高等数学第五讲+黎曼积分.doc

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1、【精品文档】如有侵权，请联系网站删除，仅供学习与交流高等数学第五讲+黎曼积分.精品文档.第五讲 黎曼积分（正常积分）4.1 定积分一、定积分产生的背景：计算曲边梯形面积的代数和.二、定积分的概念和定义(一)定积分的概念首先用小的矩形的代数面积去近似地代替小的曲边梯形的代数面积,然后用小的矩形的代数面积的和去近似地代替小的曲边梯形的代数面积的和(曲边梯形的代数面积),第三,让每个小的矩形的代数面积的绝对值要多么小有多么小,则小的矩形的代数面积的和去准确地代替小的曲边梯形的代数面积的和(曲边梯形的代数面积),这样我们就通过使用直边图形的面积公式得到曲边梯形的代数面积.(二) 定积分的定义定义():

2、 函数在闭区间有定义，划分把闭区间划分成个小区间，其中， (分割的细度)，,若极限存在，我们称极限为函数在闭区间上定积分（Riemann积分），记作. 定义(): 函数在闭区间有定义，划分把闭区间划分成个小区间，其中， (分割的细度)，,若极限存在，我们称极限为函数在闭区间上定积分（Riemann积分），记作.定义(微元法的定义): 函数在闭区间有定义，在上任取一点，按积分下限到积分上限的方向给点一个增量，的绝对值是要多么小有多么小的正数，用表示小曲边梯形的代数面积（面积前加正或负号），用符号表示把闭区间上小曲边梯形的代数面积累积起来的曲边梯形的代数面积，如果的值存在，我们称为函数在闭区间上定

3、积分（Riemann积分）.由上述两个定义可以看出(1); (2);(3) . 由定义知:表示函数定义域（轴上的区域）上点处沿方向(从积分下限到积分上限)的增量,是绝对值要多么小有多么小的实数;当时,当时,;表示,所围成的曲边梯形的面积(或)或面积的相反数(或)；函数在闭区间上连续或有有限个间断点，则极限存在，即函数在闭区间上Riemann可积；函数在闭区间上有界，则极限不一定存在，即函数在闭区间上不一定Riemann可积, 如狄利克雷函数. 三、计算: (1)常规计算法牛顿-莱布尼兹公式法,其中. 或,其中,该式说明为什么函数的所有原函数叫做函数的不定积分,并且函数的不定积分用符号表示. 分

4、步积分法 . 换元积分法 第一换元积分法 ，其中，。第二换元积分法(2)对称性计算法:当函数在对称闭区间上为奇函数()时,则;当函数在对称闭区间上为偶函数()时,则.四、定积分计算的例题和习题例1 （上海大学2004年）给出有界函数在闭区间上Riemann可积的定义。试举出一个在闭区间上有界但不可积的例子，并给出证明.证明: Riemann可积的定义: 设在闭区间上的有界函数为,对,存在,当时,有,其中是一个常数, 为闭区间的任意分割, ,.在闭区间上有界但不可积的例子.存在,对,当时,有,其中的有理数.故在闭区间上有界但不可积.例2(兰州大学2005年)求.解: 首先判断积分反常性。因为在上

5、有间断点，并且，所以积分是反常积分。例3(华东师范大学2006年)求.解: 因为在上有间断点，并且所以积分是黎曼积分（正常积分）。因为，所以， 。进而例4（南京理工大学2006年）.解: 因为在上有间断点，并且所以积分是黎曼积分（正常积分）。因为，所以进而例5（陕西师范大学2003年）.解: 因为为奇函数.所以.又因为, 所以.例6(山东科技大学2005年)计算.解: 因为由于,所以.例7(上海大学2005年)求定积分.解:因为为奇函数,为偶函数,所以 例8 (北京交通大学2003年)求.解: 例9(北京交通大学2004年)求.解：令，则例10(南京理工大学2004年)求.解：因为，所以令,进

