实数—专题一、平方根、算数平方根.doc

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1、Four short words sum up what has lifted most successful individuals above the crowd: a little bit more.-author-date实数专题一、平方根、算数平方根实 数平方根、算数平方根一、引入:1.有人证明“任何两数都相等”证法如下。你们看看问题出在哪里:2.若已知一个数的平方为下列各数,你能把这个数的取值说出来吗? 25,0,4,-,1.69二、平方根定义： 如果一个数x的平方等于a，那么，这个数x就叫做a的平方根；也即，当时，我们称x是a的平方根，记做：。因此：1.当a=0时，它的平方根只有

2、一个，也就是0本身；2.当a0时，也就是a为正数时，它有两个平方根，且它们是互为相反数，通常记做：。3.当a0时，也即a为负数时，它不存在平方根。【例1】 （1）因为（ ）2144， 所以144的平方根是 ； （2）因为（ ）20.81，所以0.81的平方根是 ； （3）（-2345）2的平方根是 ， （4）平方数是它本身的数是 ；平方数是它的相反数的数是 ； （5）若的平方根是2，则x= ； （6）在下列各数中0， ，有平方根的个数是 个 （7）下列各式正确的是（ ） A、 B、 C、 D、（10）若a0，则的算术平方根是（ ） A、2a B、2a C、 D、| 2a |【例2】（1）的平方

3、根为（ ） A没有平方根 B C0 D1（2）的平方根为（ ） A B没有平方根 C0或没有平方根 D0（3）一个自然数的一个平方根是，那么紧跟它后面的一个自然数的平方根是（ ） A B C D三、 算术平方根： 我们规定若一个正数x的平方等于a，即x2=a，则这个正数x就叫做a的算术平方根。记为“”，读作“根号a”。特别地，我们规定0的算术平方根是0，即=0。算术平方根的性质：具有双重非负性，即：。一个正数有 个算术平方根，是 ；0有 个算术平方根，是 ；负数 。算术平方根与平方根的关系：算术平方根是平方根中正的一个值，它与它的相反数共同构成了平方根。因此，算术平方根只有一个值，并且是非负数

4、，它只表示为：；而平方根具有两个互为相反数的值，表示为：。例3.填空：(只讨论非负的情况)(1)因为（ ）236，所以36的算术平方根是 ，即 ；(2)因为( )2，所以的算术平方根是 ，即 ；(3)因为( )20.81，所以0.81的算术平方根是 ，即 ；【变式练习】1、1.25的算术平方根是_，平方根是_；2、选择题（1）若，则（ ） A、x0 B、x0 C、a0 D、a0（2）一个数若有两个不同的平方根，则这两个平方根的和为（ ） A、大于0 B、等于0 C、小于0 D、不能确定（3）下列结果错误的有（ ） ； 的算术平方根是4； 的算术平方根是； 的平方根是 A1个 B2个 C3个 D

5、4个 （4）下列语句写成式子正确的是（ ） A7是49的算术平方根，即； B7是的算术平方根，即； C是49的平方根，即； D是7的算术平方根，即（5）设为有理数，判断下列说法是否正确 （1）如果存在平方根，则；（ ） （2）如果有两个平方根，则；（ ） （3）如果没有平方根，则；（ ） （4）如果，则的平方根也大于0。（ ）（6）下列说法中正确的是（ ） A若，则 B是实数，且，则 C有意义时， D0.1的平方根是（7）一个数扩大为原来的m倍，那么它的算术平方根（ ） A扩大到m倍 B扩大到m2倍 C扩大到倍 D不变【例4】（1）使得有意义的有（ ）A个 B1个 C无数个 D以上都不对（2）

6、若正数a的算术平方根比它本身大，则（ ） A、0a0 C、a1（3）当x= 时，有意义；（4）当x 时，有意义；（5）若有意义，则 ；（6）若，则x+y= ；（7）代数式的最大值为 ，这是的关系是 ；【变式练习】1、若a0，则等于（ ） A、 B、 C、 D、02、一个正方形的边长为a，面积为b，则（ ） A、a是b的平方根 B、a是b的的算术平方根 C、 D、3、若，其中、为整数，则 4、若，求xy的值。5、若，求的值。6、已知，求的平方根。【例5】已知， 求和的值； 若=04858，求的值；【变式练习】1、已知，则= ，= ，= 。【例6】解方程： 【变式练习】求下列各式中的值： （1）

7、（2） （3） -100【例7】已知一个数的平方根是3a+1和a+11，这个数是 【变式练习】1.已知2m+2的平方根是，3m+n+1的平方根是，求5m+3n的值。2.已知一个正数的平方根是2a-1和a-5,求a的值。【例8】已知：a、b、c分别为ABC的三边长，b、c满足b2-4b+4+0，且a满足方程(a4)24（1）求ABC的周长；（2）判断ABC的形状【变式练习】1、对于两个不相等的实数、，定义一种新的运算如下，如：， 那么 2、已知，求xyz+的值。3、实数，在数轴上的位置如图，且，化。【例9】实数a,b,c满足，且，求代数式的值。【变式练习】1.已知3a-b-7|+=0求(b+a)

8、a的平方根。2.已知，求x,y,z的值。中考链接：1.（2006宿迁）如图，矩形内两相邻正方形的面积分别是2和6，那么矩形内阴影部分的面积是 （结果保留根号）2.（2000河北）观察下列各式及其验证过程：（1）按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想的变形结果并进行验证；（2）针对上述各式反映的规律，写出用n（n为任意自然数，且n2）表示的等式，并给出证明思考题：已知有理数a,b,x,y满足，试求a,b,x,y的值。四、小结：关于开平方: 求一个数的平方根的运算叫做开平方。其中叫做被开方数。注意：（1）开平方运算与平方运算互为逆运算；（2）一个正数有两个平方根，且它们互为相反数；（3）0有一个平方根，就是它本身；（4）负数不能进行开平方运算；（5）开平方的小数点移动规律：如果被开方数的小数点，向右或向左每移动两位，它的平方根的小数点就相应地向右或向左移动一位。平方根的表示 （1）正数a的算术平方根用表示。 （2）正数a的负的平方根用表示。 （3）正数a的平方根用表示。-