参赛教案(东芝杯).doc

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1、Four short words sum up what has lifted most successful individuals above the crowd: a little bit more.-author-date参赛教案(东芝杯)平方差公式的教学设计东芝杯中国师范大学师范专业理科大学生教学技能创新实践大赛参 赛 教 案 选用教材：普通高中课程标准实验教科书 数学 选修2-3（人教A版）第29-31页授课对象：高中二年级学生参赛选手：*选手专业：数学与应用数学（师范）指导教师：*教育不在于使人知其所未知， 而在于按其所未行而行。【主题】 二项式定理的发现【教材内容】 1.3.1

2、二项式定理【教学对象】 高中二年级学生【教学目标】 知识与技能：识记二项式定理，能够正确写出简单情况下的二项式的展开式；掌握二项展开式的特征（项数，结构，系数等）；了解二项展开式系数的几何排列规律（杨辉三角）；理解二项式定理是乘法公式的推广。 过程与方法：经历二项式定理的发现过程，掌握特殊化的分析方法，发展观察、归纳、猜想的能力，发展数学交流的能力，发展抽象概括的数学思维能力，掌握二项式展开的基本方法，领悟从特殊到一般、从具体到抽象的数学思想方法。 情感态度价值观：积极参与二项式定理的发现过程，养成独立思考、合作探究、数学表达的学习习惯，体验发现的乐趣，享受成功的喜悦。欣赏二项式定理内在的结构

3、之美，体验杨辉三角独特的文化魅力，增强民族自豪感。【教学重点】分析的展开式，归纳得出二项式定理。了解二项展开式的通项公式以及二项式系数的性质。【教学难点】根据展开式的特征，得出展开式猜想。【教学过程设计】一、设计理念观察归纳形成猜想引导探究数学交流创设情境问题驱动理念之一：基于情境的数学认知。情境是认知的基础，一个“好”的情境能够引致有意义的数学学习。在情境中认知，对情境中的新信息进行意义建构，并超越具体的情境，理解情境所蕴含的数学知识。在学生感兴趣的情境中提出问题，不仅能够满足学生的探究欲望，而且能够培养学生的数学思考能力。思起于疑，通过问题驱动学生的思维，才能使得学生学得更主动，学得更扎实

4、，在数学学习过程中有更多的发现、更多的收获。理念之三：突出数学的思想方法。数学教学要让学生掌握所学的知识内容，形成一定的数学能力，也要让学生掌握、领会数学的思想方法。在直观感知、观察发现、归纳类比、抽象概括、符号表示、反思建构等思维过程中，学会分析数学问题的方式方法，形成并掌握解决数学的策略，不断优化问题解决的过程，让学生具有一个善于思考的“数学头脑”，一双善于发现的“数学眼睛”，不断提高数学认知水平，提升数学思维层次。理念之二：关注过程的教学策略。形式化是数学的重要特征。教学的重要任务应该把数学的学术形态转化为教育形态，在“火热的思考”之中欣赏数学知识“冰凉的美丽”，领悟数学知识的本质。在教

5、学活动中，教师应该引导学生探究知识产生、形成与发展的过程，探究问题解决的策略与方式。在数学交流中组织各种观念，优化思维品质，提高思维能力，掌握并理解所学知识，并促进数学参与的意识，丰富数学学习的情感体验。二、教学过程教学环节教 学 任 务教师行为学生活动媒体呈现（一）创设情境，问题驱动1.从棋之魂到棋之旅（40秒）问题1 从O点出发沿着棋盘网格，一格一格走，到达A点共有几种走法？游戏规则：只能向上走或向右走！图1激发兴趣引入课题欣赏棋之魂思考棋之 旅PPT展示幻灯 片1设计意图：创设情境，让学生欣赏棋之魂，吸引学生的注意力，并借助棋盘自然引出问题1，激发学生的学习兴趣，启动学生的数学思考。2.

6、把复杂问题简单化（1分10秒）问题2 如图，从O点出发，到达N点共有几种走法？（只能向上走或向右走）、 图2引 导学 生体 会复 杂问 题简 单化 的数 学思 维策 略掌握解决数学问题的一种方法以退 求进PPT展示棋旅问题2设计意图：从问题1过渡到问题2，引导学生将复杂问题简单化，理解处理该类问题的基本策略：特殊 一般。（二）引导探究，数学交流3.合作学习，填一填（2分40秒）如图2，从O出发走到N，如果只能向上走或向右走，把具体的走法路线以及相应的走法数填入下表：表1教师巡视学生填表情况辅导学生按照要求完成表格小组合 作共 同探究从O到 N的行走路线 以及相应的方法数并完成表格PPT展示表格

7、内容设计意图：生生合作，培养学生独立思考以及沟通、协作的能力。4.师生交流，议一议（50秒）如图2，从O出发走到N（只能向上走或向右走），则具体的走法路线以及相应的走法数分别是：表2引导学生寻找具体的行走路线计算相应的走法数汇报表格完成的情况PPT展示具体的行走路线及相应的走法数设计意图：师生互动交流，加深对所得结果的直观感受，让学生体会到成功的喜悦，为后面的数学探究奠定良好的心理基础。5.寻找规律，想一想（55秒）问题3 如图3，其中行与行的数字之间有怎样的内在联系？ 结论：中间交叉点的数字等于上面两个交叉点数字之和。 图3把图2 旋转90度提出问题3引导得出 结论探索规律汇报结果PPT展示