6、而.（1） 当时, 有（2） 当时, 有练习:1 (中国科学院武汉物理与数学研究所2004年)计算.（提示:利用降幂公式，答案：）.2 (中山大学2007年)计算.（提示: 根据积分的上下限作变量替换.答案：）.3 (湖南师范大学2005年)计算.（提示: 根据积分的上下限作变量替换.答案：）.4 (南京理工大学2006年)求.（作变量替换.答案：）5 (武汉理工大学2004年)计算,为正整数. （提示: .答案：）6 (山东师范大学2005年)求.（答案：）.7 (上海理工大学2005年)计算定积分.（答案：）.8 (上海理工大学2003年)设函数,计算定积分.（提示: 作变量替换. 答案：

7、）.9 (辽宁大学2004年)设的一个原函数是,计算定积分.（提示: 作变量替换.答案：）.10 (辽宁大学2005年)设,计算定积分.（提示: 用分部积分法. 答案：）.11 (山东科技大学2006年)设,证明: (对进行变量替换). 12 (上海理工大学2004年)设在上具有二阶连续导数,且,求(提示: 用分部积分法. 答案: ).五、定积分的应用1、函数在闭区间上连续，将函数的图形绕轴旋转一周，则所得到的旋转体的体积为：.2、函数在闭区间上连续，将函数的图形绕轴旋转一周，则所得到的旋转体的体积为：.3、 函数在闭区间上连续，,将函数所围成的图形绕轴旋转一周，则所得到的旋转体的体积为：.4

8、、计算旋转体的表面积如果函数在上连续, ,将函数的图形绕轴旋转一周，则所得到的旋转体的表面积为: .推导如下:在闭区间上任取一点,沿到的方向给点一个增量,是要多么小有多么小的正数, 在点处做的平行平面与旋转体边界相交于一个圆,则改圆的周长为,小位微元的表面积为,由微元法知, 旋转体的表面积.练习:1(复旦大学2001年)请计算由抛物线和轴所围成的平面区域的面积.(答案:)2 (中山大学2005年)设,试确定参数,使得曲线和它在点的法线方程,以及与轴所围成区域的面积最小. (答案: , 最小面积为)3(中山大学2007年)在平面上,光滑曲线过点,并且曲线上任意一点处的切线斜率与直线的斜率之差等于

9、,为常数. (1)求曲线的方程;(2)如果曲线 与直线所围成的平面图形的面积为,确定的值(答案: 曲线的方程,)4(山东科技大学2004年)求摆线,在一个拱形()绕横轴旋转所产生的体积. (答案:).5(山东科技大学2004年)求对数螺线从点起变到点的弧长. (答案:)6(汕头大学2003年)设,求星型线的全长. (答案:)7(湖南师范大学2005年)求曲线的弧长. (答案:)8(南京大学2003年)过点做抛物线的切线，求：（1）切线方程；（2）由抛物线、切线及轴所围成的平面图形的面积;(3)该图形分别绕轴旋转一周的体积. (答案: 切线方程:; 面积:;体积).9(河北大学2006年)设有两

10、条抛物线和,记它们交点横坐标的绝对值为.(1)求这两条抛物线所围成平面图形的面积;(2)求级数的和.(答案: 平面图形的面积; ).10 (北京航空航天大学2005年)设,求直线和抛物线所围图形绕直线旋转而成的旋转体的体积. (答案:).11(浙江师范大学大学2005年) 求由抛物线与直线所围图形的面积. (答案:).12(浙江师范大学大学2005年) 求由抛物线与抛物线所围图形的面积. (答案:).13(重庆大学2003年)求圆柱体与所围立体的体积. (答案:)14(中国科学院2006年) 求星型线绕直线旋转所成的曲面的表面积. (答案:).15(东南大学2005年)设悬链方程为,它在上的一

11、段弧长和曲边梯形的面积分别记为.该曲边梯形绕轴旋转一周所得旋转体的体积、侧面积和处的截面面积分别记为，证明：（1），；（2）；（3）.4.2二重积分一、二重积分产生的背景: 曲顶柱体体积的代数和.二、二重积分的概念和定义(一) 二重积分的概念首先用小的长方体的代数体积去近似地代替小的曲顶柱体的代数体积,然后用小的长方体的代数体积的和去近似地代替小的曲顶柱体的代数体积的和(曲顶柱体的代数体积),第三,让每个小的长方体的代数体积的绝对值要多么小有多么小,则小的长方体的代数体积的和去准确地代替小的曲顶柱体的代数体积的和(曲顶柱体的代数体积),这样我们就通过使用直边图形的体积公式得到曲顶柱体的代数体积

