培优专题7-分式的运算(含答案).doc

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1、Four short words sum up what has lifted most successful individuals above the crowd: a little bit more.-author-date培优专题7-分式的运算(含答案)10、分式的运算【知识精读】 1. 分式的乘除法法则 ； 当分子、分母是多项式时，先进行因式分解再约分。 2. 分式的加减法 （1）通分的根据是分式的基本性质，且取各分式分母的最简公分母。 求最简公分母是通分的关键，它的法则是： 取各分母系数的最小公倍数； 凡出现的字母（或含有字母的式子）为底的幂的因式都要取； 相同字母（或含有字母的式

2、子）的幂的因式取指数最高的。 （2）同分母的分式加减法法则 （3）异分母的分式加减法法则是先通分，变为同分母的分式，然后再加减。 3. 分式乘方的法则 （n为正整数） 4. 分式的运算是初中数学的重要内容之一，在分式方程，求代数式的值，函数等方面有重要应用。学习时应注意以下几个问题： （1）注意运算顺序及解题步骤，把好符号关； （2）整式与分式的运算，根据题目特点，可将整式化为分母为“1”的分式； （3）运算中及时约分、化简； （4）注意运算律的正确使用； （5）结果应为最简分式或整式。下面我们一起来学习分式的四则运算。【分类解析】 例1：计算的结果是（ ） A. B. C. D. 分析：原式

3、 故选C 说明：先将分子、分母分解因式，再约分。 例2：已知，求的值。 分析：若先通分，计算就复杂了，我们可以用替换待求式中的“1”，将三个分式化成同分母，运算就简单了。 解：原式 例3：已知：，求下式的值： 分析：本题先化简，然后代入求值。化简时在每个括号内通分，除号改乘号，除式的分子、分母颠倒过来，再约分、整理。最后将条件等式变形，用一个字母的代数式来表示另一个字母，带入化简后的式子求值。这是解决条件求值问题的一般方法。 解： 故原式 例4：已知a、b、c为实数，且，那么的值是多少？ 分析：已知条件是一个复杂的三元二次方程组，不容易求解，可取倒数，进行简化。 解：由已知条件得： 所以 即

4、又因为 所以 例5：化简： 解一：原式 解二：原式 说明：解法一是一般方法，但遇到的问题是通分后分式加法的结果中分子是一个四次多项式，而它的分解需要拆、添项，比较麻烦；解法二则运用了乘法分配律，避免了上述问题。因此，解题时注意审题，仔细观察善于抓住题目的特征，选择适当的方法。 例1、计算： 解：原式 说明：分式运算时，若分子或分母是多项式，应先因式分解。 例2、已知：，则_。 解： 说明：分式加减运算后，等式左右两边的分母相同，则其分子也必然相同，即可求出M。中考点拨： 例1：计算： 解一：原式 解二：原式 说明：在分式的运算过程中，乘法公式和因式分解的使用会简化解题过程。此题两种方法的繁简程

5、度一目了然。 例2：若，则的值等于（ ） A. B. C. D. 解：原式 故选A【实战模拟】 1. 已知：，则的值等于（ ） A. B. C. D. 2. 已知，求的值。3. 计算：4. 若，试比较A与B的大小。 5. 已知：，求证：。【试题答案】 1. 解： 故选B 2. 解： 说明：此题反复运用了已知条件的变形，最终达到化简求值的目的。 3. 解：原式 说明：本题逆用了分式加减法则对分式进行拆分，简化计算。 4. 解：设，则 5. 证明： ，即 又 均不为零 12、分式方程及其应用【知识精读】 1. 解分式方程的基本思想：把分式方程转化为整式方程。 2. 解分式方程的一般步骤： （1）在

