线性代数例题[1].doc

《线性代数例题[1].doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《线性代数例题[1].doc（13页珍藏版）》请在得力文库 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、【精品文档】如有侵权，请联系网站删除，仅供学习与交流线性代数例题1.精品文档.行列式例1：若都是四维列向量，且四阶行列式，四阶行列式等于多少？例2：设是阶方阵，且，则中( )() 必有一列元素全为零；() 必有两列元素成比例；() 必有一列向量是其余列向量的线性组合；() 任一列向量是其余列向量的线性组合.例3：设，为的代数余子式，且，并且，求.例4：设四阶方阵，其中是阶单位矩阵，求：（1）的系数；（2）的系数；（3）常数项.例5：设为阶方阵，是阶单位矩阵，计算.例6：设，为阶正交矩阵，若，证明是降秩矩阵.矩 阵 例1：设，证明当时，恒有.例2：设，计算.例3：设三阶方阵，满足关系，且，求例4

2、：设是三阶方阵，求 例5：证明：若实对称矩阵满足条件，则例6：设，其中是阶单位矩阵，是维非零列向量，证明：（1）的充要条件是；（2）当时，是不可逆矩阵.例7：已知阶方阵满足，求例8：设，且，求.例9：设，求.例10：设是阶方阵，且满足，证明：例11：设是阶方阵，是否存在，使得，若存在，指出求的办法，若不存在，说明理由.例12：设，其中可逆，则（ ）例13：设是阶方阵，将的第一列与第二列交换得，再把的第二列加到第三列得，则满足的可逆矩阵为例14：设是阶方阵，已知可逆，且满足，证明和都是可逆矩阵，并求它们的逆.例15：设分别是阶和阶非奇异方阵，是矩阵，证明：（1）为可逆矩阵；（2）例16：求阶行列

3、式中所有元素的代数余子式的和.例17：设是阶方阵，且存在正整数，使，又是阶可逆矩阵，证明矩阵方程只有零解.例18：（1）设是阶方阵，且，证明：（2）设是阶方阵，且，证明：例19：已知，为三阶非零矩阵，且，则（ ）()时，的秩必为1；()时，的秩必为2；()时，的秩必为1；()时，的秩必为2.例20：设是矩阵，是矩阵，其中，若，证明的列向量线性无关.例21：求阶方阵的秩，其中例22：求设是和阶方阵， ，且，又行列式，求证：.例23：设是矩阵，是矩阵，并且，证明：例24：设维列向量组线性无关，向量组可用线性表示，表示矩阵为，证明：（1）（2）当时，有 线性无关是可逆矩阵.例25：设为三维列向量,矩

4、阵 , 其中分别是的转置.证明: 秩 (2) 若线性相关,则秩（2008年数学一） 例26：设均为2阶方阵，分别为的伴随矩阵,若,则分块矩阵的伴随矩阵为 (答案: B) （2009年数学一、二、三） 向 量例1：设向量组线性无关，证明向量组，也线性无关.例2：设向量组线性无关，讨论向量组，的线性相关性.例3：设向量组线性无关，向量组线性相关，则向量可由向量组线性表示.例4：设向量，为阶矩阵，如，则线性无关.例5：设为阶矩阵，证明例6：设向量组线性相关，向量组线性无关，问（1）能否由线性表示？（2）能否由线性表示？例7：设向量组线性无关，向量可由它线性表示，向量不能由它线性表示，证明个向量线性无

5、关.例8：设向量组与向量组的秩相同，且向量组可由向量组线性表示，证明与等价.例9：设为阶矩阵，是一组维向量，满足，并且，证明向量组线性无关.例10：设是线性无关的5维向量组，也是5维向量组，满足。证明线性相关.例11：如果与是两个线性无关的维向量组，并且每个与都正交，证明向量组线性无关.例12：设有向量组，求该向量组的秩及极大线性无关组，并用极大无关组来表示组中诸向量.例15：设讨论当为何值时，（I）不能由线性表示；（II）可由惟一地线性表示，并求出表示式；（III）可由线性表示，但表示式不惟一，并求出表示式.（2004年数学三） 线性方程组例1：已知三阶矩阵，且的每一个列向量都是以下方程组的

6、解（1）求的值；（2）证明例2：设向量组是齐次方程组的一个基础解系，向量不是方程组的解，即。试证明向量组，线性无关.例3：设阶矩阵的行列式，且有一个代数余子式，证明：线性方程组的所有解为，为任意常数.例4：设是齐次方程组的一个基础解系，其中为实常数。试问满足什么关系时，也是方程组的一个基础解系.例5：设，且又已知齐次方程组的基础解系就是，求齐次线性方程组的基础解系，并说明理由.例6：设证明：如果的解全是方程的解，则向量可由向量组线性表出.例7：已知四元两个方程的线性方程组的基础解系为，求原方程组.例8：已知线性方程组讨论参数取何值时，方程组有解、无解；当有解时，试用其导出组的基础解系表示通解.