8、图3设计意图：寻找规律，引出数字在三角形中的几何排列，为后面介绍杨辉三角的预埋伏笔。（三）观察归纳，形成猜想6.联系旧知，算一算（1分20秒）问题4 图中的数字能否用组合数表示出来？ 图4（a） 图4（b）结论：左图中的数字都可以用右图中的组合数表示。启发学生计算计算PPT展示联系图设计意图：引导学生利用所学知识组合数来表示图4（a）中的数字，为顺利过渡到用组合数表示乘法公式中的系数搭建一个沟通的桥梁。7.复习公式，说一说（50秒）初中学过的乘法公式，可以表示为：表示出二项式定理（n=1,2,3）初步感知特殊情况下的二项式定理PPT展示三个乘法公式设计意图：将乘法公式的系数用对应的组合数表示出

9、来，为学生观察、归纳、猜想二项式定理的一般结构奠定认知基础。8.观察思考，议一议（2分30秒）问题5 观察下列展开式，它们具有怎样的共同规律？师生共同归纳出：1） 结构特征：共n+1项，各项都是的形式；2）系数特征：3）次数特征： a的次数由n依次递减到0（降幂）；b的次数由0依次递增到n（升幂），而且a与b的次数和为n。启发学生思考展开式中项的结构系数与次数的特征自主探究互动交流PPT展示乘法公式的展开式设计意图：观察并归纳出展开式的共同规律，有助于学生形成合理的猜想。（三）观察归纳，形成猜想9.从特殊到一般，形成猜想（2分30秒）问题6 猜想结论：这个公式所表示的定理叫二项式定理，右边的多

10、项式叫的二项展开式。它有项，各项的系数叫二项式系数。叫二项展开式的通项，用表示，即通项。说明：展开式中的是由个中选，个中选得到的。由于选定后，的选法也随之确定，因此出现的次数相当于从个中取个的组合数。其实，在棋盘问题1中，要考察走到棋盘某点的走法数，就要知道按规则需向右走几步，向上走几步。假设向右走用表示，向上走用表示，那么前面的系数也就是走到棋盘第列、第行的走法数。鼓励学生大胆猜想然后解释说明交流猜想结果理解二项式定理PPT展示二项式定理等内容设计意图：采取说理的方式说明猜想的合理性，并结合情境问题进行解释，通俗易懂。同时，帮助学生超越具体的情境，形成对猜想结论的新的理解。10.渗透数学史，

11、寓教于学（35秒）南宋数学家杨辉1261年就给出了二项式系数的几何排列规律（即杨辉三角），它的发现比欧洲数学家帕斯卡(B.Pascal,1623-1662)的发现要早五百年左右。中国古代数学史曾经有自己光辉灿烂的篇章，而杨辉三角就是十分精彩的一页。介绍杨辉三角体验数学文化PPT展示杨辉三角设计意图：结合二项式定理介绍“杨辉三角”，对学生进行进行爱国主义教育，激励学生的民族自豪感。三、设计说明在多项式的运算中，把二项式展开成单项式之和的公式，即二项式定理有着非常重要的地位，它是带领我们进入微积分学领域大门的一把金钥匙。将本小节内容安排在计数原理之后来学习，一方面表明的展开式与分类加法计数原理、分

12、步乘法计数原理以及排列、组合的知识具有密切的联系，同时它的证明要用到计数原理，可以把它作为计数原理的一个应用；另一方面也为下一章进一步学习随机变量及其分布作准备。另外，由于二项式系数是一些特殊的组合数，在推导出二项式定理的过程中，也可以深化学生对组合数的认识，体会其本质。总之，二项式定理是综合性较强的、具有联系不同内容作用的知识。二项式定理研究的是的展开式。教科书设计了如下过程：（1）将二项式的展开式与“计数问题”联系在一起是不容易的，因此教科书首先采用合情推理的方法，在“探究”中提出如何利用两个计数原理得出的展开式问题；（2）详细写出用多项式乘法法则得到展开式的过程，并从两个计数原理的角度对

13、展开式进行分析，概括出系数以及项的形式。用组合知识分析展开式中具有同一形式的项的个数，从而得到用组合数表示的的展开式；（3）让学生模仿上述过程推导的展开式；并在此基础上，得出关于的展开式的猜想，最后给出说理性的证明。在上述过程中，第（2）步是关键，并且也是难点。其中，既要利用计数原理分析二项式的展开过程，也要发现二项式展开成单项式之和时各项系数的规律。课程标准要求，二项式定理的教学应通过揭示二项式定理是代数中乘法公式的推广，了解二项式定理的推导过程，理解从特殊到一般的思维方法，培养学生的观察归纳能力、抽象思维能力和逻辑思维能力，这挑战高中生的智力水平。为此，本片段搭建了一个“脚手架”：棋盘问题。由于该问题的解答结果就是二项式系数，且与杨辉三角内在一致，借助路线图的直观操作，巧妙设置问题，把有关的知识内容联系起来，既有助于学生的数学思维在问题引导下不断深入，从具体到一般，从直观到抽象，也让学生在解决问题的过程中感受发现的乐趣，体验数学的魅力。-