6、方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程； （2）解这个整式方程； （3）验根：把整式方程的根代入最简公分母，看结果是否等于零，使最简公分母等于零的根是原方程的增根，必须舍去，但对于含有字母系数的分式方程，一般不要求检验。 3. 列分式方程解应用题和列整式方程解应用题步骤基本相同，但必须注意，要检验求得的解是否为原方程的根，以及是否符合题意。 下面我们来学习可化为一元一次方程的分式方程的解法及其应用。【分类解析】 例1. 解方程： 分析：首先要确定各分式分母的最简公分母，在方程两边乘这个公分母时不要漏乘，解完后记着要验根 解：方程两边都乘以，得 例2. 解方程 分析：直接去分母，可能

7、出现高次方程，给求解造成困难，观察四个分式的分母发现的值相差1，而分子也有这个特点，因此，可将分母的值相差1的两个分式结合，然后再通分，把原方程两边化为分子相等的两个分式，利用分式的等值性质求值。 解：原方程变形为： 方程两边通分，得 经检验：原方程的根是 例3. 解方程： 分析：方程中的每个分式都相当于一个假分数，因此，可化为一个整数与一个简单的分数式之和。 解：由原方程得： 即 例4. 解方程： 分析：此题若用一般解法，则计算量较大。当把分子、分母分解因式后，会发现分子与分母有相同的因式，于是可先约分。 解：原方程变形为： 约分，得 方程两边都乘以 注：分式方程命题中一般渗透不等式，恒等变

8、形，因式分解等知识。因此要学会根据方程结构特点，用特殊方法解分式方程。5、中考题解： 例1若解分式方程产生增根，则m的值是（ ） A. B. C. D. 分析：分式方程产生的增根，是使分母为零的未知数的值。由题意得增根是：化简原方程为：把代入解得，故选择D。 例2. 甲、乙两班同学参加“绿化祖国”活动，已知乙班每小时比甲班多种2棵树，甲班种60棵所用的时间与乙班种66棵树所用的时间相等，求甲、乙两班每小时各种多少棵树？ 分析：利用所用时间相等这一等量关系列出方程。 解：设甲班每小时种x棵树，则乙班每小时种（x+2）棵树， 由题意得： 答：甲班每小时种树20棵，乙班每小时种树22棵。 说明：在解

9、分式方程应用题时一定要检验方程的根。6、题型展示： 例1. 轮船在一次航行中顺流航行80千米，逆流航行42千米，共用了7小时；在另一次航行中，用相同的时间，顺流航行40千米，逆流航行70千米。求这艘轮船在静水中的速度和水流速度 分析：在航行问题中的等量关系是“船实际速度=水速+静水速度”，有顺水、逆水，取水速正、负值，两次航行提供了两个等量关系。 解：设船在静水中的速度为x千米/小时，水流速度为y千米/小时 由题意，得 答：水流速度为3千米/小时，船在静水中的速度为17千米/小时。 例2. m为何值时，关于x的方程会产生增根？ 解：方程两边都乘以，得 整理，得 说明：分式方程的增根，一定是使最

10、简公分母为零的根【实战模拟】 1. 甲、乙两地相距S千米，某人从甲地出发，以v千米/小时的速度步行，走了a小时后改乘汽车，又过b小时到达乙地，则汽车的速度（ ） A. B. C. D. 2. 如果关于x的方程 A. B. C. D. 3 3. 解方程：4. 求x为何值时，代数式的值等于2？ 5. 甲、乙两个工程队共同完成一项工程，乙队先单独做1天后，再由两队合作2天就完成了全部工程。已知甲队单独完成工程所需的天数是乙队单独完成所需天数的，求甲、乙两队单独完成各需多少天？【试题答案】 1. 由已知，此人步行的路程为av千米，所以乘车的路程为千米。 又已知乘车的时间为b小时，故汽车的速度为 2.