7、例9：已知及（1）取何值时，不能表示成的线性组合？（2）取何值时，有的惟一的线性表示式？并写出该表示式.例10：已知下列非齐次线性方程组（1） 求解方程组（）；用其导出组的基础解系表示通解.（2） 当方程组（）中的参数为何值时，方程组（）与（）同解.例11：已知四阶矩阵，均为4维列向量，其中线性无关，如果，求线性方程组的通解.例12：若线性方程组对任何维列向量均有解，则对于任何维列向量，方程组必有唯一解，其中是的伴随矩阵.例13：设有向量组（）和向量组（）。试问：当取何值时，向量组（）与（）等价？当取何值时，向量组（）与（）不等价？例14：已知三阶矩阵的第一行是，不全为零，矩阵（为常数），且，

8、求线性方程组的通解.（2005年数学一）例15：确定常数，使向量组，可由向量组，线性表示，但向量组，不能由向量组，线性表示.（2005年数学二） 例16：已知齐次线性方程组和同解，求的值. （2005年数学三） 例17：设, 求满足的所有向量;（）对中的任意向量,证明,线性无关.（2009年数学一、二、三）例18：设有向量组不能由向量组线性表示.（）求的值；（）将，用，线性表示. （2011年数学一、二、三）例19：设 四阶矩阵，是的伴随矩阵. 若是方程组的基础解系, 则的基础解系可为(答案: () （2011年数学一、二） 矩阵的特征值与特征向量例1：假定阶矩阵的任意一行的个元素之和都是，试

9、证是的特征值，且是的属于的特征向量。当时，又问此时的行和为多少？例2：设矩阵，又，又有一个特征值，属于的一个特征向量为，求的值.例3：设向量，都是非零向量，且满足条件，求（1）；（2）矩阵的特征值与特征向量；（3）问相似与对角矩阵吗？例4：设矩阵与矩阵相似，其中（1） 求的值；（2） 求可逆矩阵，使得例5：设有3个线性无关的特征向量，求应满足的条件.例6：已知是的一个特征向量，（1） 试确定参数及特征向量所对应的特征值；（2） 相似与对角矩阵吗？说明理由.例7：已知是实对称矩阵的三个特征值，且对应于的特征向量为求对应于的特征向量及矩阵.例8：若任一维非零列向量都是阶矩阵的特征向量，证明是一个数

10、量矩阵.例9：如果阶矩阵满足其中，证明可以对角化.例10：设三阶实对称矩阵的秩为2，已知是的二重特征值，若 都是的属于特征值的特征向量.（1）求的另一个特征值和对应的特征向量；（2）求矩阵.例11：设矩阵 ，求的特征值与特征向量，其中为的伴随矩阵.例12：设是矩阵的两个不同的特征值，对应的特征向量为，则线性无关的充分必要条件是（2005年数学三）例13：设矩阵的特征方程有一个二重根，求的值，并讨论是否可以相似对角化. （2004年数学一）例14：设3阶实对称矩阵的特征值，且是的属于的一个特征向量.记,其中为三阶单位矩阵.（）验证是矩阵的特征向量，并求的全部特征值与特征向量.（）求矩阵. （20

11、07年数学一、二、三、四）例15：设为3阶矩阵, 为的分别属于特征值特征向量,向量满足.（）证明线性无关.（）令,求. （2008年数学二、三）例16：设为3阶实对称矩阵，的秩为2，且（I）求的所有特征值与特征向量；（II）求矩阵 （2011年数学一、二、三） 二次型例1：设二次型经正交变换化成其中为三维列向量，是正交矩阵.试求常数.例2：设为实矩阵，试证当时，矩阵为正定矩阵.例3：设为实矩阵，试证明（1） 矩阵非奇异；（2） 矩阵为对称正定矩阵.例4：设实对称矩阵为正定矩阵，证明存在可逆矩阵，使.例5：如果为阶正定矩阵，为阶实对称矩阵，证明：（1） 存在可逆矩阵，使得和都是对角矩阵；（2） 当充分小时，仍是正定矩阵. 例6：已知二次型的秩为2。 （I）求的值； （II）求正交变换，把化成标准形；（III）求方程的解.（2005年数学一）例7：设为正定矩阵，其中分别为阶，阶对称句矩阵，为矩阵.（I）计算，其中 （II）利用（I）的结果判断矩阵是否为正定矩阵，并证明你的结论. 例8：设二次型（I）求二次型的矩阵的所有特征值; （II）二次型的规范形为,求的值.