2022年成人高考专升本《高等数学二》考试复习资料教程及重点分析汇编.docx

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1、2022年成人高考专升本高等数学二考试复习资料教程及重点分析汇编高等数学二复习教程第一讲 函数、连续与极限 一、理论要求1.函数概念与性质函数的基本性质（单调、有界、奇偶、周期）几类常见函数（复合、分段、反、隐、初等函数）2.极限极限存在性与左右极限之间的关系夹逼定理和单调有界定理会用等价无穷小和罗必达法则求极限3.连续函数连续（左、右连续）与间断理解并会应用闭区间上连续函数的性质（最值、有界、介值）二、题型与解法A.极限的求法（1）用定义求（2）代入法（对连续函数，可用因式分解或有理化消除零因子）（3）变量替换法（4）两个重要极限法（5）用夹逼定理和单调有界定理求（6）等价无穷小量替换法（7

2、）洛必达法则与Taylor级数法（8）其他（微积分性质，数列与级数的性质）1.（等价小量与洛必达）2.已知解： （洛必达）3. （重要极限）4.已知a、b为正常数，解：令（变量替换）5.解：令（变量替换）6.设连续，求 （洛必达与微积分性质）7.已知在x=0连续，求a解：令 （连续性的概念）三、补充习题（作业） 1. （洛必达）2. （洛必达或Taylor）3. （洛必达与微积分性质）第二讲 导数、微分及其应用一、理论要求1.导数与微分导数与微分的概念、几何意义、物理意义会求导（基本公式、四则、复合、高阶、隐、反、参数方程求导）会求平面曲线的切线与法线方程2.微分中值定理理解Roll、Lagr

3、ange、Cauchy、Taylor定理会用定理证明相关问题3.应用会用导数求单调性与极最值、凹凸性、渐进线问题，能画简图会计算曲率（半径）二、题型与解法A.导数微分的计算基本公式、四则、复合、高阶、隐函数、参数方程求导1.决定，求2.决定，求解：两边微分得x=0时，将x=0代入等式得y=13.决定，则 B.曲线切法线问题4.求对数螺线处切线的直角坐标方程。解：5.f(x)为周期为5的连续函数，它在x=1可导，在x=0的某邻域内满足f(1+sinx)-3f(1-sinx)=8x+o(x)。求f(x)在（6，f(6)）处的切线方程。解：需求，等式取x-0的极限有：f(1)=0C.导数应用问题6.

4、已知，求点的性质。解：令，故为极小值点。7.，求单调区间与极值、凹凸区间与拐点、渐进线。解：定义域8.求函数的单调性与极值、渐进线。解：，D.幂级数展开问题9.或：10.求解：= E.不等式的证明11.设，证：1）令 2）令F.中值定理问题12.设函数具有三阶连续导数，且，求证：在（-1，1）上存在一点证：其中将x=1，x=-1代入有两式相减：13.，求证： 证：令令 （关键：构造函数）三、补充习题（作业）1.2.曲线3.4.证明x0时 证：令 第三讲 不定积分与定积分一、理论要求1.不定积分掌握不定积分的概念、性质（线性、与微分的关系）会求不定积分（基本公式、线性、凑微分、换元技巧、分部）2

5、.定积分理解定积分的概念与性质理解变上限定积分是其上限的函数及其导数求法会求定积分、广义积分会用定积分求几何问题（长、面、体）会用定积分求物理问题（功、引力、压力）及函数平均值二、题型与解法A.积分计算1.2.3.设，求解：4.B.积分性质5.连续，,且，求并讨论在的连续性。解： 6. C.积分的应用7.设在0，1连续，在（0，1）上，且，又与x=1,y=0所围面积S=2。求，且a=?时S绕x轴旋转体积最小。解： 8.曲线，过原点作曲线的切线，求曲线、切线与x轴所围图形绕x轴旋转的表面积。解：切线绕x轴旋转的表面积为 曲线绕x轴旋转的表面积为 总表面积为三、补充习题（作业）1.2.3.第四讲