11、把方程两边都乘以 若方程有增根，则 3. （1）分析：方程左边很特殊，从第二项起各分式的分母为两因式之积，两因式的值都相差1，且相邻两项的分母中都有相同的因式。因此，可利用裂项，即用“互为相反数的和为0”将原方程化简 解：原方程可变为 （2）分析：用因式分解（提公因式法）简化解法 解： 因为其中的 经检验：是原方程的根。 4. 解：由已知得 的值等于2。 5. 设：乙队单独完成所需天数x天，则甲队单独完成需天。 由题意，得 经检验 答：甲、乙两队单独完成分别需4天，6天。13、分式总复习【知识精读】 【分类解析】1. 分式有意义的应用 例1. 若，试判断是否有意义。 分析：要判断是否有意义，须

12、看其分母是否为零，由条件中等式左边因式分解，即可判断与零的关系。 解： 即 或 中至少有一个无意义。 2. 结合换元法、配方法、拆项法、因式分解等方法简化分式运算。 例2. 计算： 分析：如果先通分，分子运算量较大，观察分子中含分母的项与分母的关系，可采取“分离分式法”简化计算。 解：原式 例3. 解方程： 分析：因为，所以最简公分母为：，若采用去分母的通常方法，运算量较大。由于故可得如下解法。 解： 原方程变为 经检验，是原方程的根。 3. 在代数求值中的应用 例4. 已知与互为相反数，求代数式的值。 分析：要求代数式的值，则需通过已知条件求出a、b的值，又因为，利用非负数及相反w数的性质可

13、求出a、b的值。 解：由已知得，解得 原式 把代入得：原式 4. 用方程解决实际问题 例5. 一列火车从车站开出，预计行程450千米，当它开出3小时后，因特殊任务多停一站，耽误30分钟，后来把速度提高了0.2倍，结果准时到达目的地，求这列火车的速度。 解：设这列火车的速度为x千米/时 根据题意，得 方程两边都乘以12x，得 解得 经检验，是原方程的根 答：这列火车原来的速度为75千米/时。 5. 在数学、物理、化学等学科的学习中，都会遇到有关公式的推导，公式的变形等问题。而公式的变形实质上就是解含有字母系数的方程。 例6. 已知，试用含x的代数式表示y，并证明。 解：由，得 6、中考原题： 例

14、1已知，则M_。 分析：通过分式加减运算等式左边和右边的分母相同，则其分子也必然相同，即可求出M。 解： 例2已知，那么代数式的值是_。 分析：先化简所求分式，发现把看成整体代入即可求的结果。 解：原式 7、题型展示： 例1. 当x取何值时，式子有意义？当x取什么数时，该式子值为零？ 解：由 得或 所以，当和时，原分式有意义 由分子得 当时，分母 当时，分母，原分式无意义。 所以当时，式子的值为零 例2. 求的值，其中。 分析：先化简，再求值。 解：原式 【实战模拟】1. 当x取何值时，分式有意义？2. 有一根烧红的铁钉，质量是m，温度是，它放出热量Q后，温度降为多少？（铁的比热为c）3. 计

15、算：4. 解方程：5. 要在规定的日期内加工一批机器零件，如果甲单独做，刚好在规定日期内完成，乙单独做则要超过3天。现在甲、乙两人合作2天后，再由乙单独做，正好按期完成。问规定日期是多少天？ 6. 已知，求的值。【试题答案】 1. 解：由题意得 解得且 当且时，原式有意义 2. 解：设温度降为t，由已知得： 答：温度降为。 3. 分析：此题的解法要比将和后两个分式直接通分计算简便，它采用了逐步通分的方法。因此灵活运用法则会给解题带来方便。同时注意结果要化为最简分式。 解：原式 4. 解：原方程化为 方程两边通分，得 化简得 解得 经检验：是原方程的根。 说明：解分式方程时，在掌握一般方法的基础上，要注意根据题目的特点，选用简便的方法，减少繁琐计算。 5. 分析：设规定日期是x天，则甲的工作效率为，乙的工作效率为，工作总量为1 解：设规定日期为x天 根据题意，得 解得 经检验是原方程的根 答：规定日期是6天。 6. 解： 由(1)(2)解得 -