利用画图策略培养学生解决数学问题的能力(学习资料)(1).doc

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1、利用画图策略培养学生解决数学问题的能力 根据观察，我发现我们小学数学，五年制改六年制后，按原来的年级来说，因为学生年龄偏小，他们的解题能力差了；新教材出台后，教材体系做了大幅度的调整，各块知识如蜻蜓点水，很快地点了一下就过了，所有的问题都需要学生有很强地理解能力才能完成，再说现在的小朋友惰性严重，懒于思考，遇到一点困难，就懒得去做。面对现实我们该怎么做？下面我就自己平时的做法再结合人家的一些经验谈谈初浅看法。数学新课标指出：要使学生面对实际问题时，能主动尝试着从数学的角度运用所学知识和方法寻求解决问题的策略。在小学数学中，解决问题的策略有很多，如实际操作、找规律、整理数据、列方程等等，其中画图

2、策略应该是学生解决问题的一种很基本也很重要的策略。它是通过各种图形帮助学生把抽象问题具体化、直观化，从而使学生能从图中理解题意和分析数量关系，寻找到解决问题的突破口。很多数学问题，通过画画图，在画图的基础上找到具体的量或分率和它们所表示的意思，把抽象、模糊转化为直观、具体，题意和数量关系也就一目了然了。因此注重和利用画图策略来培养学生解决数学问题的能力显得尤为重要。 如何在教学中培养学生学会并利用画图策略从而提高解决数学问题的能力呢，我觉得从以下三方面入手。一、体验画图策略的优越性斯蒂恩说：“如果一个特定的问题可以转化为一个图像，那么就整体地把握了问题。”小学生的数学学习，正处在以形象思维为主

3、，向抽象思维过渡的阶段。许多数学问题多以文字叙述出现，纯文字的问题在语言表述上比较简洁，桔燥乏味，以至使他们常常读不懂题意。所以根据其年龄特点，让学生自己在纸上涂一涂、画一画，借助线段图或实物图把抽象的数学问题具体化，还原问题的本来面目，使学生读懂题意、理解题意，拓展学生解决问题的思路，帮助他们找到解决问题的关键，从而提高学生解决问题的能力。所以，在教学中教师要善于创设体验情境，让学生在思考的过程中产生画图的需要，在自己画图的活动中体会方法、感悟策略、发展思维、获得思想。如一年级上册有这样一些题目：（1）小朋友排队做操，小东的前面有5个人，小东的后面有10个人，这一排一共有几个人？（2）小朋友

4、排队做操，从前往后数小东是第5，从后往前数小东是第10，这一排一共有几个人？像这样一组题目，让一年级小朋友去解决的话，他们觉得这两道题是一样的，他们都会用10+5来计算，我们可以让他们用自己喜欢的图形或符号来画一画，看看自己算对了吗？ 从图中发现这两题都不对，第（1）题把小东自己丢了，而第（2）题把小东算了两次，而且像第（2）题有多种不同的算法。从而让她们觉得画图解决问题又方便又准确。最新的教材就用画图的方式来呈现，我觉得它就告诉我们在解决问题时画图是个好方法，我们从一年级开始就应该教她们用画图来帮助自己解决问题，提高解决问题的能力。很典型的六上数学广角“鸡兔同笼”：有8个头，26条腿，鸡、兔

5、各多少只？鸡兔同笼是一个让很多学生学习起来感到头疼的问题，如果运用画图策略叫二年级的学生来做，在老师的指导下也会非常容易理解，而且很感兴趣，画得得心应手，并且很快地解答出来。如：画图时，先引导学生把8个头全画上两只腿了或四只腿，发现少的或者多的那些腿是兔子或者鸡的，然后依次再添上去，学生有了这一发现后，然后到六年级依托画图法，再理解假设法中求鸡：（8426）（42）=3（只），为什么除以（42）的差就容易多了。又如六上百分数应用题：冬冬倒了一杯纯牛奶，先喝了50%，加满水后，又喝了50%，再加满水喝完，冬冬喝的牛奶多还是水多？这道题初看只有两个分率，显得很简单，但对于小学生来说，最不容易理解的

6、就是没有量只有分率的题目，感到非常抽象，更何况用算式来计算了。但如果提示学生试着可以通过画图或画表格来分别表示每次喝下的牛奶和水的分率，学生的兴趣一下子就来了，纷纷拿出纸来列列画画，慢慢地答案也就在画图中逐渐明朗了。学生们通过画实物图、示意图，画表格等多种方法来解答这道题 通过这样多种形式的图示，把三次喝的情况逐一展现，简洁明了地表示了每次喝后，牛奶与水所占的分率，非常的容易理解。特别是前两种，也富有趣味性，充分显示出儿童的无限想象力和创造力。兴趣是最好的老师。通过利用小学生喜欢画画，擅长画画的特点，激发他们的兴趣，让他们用自己喜爱的方式画图，原生态的图形，生动有趣，再现数量之间的关系，使数学