6、向量代数、多元函数微分与空间解析几何一、理论要求1.向量代数理解向量的概念（单位向量、方向余弦、模）了解两个向量平行、垂直的条件向量计算的几何意义与坐标表示2.多元函数微分理解二元函数的几何意义、连续、极限概念，闭域性质理解偏导数、全微分概念能熟练求偏导数、全微分熟练掌握复合函数与隐函数求导法3.多元微分应用理解多元函数极值的求法，会用Lagrange乘数法求极值4.空间解析几何掌握曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线的求法会求平面、直线方程与点线距离、点面距离二、题型与解法A.求偏导、全微分1.有二阶连续偏导，满足，求解：2.3.，求B.空间几何问题4.求上任意点的切平面与三个坐标轴的截距

7、之和。解：5.曲面在点处的法线方程。C.极值问题6.设是由确定的函数，求的极值点与极值。三、补充习题（作业）1.2.3. 第五讲 多元函数的积分一、理论要求1.重积分熟悉二、三重积分的计算方法（直角、极、柱、球）会用重积分解决简单几何物理问题（体积、曲面面积、重心、转动惯量）2.曲线积分理解两类曲线积分的概念、性质、关系，掌握两类曲线积分的计算方法熟悉Green公式，会用平面曲线积分与路径无关的条件3.曲面积分理解两类曲面积分的概念（质量、通量）、关系熟悉Gauss与Stokes公式，会计算两类曲面积分二、题型与解法A.重积分计算1.为平面曲线绕z轴旋转一周与z=8的围域。解：2.为与围域。（

8、3.，求 (49/20)B.曲线、曲面积分4. 解：令 5.,。解：取包含(0,0)的正向， 6.对空间x0内任意光滑有向闭曲面S， ，且在x0有连续一阶导数，,求。解： 第六讲 常微分方程一、理论要求1.一阶方程熟练掌握可分离变量、齐次、一阶线性、伯努利方程求法2.高阶方程会求3.二阶线性常系数(齐次)(非齐次)(非齐次)二、题型与解法A.微分方程求解1.求通解。（2.利用代换化简并求通解。（）3.设是上凸连续曲线，处曲率为，且过处切线方程为y=x+1，求及其极值。解：三、补充习题（作业）1.已知函数在任意点处的增量。(）2.求的通解。（）3.求的通解。（）4.求的特解。（第七讲 无穷级数一

9、、理论要求1.收敛性判别级数敛散性质与必要条件常数项级数、几何级数、p级数敛散条件正项级数的比较、比值、根式判别法交错级数判别法2.幂级数幂级数收敛半径、收敛区间与收敛域的求法幂级数在收敛区间的基本性质（和函数连续、逐项微积分）Taylor与Maclaulin展开3.Fourier级数了解Fourier级数概念与Dirichlet收敛定理会求的Fourier级数与正余弦级数第八讲 线性代数一、理论要求1.行列式会用按行（列）展开计算行列式2.矩阵几种矩阵（单位、数量、对角、三角、对称、反对称、逆、伴随）矩阵加减、数乘、乘法、转置，方阵的幂、方阵乘积的行列式矩阵可逆的充要条件，会用伴随矩阵求逆矩

10、阵初等变换、初等矩阵、矩阵等价用初等变换求矩阵的秩与逆理解并会计算矩阵的特征值与特征向量理解相似矩阵的概念、性质及矩阵对角化的冲要条件掌握将矩阵化为相似对角矩阵的方法掌握实对称矩阵的特征值与特征向量的性质3.向量理解n维向量、向量的线性组合与线性表示掌握线性相关、线性无关的判别理解并向量组的极大线性无关组和向量组的秩了解基变换与坐标变换公式、过渡矩阵、施密特方法了解规范正交基、正交矩阵的概念与性质4.线性方程组理解齐次线性方程组有非零解与非齐次线性方程组有解条件理解齐次、非齐次线性方程组的基础解系及通解掌握用初等行变换求解线性方程组的方法5.二次型二次型及其矩阵表示，合同矩阵与合同变换二次型的

