一元二次方程的正整数解拔高题.doc

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1、Four short words sum up what has lifted most successful individuals above the crowd: a little bit more.-author-date一元二次方程的正整数解拔高题一元二次方程的正整数解拔高题训练专题三一元二次方程的整数解一、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）1（5分）若关于x的方程（6k）（9k）x2（11715k）x+54=0的解都是整数，则符合条件的整数时k的值有_个2（5分）已知关于x的方程（a1）x2+2xa1=0的根都是一整数，那么符合条件的整数a有_个3（5分）已知方程x2199

2、9x+m=0有两个质数解，则m=_4（5分）给出四个命题：整系数方程ax2+bx+c=0（a0）中，若为一个完全平方数，则方程必有有理根；整系数方程ax2+bx+c=0（a0）中，若方程有有理数根，则为完全平方数；无理数系数方程ax2+bx+c=0（a0）的根只能是无理数；若a、b、c均为奇数，则方程ax2+bx+c=0没有有理数根，其中真命题是_5（5分）已知关于x的一元二次方程x2+（2a1）x+a2=0（a为整数）的两个实数根是x1、x2，则=_二、选择题（共1小题，每小题4分，满分4分）6（4分）已知a，b为质数且是方程x213x+c=0的根，那么的值是（）ABCD三、解答题（共12小

3、题，满分91分）7（8分）试确定一切有理数r，使得关于x的方程rx2+（r+2）x+r1=0有根且只有整数根8（8分）当m为整数时，关于x的方程（2m1）x2（2m+1）x+1=0是否有有理根？如果有，求出m的值；如果没有，请说明理由9（8分）若关于x的方程ax22（a3）x+（a13）=0至少有一个整数根，求非负整数a的值10（8分）设m为整数，且4m40，方程x22（2m3）x+4m214m+8=0有两个不相等的整数根，求m的值及方程的根11（7分）已知关于x的方程a2x2（3a28a）x+2a213a+15=0（其中a是非负整数）至少有一个整数根，求a的值12（6分）求使关于x的方程kx

4、2+（k+1）x+（k1）=0的根都是整数的k值13（6分）当n为正整数时，关于x的方程2x28nx+10xn2+35n76=0的两根均为质数，试解此方程14（6分）设关于x的二次方程（k26k+8）x2+（2k26k4）x+k2=4的两根都是整数求满足条件的所有实数k的值15（6分）已知a是正整数，且使得关于x的一元二次方程ax2+2（2a1）x+4（a3）=0至少有一个整数根，求a的值16（6分）已知p为质数，使二次方程x22px+p25p1=0的两根都是整数，求出p的所有可能值17（12分）已知方程x2+bx+c=0与x2+cx+b=0各有两个整数根x1，x2，和x1，x2，且x1x20

5、，x1x20（1）求证：x10，x20，x10，x20；（2）求证：b1cb+1；（3）求b，c的所有可能的值18（10分）如果直角三角形的两条直角边都是整数，且是方程mx22xm+1=0的根（m为整数），这样的直角三角形是否存在？若存在，求出满足条件的所有三角形的三边长；若不存在，请说明理由新课标九年级数学竞赛培训第05讲：一元二次方程的整数解参考答案与试题解析一、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）1（5分）若关于x的方程（6k）（9k）x2（11715k）x+54=0的解都是整数，则符合条件的整数时k的值有5个考点：一元二次方程的整数根与有理根。1350138专题：计算题；分类讨论

6、。分析：用因式分解法可得到根的简单表达式，因方程的类型未指明，故须按一次方程、二次方程两种情形讨论，这样确定的值才能全面而准确解答：解：当6k=0，即k=6时，则原方程为（117156）x+54=0，解得x=2；当9k=0，即k=9时，则原方程为（117159）x+54=0，解得x=3；当6k0、9k0时，即k6且k9时，x1=，x2=；当6k=1，3，9时，x是整数，此时k=7、5、3、15、3；当9k=1、2、3、6时，x是整数，此时k=10、8、11、7、12、15、3综合知，k=3、15、6、7、9时，原方程的解为整数故答案为：5点评：本题主要考查了一元二次方程的整数根与有理根在解答此

7、类题目时，系数含参数的方程问题，在没有指明是二次方程时，要注意有可能是一次方程，根据问题的题设条件，看是否要分类讨论6（5分）已知关于x的方程（a1）x2+2xa1=0的根都是一整数，那么符合条件的整数a有5个考点：一元二次方程的整数根与有理根。1350138分析：首先利用当a=1时，得到一个一元一次方程，直接得出根，当a1，把x=1，代入方程，得出a的取值解答：解：当a=1时，x=1；当a1时，易知x=1是方程的一个整数根，再由1+x=且x是整数，知1a=1或2，a=1，0，2，3；由、得符合条件的整数a有5个故填：5点评：此题主要考查了方程整数解的求法，从特殊解入手求解，比较简单7（5分）