7、与图形结合，以画促思，最终可以化复杂为简单，化抽象为直观，能更好地寻找问题的答案，同时，让他们在尝试中体会到用图解题的快乐，体验用画图法解题带来的成功感和价值感。二、掌握画图策略的多样性。“形成解决问题的一些基本策略，体验解决问题策略的多样性，发展实践能力和创新精神”是数学课程标准确定的课程目标之一。“受之于鱼不如授之于渔。”教学生解题还不如教他们解题的方法。希望学生能运用画图的策略来解决问题，首先要教会他们如何来画图，并选择合理的画图方式来解题。画图的形式除了大家熟悉的线段图、平面图、立体图 、集合图、统计图，还包括学生运用自己的方式给出的图形表征，如实物图、示意图等。（一）线段图：它能够把

8、抽象的问题具体化，是一种半抽象半具体的图，尤其在分数百分数应用题中特别突显它的优势。例如：六上P17例1：据统计，2003年世界人均耕地面积为2500平方米，我国人均耕地面积仅占世界人均耕地面积的2/5，我国人均耕地面积是多少平方米？引导学生作图分析：先找到单位“1”世界人均耕地面积，用线段表示出来。再从“我国人均耕地面积仅占世界人均耕地面积的2/5”可画出我国人均耕地面积的线段。如左上图。 这是学生第一次接触分数应用题，对于分率比较抽象难理解，但通过画图就能很快找到量与率的对应关系，从而正确理解题意，求我国人均耕地面积就是求世界人均耕地面积的2/5，也就是求2500平方米的2/5，所以用乘法

9、计算，算式是：25002/51000平方米。线段图是所有图示法中最常用也最实效的一种画图方法，它具有直观性、形象性、实用性。特别在解决倍数应用题、分数、百分数应用题中作用非常明显。如果学生从小掌握了用线段图辅助解题的方法，分析问题和解决问题的能力将会有大大的提高，对今后的学习生活将有很大的帮助。这种画图策略从低年级就应该开始培养。（二）集合图：集合图能够体现数学的思想及方法。例如：三下数学广角的重叠问题，三（1）班有14人参加兴趣活动小组，参加语文小组的有8人，参加数学小组的有9人，同时参加两个小组的有多少人？如果用画集合图的方法，问题就迎刃而解了。如下图： 通过画图，学生就会发现图中重叠部分

10、就表示同时参加两个小组的人，即8914=5（人）。还有五年级下册找公因数和公倍数也用画集合图的方法显而易见。（三）示意图：在解决问题的过程中，学生也会根据自己的经验，画出一些简单的示意图来解决问题。我觉得这是最原始的画图策略，从开始学数学就能用到。又如上面排队中的问题：小朋友排队做操，从前往后数小东是第5，从后往前数小东是第10，这一排一共有几个人？ 算式：6+5-1=10（个） 小东 学生根据自己的喜好，用不同的图形来代表小朋友，通过画示意图，简单明了地看出两种数法中小明重复数了一次，所以最后要减1求出总人数，而且根据图示可以用多种不同的式子来计算。又如：花店有58枝菊花、65枝百合、81枝

11、玫瑰花，,如果7枝菊花、8枝百合、9枝玫瑰花扎成一束，这些花最多扎几束这样的花束？这样的题目学生理解上有一定的难度，r如果让她们借助画图法帮助学生理解。首先，根据算式画图。587=8（束）2（枝）658=8（束）1(枝）819=9（束）画完图后，让学生根据提意，把7枝菊花、8枝百合、9枝玫瑰花扎成一束，选择完一组后，可以用斜杠划掉，再继续按照要求扎第二束知道最后没有符合要求的为止。或者可以用下面的图示表示:数一数符合要求的圈上大圈，每一个大圈就表示一束，一束中包含有三种花（7枝菊花、8枝百合、9枝玫瑰花），一共可以扎8束。最后，在图示的基础上，理解利用算式解答的方法。三、体会画图策略的广泛性学

12、生对画图有了兴趣，并初步掌握了画图的方法时，要真正做到培养学生运用画图策略解决问题的能力，不是在加深问题的难度上下功夫，而是教师要有意识地找有代表性的又为学生容易接受的题目，重点培养学生的画图策略，使学生能够灵活运用画图策略，并产生迁移，遇到同类题目也能运用这样的画图方法来解决，甚至遇到一些未碰到过的题型，学生也能灵活运用合理的画图策略，经过自己的画图、分析从而找出解答的方法。因此教师要善于梳理教材内容，根据不同的学习内容，让学生灵活运用，并能对不同题型的问题解决时所运用的画图策略进行归纳，达到合理运用，灵活运用，举一反三，从而通过画图策略提高解决问题的能力。1、在解决一般应用题时运用画图策略