11、标准形、规范形及惯性定理掌握用正交变换、配方法化二次型为标准形的方法了解二次型的对应矩阵的正定性及其判别法第九讲 概率统计初步一、理论要求1.随机事件与概率了解样本空间（基本事件空间）的概念，理解随机事件的关系与运算会计算古典型概率与几何型概率掌握概率的加减、乘、全概率与贝叶斯公式2.随机变量与分布理解随机变量与分布的概念理解分布函数、离散型随机变量、连续型变量的概率密度掌握0-1、二项、超几何、泊松、均匀、正态、指数分布，会求分布函数3.二维随机变量理解二维离散、连续型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布理解随机变量的独立性及不相关概念掌握二维均匀分布、了解二维正态分布的概率密度会求两个随

12、机变量简单函数的分布4.数字特征理解期望、方差、标准差、矩、协方差、相关系数的概念掌握常用分布函数的数字特征，会求随机变量的数学期望5.大数定理了解切比雪夫不等式，了解切比雪夫、伯努利、辛钦大数定理了解隶莫弗-Laplace定理与列维-林德伯格定理6.数理统计概念理解总体、简单随机样本、统计量、样本均值、样本方差及样本矩了解分布、t分布、F分布的概念和性质，了解分位数的概念了解正态分布的常用抽样分布7.参数估计掌握矩估计与极大似然估计法了解无偏性、有效性与一致性的概念，会验证估计量的无偏性会求单个正态总体的均值和方差的置信区间8.假设检验掌握假设检验的基本步骤了解单个及两个正态总体的均值和方差

13、的假设检验第十讲 总结1.极限求解变量替换（作对数替换），洛必达法则，其他（重要极限，微积分性质，级数，等价小量替换）1. (几何级数)2. (对数替换)3.4.5.6.，求2.导数与微分复合函数、隐函数、参数方程求导1.2.，求dy/dx3.决定函数，求dy4.已知，验证5.,求3.一元函数积分1.求函数在区间上的最小值。（0）2.3.4.5.6.4.多元函数微分1.，求2.由给出，求证：3.求在O(0,0),A(1,1),B(4,2)的梯度。4.，求6.证明满足7.求内的最值。5.多元函数积分1.求证：2.3.4.改变积分次序5.围域。6.常微分方程1.求通解。2.求通解。3.求通解。4.

14、求通解。5.求特解。6.求特解。高等数学考研题型分析 填空题：极限（指数变换，罗必达）、求导（隐函数，切法线）、不定积分、二重积分、变上限定积分选择题：等价小量概念，导数应用，函数性质，函数图形，多元极限计算题：中值定理或不等式，定积分几何应用，偏导数及几何应用，常微分方程及应用2018年成人高考专升本高等数学考前复习重点分析函数、极限和连续1.1 函数一、 主要内容 函数的概念 1. 函数的定义: y=f(x), xD定义域: D(f), 值域: Z(f).2.分段函数: 3.隐函数: F(x,y)= 04.反函数: y=f(x) x=(y)=f-1(y) y=f-1 (x)定理:如果函数:

15、 y=f(x), D(f)=X, Z(f)=Y 是严格单调增加(或减少)的； 则它必定存在反函数：y=f-1(x), D(f-1)=Y, Z(f-1)=X且也是严格单调增加(或减少)的。 函数的几何特性1.函数的单调性: y=f(x),xD,x1、x2D 当x1x2时,若f(x1)f(x2),则称f(x)在D内单调增加( )；若f(x1)f(x2),则称f(x)在D内单调减少( )； 若f(x1)f(x2),则称f(x)在D内严格单调增加( )；若f(x1)f(x2),则称f(x)在D内严格单调减少( )。 2.函数的奇偶性：D(f)关于原点对称 偶函数：f(-x)=f(x) 奇函数：f(-x

16、)=-f(x) 3.函数的周期性： 周期函数：f(x+T)=f(x), x(-，+) 周期：T最小的正数 4.函数的有界性： |f(x)|M , x(a,b) 基本初等函数1.常数函数： y=c ， (c为常数)2.幂函数： y=xn , (n为实数)3.指数函数： y=ax , (a0、a1)4.对数函数： y=loga x ,(a0、a1)5.三角函数： y=sin x , y=con x y=tan x , y=cot x y=sec x , y=csc x 6.反三角函数：y=arcsin x, y=arccon x y=arctan x, y=arccot x 复合函数和初等函数1.