12、.(二) 二重积分的定义定义 函数在闭区域上有定义，划分把闭区域划分成个小区域，用表示区域的面积， ，,若极限存在，我们称极限为函数在闭区域上的二重积分（Riemann积分），记作由定义知:分别表示定义域（面上的区域）中点处和轴正方向的增量(该变量更确切),都是要多么小有多么小的正数(不能为负);表示为顶，底为区域的曲顶柱体的体积()或体积的相反数()；函数在闭区域上连续或有有限条间断曲线，则极限存在；表示在积分区域面上长、宽分别是的小微元的面积, 即.定义(微元法的定义): 函数在闭区域有定义，在闭区域上任取一点，分别按轴的正向给点一个增量向量，是要多么小有多么小的正数，用表示曲顶柱体的代数

13、体积（体积前加正或负号），用符号或表示把闭区域上小曲顶柱体的代数体积累积起来的曲顶柱体的代数体积，如果(无限个实数的和)的值存在，我们称或为函数在闭区域上的二重积分（Riemann积分）.三、二重积分的计算: 1、在直角坐标系下的计算(1) 矩形区域:.为什么矩形积分区域上的二重积分有两种计算方法,原因是: 对矩形区域内每个点,要使点布满整个矩形区域,并且点没有重复,我们有两种科学有效的方法: (1)首先让点沿轴移动, 起点为,终点为,即的取值范围为,进而得到, 这是平行于轴的一条恒定长线段(和的取值无关), 然后让点沿轴移动, 起点为,终点为,即的取值范围为,这时点就布满矩形区域, 进而得到

14、矩形区域上的积分. (2) 首先让点沿轴移动, 起点为,终点为,即的取值范围为,进而得到, 这是平行于轴的一条恒定长线段(和的取值无关), 然后让点沿轴移动, 起点为,终点为,即的取值范围为,这时点就布满矩形区域, 进而得到矩形区域上的积分.(2) 型区域:.为什么一般的型积分区域上的二重积分有一种计算方法,并且要先积,原因如下: 对型区域内每个点,要使点布满整个型区域,首先让点沿轴移动, 起点为,终点为,即的取值范围为,进而得到, 这是平行于轴的一条非恒定长线段(和的取值有关), 然后让点沿轴移动, 起点为,终点为,即的取值范围为,这时点就布满矩形区域, 进而得到矩形区域上的积分. 而对型区

15、域内每个点, 如果首先让点沿轴移动, 起点为,终点为,即的取值范围为,进而得到, 这是平行于轴的一条恒定长线段(和的取值无关), 然后让点沿轴移动,无论怎么确定起点和终点, 点所覆盖的区域不能布满型区域或超出型区域,所以对一般的型区域要先积.(3)型区域:.为什么对型区域要先积,请同学做出说明.2、在极坐标系下的计算（1）.其中与轴的正向所成的角为.（2），为参数。注意: 通过极坐标变换,把直角坐标系下的积分转化成极坐标系下的积分,这种方法虽不能减少积分变量(一般情况下),但可改变被积函数的形式, 使被积函数转化为容易积分的被积函数. 极坐标变换计算二重积分,一般被积函数同时含有项.通过极坐标

16、变换计算二重积分,要特别注意,其中为雅克比行列式的绝对值.3、对称性计算法:(1)当积分区域关于轴对称时,且函数时,则;当积分区域关于轴对称时,且函数时,则,其中区域为的区域.(2)当积分区域关于轴对称时,且函数时,则;当积分区域关于轴对称时,且函数时,则,其中区域为的区域.四、二重积分计算的例题和习题例1 (辽宁大学2005年)求.解: .例2 (山东师范大学2006年)计算累次积分.解: 例3 (中国科学院2007年)设,是定义在上的二元函数,且在点处可微,求.解: 例4 (上海理工大学2003年)设为连续函数,证明:.证明: 因为所以.例5 (华中科技大学2005年)设在上有二阶连续导数

