，再应用正弦函数性质求单调增区间.（2）根据已知求得，结合角的范围求得，再由及和角余弦公式求值即可.【小问1详解】由题设，又，即，故，所以时，则，令，可得，.所以的单调递增区间为且.【小问2详解】由（1）知：，可得，又，则，故，而.26. 已知数的相邻两对称轴间的距离为.（1）求的解析式；（2）将函数的图象向右平移个单位长度，再把各点的横坐标缩小为原来

14、的（纵坐标不变），得到函数的图象，当时，求函数的值域；（3）对于第（2）问中函数，记方程在上的根从小到大依次为，若，试求与的值.【26题答案】【答案】（1） （2） （3）【解析】【分析】（1）先整理化简得，利用周期求得，即可得到；（2）利用图像变换得到，用换元法求出函数的值域；（3）由方程，得到，借助于正弦函数的图象，求出与的值.小问1详解】由题意，函数因为函数图象的相邻两对称轴间的距离为，所以，可得.故【小问2详解】将函数的图象向右平移个单位长度，可得的图象.再把橫坐标缩小为原来的，得到函数的图象.当时，当时，函数取得最小值，最小值为，当时，函数取得最大值，最大值为，故函数的值域.【小问3详解】由方程，即，即，因为，可得，设，其中，即，结合正弦函数的图象，可得方程在区间有5个解，即， 其中，即解得所以. 综上，【点睛】（1）三角函数问题通常需要把它化为“一角一名一次”的结构，借助于或的性质解题；（2）求y=Asin(x+)+B的值域通常用换元法；学科网（北京）股份有限公司