17、复合函数： y=f(u) , u=(x)y=f(x) , xX2.初等函数: 由基本初等函数经过有限次的四则运算（加、减、乘、除）和复合所构成的，并且能用一个数学式子表示的函数1.2 极 限一、 主要内容极限的概念1. 数列的极限: 称数列以常数A为极限;或称数列收敛于A.定理: 若的极限存在必定有界.2.函数的极限： 当时，的极限： 当时，的极限： 左极限： 右极限：函数极限存的充要条件：定理： 无穷大量和无穷小量1.无穷大量： 称在该变化过程中为无穷大量。 X再某个变化过程是指： 2.无穷小量： 称在该变化过程中为无穷小量。3.无穷大量与无穷小量的关系： 定理：4.无穷小量的比较： 若,则

18、称是比较高阶的无穷小量； 若 （c为常数），则称与同阶的无穷小量； 若，则称与是等价的无穷小量，记作：； 若,则称是比较低阶的无穷小量。定理：若： 则：两面夹定理1 数列极限存在的判定准则： 设： （n=1、2、3） 且： 则： 2 函数极限存在的判定准则： 设：对于点x0的某个邻域内的一切点 （点x0除外）有： 且： 则：极限的运算规则 若： 则： 推论： 两个重要极限 1 或 2 1.3 连续一、 主要内容 函数的连续性1. 函数在处连续：在的邻域内有定义， 1o 2o 左连续： 右连续：2. 函数在处连续的必要条件： 定理：在处连续在处极限存在 3. 函数在处连续的充要条件： 定理：4.

19、 函数在上连续： 在上每一点都连续。 在端点和连续是指： 左端点右连续； 右端点左连续。 a+ 0 b- x5. 函数的间断点：若在处不连续，则为的间断点。间断点有三种情况： 1o在处无定义； 2o不存在；3o在处有定义，且存在， 但。 两类间断点的判断： 1o第一类间断点：特点：和都存在。可去间断点：存在，但，或在处无定义。 2o第二类间断点：特点：和至少有一个为， 或振荡不存在。无穷间断点：和至少有一个为函数在处连续的性质1. 连续函数的四则运算： 设， 1o 2o 3o 2. 复合函数的连续性： 则：3. 反函数的连续性： 函数在上连续的性质 1.最大值与最小值定理：在上连续在上一定存在

20、最大值与最小值。 y y +M M f(x) f(x) 0 a b x m -M 0 a b xa) 有界定理： 在上连续在上一定有界。 3.介值定理： 在上连续在内至少存在一点 ，使得：， 其中： y y M f(x) C f(x) 0 a b x m 0 a 1 2 b x 推论： 在上连续，且与异号在内至少存在一点，使得：。b) 初等函数的连续性： 初等函数在其定域区间内都是连续的。第二章 一元函数微分学2.1 导数与微分一、主要内容导数的概念 1导数：在的某个邻域内有定义， 2左导数：右导数： 定理：在的左（或右）邻域上连续在其内可导，且极限存在； 则： （或：）3.函数可导的必要条件

21、： 定理：在处可导在处连续 4. 函数可导的充要条件： 定理：存在， 且存在。 5.导函数： 在内处处可导。 y 6.导数的几何性质： 是曲线上点 处切线的斜率。 o x0 x求导法则 1.基本求导公式： 2.导数的四则运算： 1o 2o 3o 3.复合函数的导数： ，或 注意与的区别： 表示复合函数对自变量求导； 表示复合函数对中间变量求导。4.高阶导数： 函数的n阶导数等于其n-1导数的导数。微分的概念 1.微分：在的某个邻域内有定义， 其中：与无关，是比较高 阶的无穷小量，即： 则称在处可微，记作： 2.导数与微分的等价关系： 定理：在处可微在处可导，且： 3.微分形式不变性： 不论u是