17、，证明.证明: 由分步积分法可得再根据积分换序有所以.例6 (北京师范大学2006年)求,其中是由轴、直线及曲线围成的平面区域.解:例7 (西安电子科技大学2005年)求,其中.解: 例7 (大连理工大学2004年)计算积分,其中是由直线及抛物线所围成的区域.解: 例8 (武汉理工大学2004年)计算,其中是椭圆区域.解: 作变量替换,Jacobi行列式为.例9 (华东师范大学2003年)已知，计算.解: 作变量替换,则例10 (汕头大学2004年)计算积分,这里.解:因为,所以做变量替换.练习1(南京航空航天大学2003年) 设平面区域由曲线围成,其中.求.(答案:)2 (北京师范大学200

18、4年). (答案:,提示: 做变量替换).3 (电子科技大学2004年)计算,其中为,为常数,常数.(答案:,提示:做变量替换).4 (山东师范大学2005年)求,其中表示平面曲线,所围成的有界区域.( 答案:,提示:做变量替换)5 (南京航空航天大学2004年)用二重积分计算由曲线,和所围成的面积. ( 答案:,提示:做变量替换)6 (南京理工大学2004年)计算,其中7(湖南师范大学2004年)求二重积分,其中.(答案:).8 (北京工业大学2003年)计算二重积分,其中.(答案:).9 (华东师范大学2005年)求.(答案:).10 (上海理工大学2004年)求.(答案:).11 (北京

19、理工大学2004年) .(答案:).12 (北京师范大学2003年)计算二重积分,其中区域由曲线,和所围成. (提示: 作变量替换. 答案:).13 (湖南师范大学2005年)证明不等式.(提示:首先证明不等式).14 (西安电子科技大学2004年)设连续,求(提示:作变量替换. 答案: ).15 (北京理工大学2004年)求(提示: . 答案: ).16 (上海理工大学2004年) 设在上连续,试证明:(提示: 将定积分化成二重积分,再交换和.).4.3三重积分一、三重积分产生的背景:多面体状物体的质量. 二、三重积分的概念和定义1、三重积分的概念首先用均匀小的长方体的质量去近似地代替小的多

20、面体的质量,然后用小的长方体的质量和去近似地代替小的多面体的质量和,第三,让每个小的长方体的代数体积的绝对值要多么小有多么小,则小的长方体的质量和去准确地代替小的多面体的质量和,这样我们就通过使用直边图形状物体的质量得到多面体状物体的质量.2、三重积分的定义定义: 函数在闭区域上连续，划分把闭区域划分成个小区域，用表示区域的体积， ，,我们称极限为函数在闭区域上的三重积分，记作.由定义知:分别表示定义域上点处、和轴正方向的增量,都是要多么小有多么小的正数.表示积分区域内小微元的体积.定义(微元法的定义): 函数在闭区域有定义，在闭区域上任取一点，分别按的正向给点一个增量，是要多么小有多么小的正

21、数，用表示曲顶柱体的代数体积（体积前加正或负号），用符号或表示把闭区域上小曲顶柱体的代数体积累积起来的曲顶柱体的代数体积，如果 (无限个实数的和)的值存在，我们称或为函数在闭区域上的三重积分（Riemann积分）.三、计算:(1) 在直角坐标系下的计算(2)在球坐标系下的积分令.则其中向径与轴的正向所成的角为,与轴的正向所成的角为.球坐标系可推广为椭球坐标系, 其变量替换表达式为:,其中为参数，且大于等于零，. (3)在柱坐标系下的积分令.则其中向径与轴的正向所成的角为.柱坐标变换的推广令,其中参数。(4)对称性计算法:当积分区域关于面对称时,且函数时,则;当积分区域关于面对称时,且函数时,则

22、;当积分区域关于面对称时,且函数时,则.四、三重积分计算的例题和习题例1(复旦大学2001年)计算三重积分,其中积分区域是由曲面和平面,以及所围成.解: 例2(陕西师范大学2003年)求,其中.解: 例3(上海理工大学2004年)计算,其中:.解: 因为是关于的奇函数,关于面对称,所以.例4(中国地质大学2004年)求,其中为.解:进行变量替换.例5(北京理工大学2004年)如果,其中是可微函数,证明: .证明: 进行变量替换,则进而所以.例6(南开大学2006年)设函数在全空间上具有连续的偏导数,且关于都是以为周期的,即对任意点有下式成立则对任意实数,有,其中.例7(北京大学2006年)求,