13、一些应用题，为了能正确审题和分析题目中的数量关系，可以把题目中的条件、问题的相互关系用分析图表示出来。如，新华中学买来 8张桌子和几把椅子，共花了 817.6元。每张桌子价 78.5元，比每把椅子贵 62.7元，买来椅子多少把？分析图：（l）买椅子共花多少钱？ 817.678.58189.6元）（2）每把椅子多少钱？ 78.562.715.8（元）（3）买来椅子多少把？189.615.812（把）综合算式为：（817.678.58）（78.562.7）2、在解决“倍数、分数（百分数）问题”时运用画图策略现在的小学生解决数学问题的能力相对比较薄弱，对题目的分析、概括能力能力比较低。特别如求倍数、

14、分数（百分数）等问题解决时，谁比谁的几倍多或少几，找分率及对应量，学生往往很难理解题意，分析数量关系，解答时也最容易出错。如“比一个数的几倍多几或少几求这个数”的题目：红花有60朵，比黄花的3倍少9朵，黄花有多少朵？学生的错误解法有：6039；6039；6039。而为什么用（609）3列式，学生很难理解。所以这时配合线段图来加以分析：从图上清楚地看出，黄花是一倍数，60朵红花还不到黄花的3倍，比黄花的3倍少6朵。60朵加上9朵正好是黄花的3倍，所以算式是：（609）3。然后再把这题变式，红花有60朵，比黄花的3倍多9朵，黄花有多少朵？通过线段图，发现（60-9）朵正好是黄花的3倍，所以求黄花的

15、算式是：（60-9）3。再联系两幅线段图，比较它们的异同，得到这类题目求一倍数的方法，这样就远比单纯地看题分析解题思路理解要容易。 又如：一辆汽车从甲地开往乙地，已经行了20千米，这时距离中间还有1/6，这条路全程多少千米？这是一道分数应用题，这类题的特点是先找单位“1”，然后找到量和量所对应的分率。但学生对于稍复杂的题目在理解上有困难，总是找不到量和量所对应的分率，如这道题学生通常列的算式是：20（1-1/6）或20（1-1/2-1/6）。第一种算式错在把距离中间还有1/6理解成总路程还剩1/6。第二种算式太复杂。怎样让学生更明白题意，找到正确的数量关系呢，于是可以通过线段图来进行来分析。从

16、线段图中可以清晰地看出20所对应的分率不是1-1/6。但对于第二种解法来说，还有更简单的列法。因为中点的分率可以看作1/2，那么20千米所对应的分率也可以看作1/2-16，这样更加简便。一些题目条件多，条件之间关系复杂，一时难以解答。可画线段图表示，寻求解题的突破口。 如，光明小学六年级毕业生比全校总人数的还多3O人。新学期一年级新生人学36O人，这样现在比原全校总人数增加了。求原来全校学生有多少人？ 从图中可以清楚看出，（36030）人与全校人数的（）相对应，求全校人数用除法计算。列式为：（36030）（）330900（人）。 所以在解决倍数、分数（百分数）应用题时，当题意和数量关系比较抽象

17、时，教师就要引导学生有意识地通过画线段图帮助理解题意，分析数量关系，化抽象为具体，这样就能化难为易，从而提高学生分析和解答问题的能力。3、在学习“图形与几何”时运用画图策略小学生处于形象思维向抽象思维过渡阶段，所以对于平面、立体图形的理解能力特别低。因此在教学中教师要经常以实物和图示相结合帮助学生理解题意，也更应该让学生在已有知识的基础上，主动画画草图，明确题意。（1）、平面图对于题目中条件比较抽象、不易直接根据所学知识写出答案的问题，可以借助画平面图帮助思考解题。如，把2个长6厘米，宽3厘米可以拼成怎样的图形，拼成的图形的周长是多少？如果不拼图或画图，学生基本会直接把两个周长加起来，如果她们

18、有画图的习惯，先把图画出来，并把拼成的图形的周长圈一遍，基本就不会出错了，再如，一个梯形下底是上底的1.5倍，上底延长4厘米后，这个梯形就变成一个面积为6O平方厘米的平行四边形。求原来梯形面积是多少平方厘米？根据题意画平面图：从图中可以看出：上、下底的差是4厘米，而这4厘米对应的正好是1.5lO.5倍。所以上底是4（1.51）8（厘米），下底是81.512（厘米），高是6O125（厘米），则原梯形的面积是（812）525O（平方厘米）。诸如这样的几何题还是比较多。如果不画图，就很容易错了。又如五年级上册很多几何题目通过画图能一目了然地显示出解题思路，画画草图就可以帮助学生提高解决问题的准确性。