22、自变量，还是中间变量，函数的微分都具有相同的形式。2.2 中值定理及导数的应用一、主要内容中值定理 1.罗尔定理: 满足条件: y a o b x a o b x 2.拉格朗日定理：满足条件: 罗必塔法则：（ 型未定式）定理：和满足条件：1o；2o在点a的某个邻域内可导，且；3o 则：注意：1o法则的意义：把函数之比的极限化成了它们导数之比的极限。 2o若不满足法则的条件，不能使用法则。 即不是型或型时，不可求导。 3o应用法则时，要分别对分子、分母 求导，而不是对整个分式求导。 4o若和还满足法则的条件， 可以继续使用法则，即： 5o若函数是型可采用代数变 形，化成或型；若是型可 采用对数或

23、指数变形，化成或型。导数的应用1 切线方程和法线方程：设：切线方程：法线方程：2 曲线的单调性： 3.函数的极值：极值的定义：设在内有定义，是内的一点；若对于的某个邻域内的任意点，都有：则称是的一个极大值（或极小值），称为的极大值点（或极小值点）。 极值存在的必要条件：定理：称为的驻点 极值存在的充分条件： 定理一：当渐增通过时，由（+）变（-）；则为极大值； 当渐增通过时，由（-）变（+）；则为极小值。定理二： 若，则为极大值； 若，则为极小值。注意：驻点不一定是极值点，极值点也不一定是驻点。 4曲线的凹向及拐点：若；则在内是上凹的（或凹的），（）； ；则在内是下凹的（或凸的），（）； 5。

24、曲线的渐近线： 水平渐近线： 铅直渐近线：第三章 一元函数积分学 3.1 不定积分一、 主要内容重要的概念及性质：1原函数：设： 若： 则称是的一个原函数， 并称是的所有原函数, 其中C是任意常数。2不定积分： 函数的所有原函数的全体， 称为函数的不定积分；记作： 其中：称为被积函数； 称为被积表达式；称为积分变量。 3. 不定积分的性质： 或： 或： 分项积分法 (k为非零常数) 4.基本积分公式：换元积分法： 第一换元法：（又称“凑微元”法） 常用的凑微元函数有： 1o 2o 3o 4o 5o 6o 2.第二换元法： 第二换元法主要是针对含有根式的被积函数， 其作用是将根式有理化。 一般有

25、以下几种代换： 1o (当被积函数中有时) 2o (当被积函数中有时) 3o (当被积函数中有时) 4o (当被积函数中有时)分部积分法： 1. 分部积分公式： 2.分部积分法主要针对的类型： 其中： （多项式） 3.选u规律： 在三角函数乘多项式中，令， 其余记作dv;简称“三多选多”。 在指数函数乘多项式中，令， 其余记作dv;简称“指多选多”。 在多项式乘对数函数中，令， 其余记作dv;简称“多对选对”。 在多项式乘反三角函数中，选反三角函数 为u，其余记作dv;简称“多反选反”。 在指数函数乘三角函数中，可任选一函数 为u，其余记作dv;简称“指三任选”。简单有理函数积分： 1. 有理

26、函数： 其中是多项式。 2. 简单有理函数： 3.2定积分 f(x)一 主要内容（一）.重要概念与性质1. 定积分的定义： O a x1 x2 xi-1 i xi xn-1 b x定积分含四步：分割、近似、求和、取极限。定积分的几何意义：是介于x轴，曲线y=f(x),直线x=a,x=b之间各部分面积的代数和。x轴上方的面积取正号， yx 轴下方的面积取负号。 + + a 0 - b x2. 定积分存在定理： 若：f(x)满足下列条件之一:若积分存在，则积分值与以下因素无关： 3. 牛顿莱布尼兹公式：牛顿莱布尼兹公式是积分学中的核心定理，其作用是将一个求曲边面积值的问题转化为寻找原函数及计算差量

27、的问题。4. 原函数存在定理： 5. 定积分的性质： y y y f(x) g(x) 1 f(x) 0 a c b x 0 a b x 0 a b x y y M f(x) f(x) m 0 a b x 0 a b x（二）定积分的计算：1. 换元积分 2. 分部积分 3. 广义积分 4. 定积分的导数公式 (三)定积分的应用1. 平面图形的面积: 与x轴所围成的图形的面积 y f(x) . 求出曲线的交点，画出草图； . 确定积分变量，由交点确定积分上下限；. 应用公式写出积分式，并进行计算。2. 旋转体的体积及x轴所围图形绕x轴旋转所得旋转体的体积： 0 a b x及y轴所围成图形绕y轴旋