23、其中为与围成的有界区域.解: 进行变量替换,则例8(中国地质大学2006年)求,其中由,所围成.解: 进行变量替换,则例9(山东科技大学2006年)计算下面的三重积分,其中是由和所围成的区域.解: 进行变量替换, , 则例10(中南大学2003年)计算三重积分,其中是由和所围成的区域.解: 进行变量替换, , 则练习:1 (北京师范大学2004年) 计算三重积分,其中是由和所围成的区域.(提示:柱坐标变换. 答案:).2 (辽宁大学2004年) 计算三重积分,其中是曲线绕轴旋转一周而成的曲面与平面所围成的区域.( 提示:柱坐标变换. 答案:).3 (武汉理工大学2004年)设连续, 其中是曲面

24、和平面所围成的区域,求.(提示:柱坐标变换.答案: ).4 (北京师范大学2006年) 计算,其中是曲面和平面所围成的区域.(提示:作变量替换. 答案:).5 (上海交通大学2003年)计算积分,其中是曲面和平面所围成的区域.(提示: 进行变量替换.答案:).6 (复旦大学2000年) 求三重积分,其中是锥面和平面及坐标平面所围成的区域.( 提示:作变量替换.答案:).7 (辽宁大学2005年)求三重积分,其中是区域.(答案:).8 (北京师范大学2005年)计算，其中为以为球心，以为半径的两个球体的公共部分. (提示:作变量替换,其中 ,积分区域.答案:).9 (南开大学2006年)设在球上

25、连续，令证明：，.10 (上海理工大学2005年)求，其中是由和所围成的区域.( 作变量替换. 答案:).五、重积分的应用1、计算平面图形的面积如果平面区域的面积为,则.2、计算空间多面体的体积如果空间区域的体积为,则.3、计算旋转体的表面积如果函数在上连续, 将函数的图形绕轴旋转一周，则所得到的旋转体的表面积为: .4、重心(1) 计算非均匀平面薄片的重心设有一平面薄片，占有面上的闭区域，在区域内点处的面密度为，如果在上连续，则薄片重心的坐标为 用微元法推导. 设平面薄片上的任意一点为,给一个增量,均大于.则小微元质量为, 它产生的在方向静矩分别为,进而 (2) 计算空间中体的重心设有空间中

26、的体，占有空间中的闭区域，在区域内点处的面密度为，如果在上连续，则空间中的体的重心坐标为5、形心(1) 计算平面图形的形心平面图形的形心：均匀平面薄片的重心叫做这平面薄片所占平面图形的形心.形心坐标的计算公式为(2) 计算空间图形的形心空间图形的形心：均匀空间体的重心叫做这空间体的所占空间图形的形心. 形心坐标的计算公式为例1(2010考研数学一)设,则的形心为 .解: 由形心的计算公式得：函数是关于的奇函数，而积分区域关于面对称，所以函数是关于的奇函数，而积分区域关于面对称，所以而进而则的形心为。练习:1(电子科技大学2003年)求由抛物线及双曲线所围成的面积. (提示: 进行变量替换.答案

27、:)2(中国地质大学2004年)求下列曲线所围成的面积:. (提示: 进行变量替换.答案:)3(华东师范大学2000年)设为一旋转曲面，它由光滑曲线段绕轴旋转而成,试用二重积分计算面积的方法,导出的面积公式为(提示: 旋转曲面的方程式,).4(清华大学2003年)设半径为的球的球心在半径为常数的定球面上,问为何值时, 位于定球面内部部分的面积最大? (提示:球面：，最大值点,最大值为)5(北京工业大学2005年)设平面在三坐标轴上的截距为,这里,试求平面与三坐标平面所围成的四面体的体积. (答案:)6(复旦大学2002年)假定是三维空间中的一个有界闭区域请计算的边界面的总面积和的体积.(答案:,).7(苏州大学2005年)求由圆锥体和球体所围成立体的体积,其中.(答案:)8(电子科技大学2002年)求曲面所围成立体的体积. (答案:)9(中国科技大学2001年)求所围立体的体积. (答案:)10(上海大学2004年)计算球体被柱面所截出的那部分体积. (答案:).