19、 如：人教版六年级上册数学配套的作业本第34页，有这样一道题：一元硬币的直径为25，其中有一圈1mm宽的边。这一圈边的面积是多少平方毫米？（先看一看1元硬币，再想想怎么算，然后计算。） 这题设计的目的是让学生运用圆环面积的计算方法来解决实际问题，初看这题除了数据比较大（为了计算方便，我把25 mm改成了24mm），数量关系应该不难的。但学生的错误率却非常高，出乎我的意料，虽然学生对硬币很熟悉，但这题还是主要出错在两个圆的半径到底是多少，如出现R=24+1,或r=1，或者r=24-1=23。究其原因，说明对题意不理解。所以解答时再让学生看硬币，并要求画出草图，标上数据。 通过实物观察，再配以草图

20、和数据（见左上图），学生终于明白，原来24mm表示大圆的直径，而1 mm是环宽，所以R=242=12mm，r=12-1=11mm，这样圆环的面积计算就正确了。然后再和原来求小路面积的题目比较，（一个直径是4米的圆形花坛，在外面辅一条宽为1米的小路，求小路的面积）通过画图（见左下图） ，发现原来都是求圆环的面积，不同的是求小路面积已知的是小圆的直径，先求出小圆半径，再加上环宽求出大圆半径，而硬币已知的则是大圆的直径，先求出大圆的半径，再减去环宽求出小圆的半径。这样通过画图比较，学生就能清晰地看出两道题的不同，从而寻求正确的解法了。（2）、立体图一些求积题，结合题目的内容画出立体图，这样做，使题目

21、的内容直观、形象，有利于思考解题。如，包装中的问题:给3个长3厘米、宽2厘米、高1厘米的长方体礼品包装，你打算怎么包装，为什么？这就涉及到长方体的表面积的问题，单独包还简单，如果3个包在一起至少需要多少平方厘米包装纸，这个问就不那么简单了，如果没有画图或借助实物，学生就很简单地将单独包装的结果乘3，这显然是错了。所以我们还是提示学生按题意画立体图来表示，三个长方体拼成的大长方体有以下三种情况：（l）拼成长方体的长是236（厘米），宽3厘米，高1厘米。表面积为（636l3l）254（平方厘米）。（2）拼成长方体的长是339（厘米），宽2厘米，高1厘米。表面积为（929121）258（平方厘米）。

22、（3）拼成长方体的长是3厘米，宽是2厘米，高是133（厘米）。表面积为（323323）242（平方厘米）。这道题有以上三种答案，这三种不同的包装所需的包装纸与单独包装相差在哪里？怎么包装，纸最节省。通过画图就能很清楚的知道。同样如把一个正方体切成两个长方体，表面积就增加了8平方米。原来正方体的表面积是多少平方米？如果只凭想象，做起来比较困难。按照题意画图，可以帮助我们思考，找出解决问题的方法来。按题意画立体图：从图中不难看出，表面积增加了8平方米，实际上是增加 2个正方形的面，每个面的面积是824（平方米）。原正方体是6个面，即表面积为4624（平方米）。通过画图，看似很复杂的问题就变得很简单

23、了。4、在学习“数学广角”等独立内容运用画图策略教材上有些独立内容，如数学广角，基本没有前后知识的联系，题目比较抽象，都是课外学生在学的奥数类型的题目。学生在理解、解答上都有一定的困难。如上述提到的鸡兔同笼，排列组合、重叠问题，还有植树问题、合理安排等。因此教学这一块内容时，教师一定要引导学生画合理的示意图，借助示意图来帮助分析题意，寻找解答方法。如：五下P132打电话：我校合唱队共有15人，因紧急演出通知，老师需要尽快通知到每个队员，如果用打电话的方式，每分钟通知1人最短需几分钟？设计一个打电话的方案。初读这道题时，学生容易造成直觉思维，让教师依次给学生打电话，或者分组打。但到底如何打最省时

24、呢？学生思维受阻，想不出最好的办法，这时教师提醒，如何能让前面接到通知的学生不空闲，也马上通知别人呢？于是让学生能过画图法尝试。这样通过讨论，画图，学生画出了很多种图示法，如：（不同的平面图形代表不同分钟时接到通知的学生，线上的数表示第几分钟）通过这样一幅简单的示意图，能够非常清楚地看出每一分钟接到通知的学生，以及所花的时间和共接到通知的学生人数。借助这个示意图，远远比纯文字的叙述要简单明了。这样的示意图在数学广角合理安排、找次品、植树问题等题目的解答也非常有用。我们要善于引导学生归纳解决这类题的画图策略，灵活运用。 从以上各例题中可看出：解决问题时根据题中的内容画图，把题的条件、问题在图上标明，这样有助于我们正确审题，理解题意，起到了化繁为简、化难为易的作用。“画图”是帮助解题的好方法，我们不妨在解题中广泛使用。12