28、转所得旋转体的体积： 第四章 多元函数微积分初步4.1 偏导数与全微分一. 主要内容：. 多元函数的概念c) 二元函数的定义： d) 二元函数的几何意义：二元函数是一个空间曲面。（而一元函数是平面上的曲线）. 二元函数的极限和连续：1. 极限定义：设z=f(x,y)满足条件： 2. 连续定义：设z=f(x,y)满足条件： .偏导数：.全微分：1.定义：z=f(x,y) 在点(x,y)处的全微分。3. 全微分与偏导数的关系.复全函数的偏导数：1. 2. .隐含数的偏导数：1.2. .二阶偏导数： .二元函数的无条件极值1. 二元函数极值定义： 极大值和极小值统称为极值，极大值点和极小值点统称为极

29、值点。 2.极值的必要条件：两个一阶偏导数存在，则： 而非充分条件。例： 驻点不一定是极值点。e) 极值的充分条件： 求二元极值的方法： 极值点。 二倍角公式：(含万能公式) 第五章排列与组合（1）加法原理：完成一件事情与分类有关，即每一类各自独立完成，此事即可完成。（2）乘法原理：完成一件事情与步骤有关，即一次完成每一步骤，此事才能完成。排列：从n个不同元素里，任取个元素，按照一定的顺序排列成一列，称为从n个不同元素里取出m个元素的一个排列，计算公式：组合：从n个不同元素里，任取个元素组成一组，叫做从n个不同元素里取出m个元素的一个组合，组合总数记为，计算公式：第六章概率论符号概率论集合论样

30、本空间全集不可能事件空集基本事件集合的元素 A事件子集A的对立事件A的余集事件A发生导致事件B发生A是B的子集A=BA与B两事件相等集合A与B相等事件A与事件B至少有一个发生A与B的并集事件A与事件B同时发生A与B的交集A-B事件A发生而事件B不发生A与B的差集事件A与事件B互不相容A与B没有相同元素由于随机事件都可以用样本空间中的某个集合来表示，于是事件间的关系和运算就可以用集合论的知识来讨论和表示，为了直观，可以用集合的韦恩图来表示事件的各种关系和运算法则，一般用某个矩形区域表示样本空间，该区域的一个子区域表示某个事件。于是各事件的关系运算如图中的图示所示。各事件的关系运算如图示： 9.完

31、备事件组 n个事件，如果满足下列条件：（1）；（2），则称其为完备事件组。显然任何一个事件A与其对立事件构成完备事件组。10.事件运算的运算规则：（1）交换律（2）结合律 （3）分配律 （4）对偶律率的古典定义定义：在古典概型中，若样本空间所包含的基本事件总数为n，事件A包含的基本事件数为m，则事件A发生的概率为。概率的基本性质与运算法则性质1.0P(A)1特别地，P()=0，P()=1性质2.若，则P(B-A)=P(B)-P(A)性质3.（加法公式）对任意事件A，B，有P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB) 。推论1.若事件A，B互不相容（互斥），则P(A+B)=P(A)+P(B) 推论

32、2.对任一事件A,有推论3.对任意事件A，B，C，有P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)条件概率、乘法公式、事件的独立性条件概率定义1：设有事件A，B，且P(B)0,称类似地，如果P(A)0，则事件B对事件A的条件概率为概率的乘法公式乘法公式可推广到有限多个事件的情况，例如对事件A,B,C,有事件的独立性一般地说, P(AB)P(A)，即说明事件B的发生影响了事件A发生的概率。若P(AB)P(A)，则说明事件B的发生在概率意义下对事件A的发生无关,这时称事件A，B相互独立。定义：对于事件A，B，若P(AB)=P(A)P(B) ，则称事件A与事件B相互独立。独立试验序列概型在相同的条件下，独立重复进行n次试验，每次试验中事件A可能发生或可能不发生，且事件A发生的概率为p，则在n次试验中事件A恰好发生k次的概率为一维随机变量及其概率分布（一）随机变量1.随机变量定义：设为样本空间，如果对每一个可能结果，变量X都有一个确定的实数值与