8、已知方程x21999x+m=0有两个质数解，则m=3994考点：质数与合数；解一元二次方程-因式分解法。1350138专题：探究型。分析：先设出方程的两根，再根据根与系数的关系得出两根之和，再根据1999是奇数得出必有一根为2，求出方程的另一根，再根据方程根与系数的关系即可求出m的值解答：解：设方程x21999x+m=0的两根分别为x1、x2，由一元二次方程根与系数的关系得，x1+x2=1999，1999是奇数，又x1、x2是质数，x1、x2必有一个等于2，设x1=2，则x2=1997，x1x2=21997=m，m=3994故答案为：3994点评：本题考查的是质数与合数的概念、一元二次方程根与

9、系数的关系，熟知2既是偶数又是质数的知识是解答此题的关键8（5分）给出四个命题：整系数方程ax2+bx+c=0（a0）中，若为一个完全平方数，则方程必有有理根；整系数方程ax2+bx+c=0（a0）中，若方程有有理数根，则为完全平方数；无理数系数方程ax2+bx+c=0（a0）的根只能是无理数；若a、b、c均为奇数，则方程ax2+bx+c=0没有有理数根，其中真命题是考点：一元二次方程的整数根与有理根；命题与定理。1350138分析：运用一元二次方程求根公式，以及根的判别式与完全平方数可知，正确，利用数据的奇偶性得出方程根的情况解答：解：整系数方程ax2+bx+c=0（a0）中，若为一个完全平

10、方数，则方程必有有理根；方程的根为x=，只有为一个完全平方数，x才是有理数，所以方程必有有理根故：正确；整系数方程ax2+bx+c=0（a0）中，若方程有有理数根，则为完全平方数；方程的根为x=，方程若有有理根，只有能够开完全平方，方程有有理数根故：正确；无理数系数方程ax2+bx+c=0（a0）的根只能是无理数；方程的根为x=，若方程的根是有理数，则2a与是同类二次根式，当a=，即a2=b24ac，a（a+4c）=b2，当a=b=，c=值时，又因为a，b也应是同类二次根式，出现矛盾，此时原方程它的根是无理根；故：正确证明：设方程有一个有理数根（m，n是互质的整数）那么a（）2+b（）+c=0

11、，即an2+bmn+cm2=0把m，n按奇数、偶数分类讨论，m，n互质，不可能同为偶数当m，n同为奇数时，则an2+bmn+cm62是奇数+奇数+奇数=奇数0；当m为奇数，n为偶数时，an2+bmn+cm2是偶数+偶数+奇数=奇数0；当m为偶数，n为奇数时，an2+bmn+cm2是奇数+偶数+偶数=奇数0综上所述 不论m，n取什么整数，等式a（）2+b（）+c=0都不成立即假设方程有一个有理数根是不成立的当a，b，c都是奇数时，方程ax2+bx+c=0（a0）没有有理数根故：正确故填：点评：此题主要考查了一元二次方程整数根的求法以及完全平方数和数据的奇偶性，题目难度不大9（5分）已知关于x的一

12、元二次方程x2+（2a1）x+a2=0（a为整数）的两个实数根是x1、x2，则=1考点：根与系数的关系。1350138专题：综合题。分析：因为原方程又两个实数根，那么根据根的判别式=b24ac，可求出a的取值范围a，而a为整数，那么就有a0，再根据根与系数的关系可得x1+x2=12a，x1x2=a2，所求的式子直接求不好求，就求它的平方，展开后，再把代入，计算即可解答：解：根据题意得x1+x2=12a，x1x2=a2，且=b24ac=4a+10，即a，又a为整数，a0，又（）2=x1+x22=12a2，而a0，（）2=12a2（a）=1，=1故答案为：1点评：本题综合考查了根的判别式和根与系数

13、的关系，在解不等式时一定要注意数值的正负与不等号的变化关系二、选择题（共1小题，每小题4分，满分4分）2（4分）已知a，b为质数且是方程x213x+c=0的根，那么的值是（）ABCD考点：根与系数的关系。1350138专题：计算题。分析：由韦达定理得出关于a，b的关系式，结合质数性质求出a、b、c的值即可解答：解：a，b是方程x213x+c=0的根，a+b=13，ab=c，又a，b为质数，a=2，b=11或a=11，b=2，c=22，=+=故选B点评：本题考查了根与系数的关系，属于基础题，关键是根据a，b为质数直接得出a，b的值三、解答题（共12小题，满分91分）3（8分）试确定一切有理数r，

14、使得关于x的方程rx2+（r+2）x+r1=0有根且只有整数根考点：一元二次方程的整数根与有理根。1350138分析：由于方程的类型未确定，所以应分类讨论当r0时，由根与系数关系得到关于r的两个等式，消去r，利用因式（数）分解先求出方程两整数根解答：解：（1）若r=0，x=，原方程无整数根；（2）当r0时，x1+x2=，x1x2=；消去r得：4x1x22（x1+x2）+1=7，即（2x11）（2x21）=7，7=17=（1）（7），解得，14=，解得r=；，解得；同理得：r=，解得，r=1，解得，r=1使得关于x的方程rx2+（r+2）x+r1=0有根且只有整数根的r值是或1点评：本题主要考查

15、了一元二次方程的整数根与有理根在解答此题时，利用了一元二次方程的根与系数的关系4（8分）当m为整数时，关于x的方程（2m1）x2（2m+1）x+1=0是否有有理根？如果有，求出m的值；如果没有，请说明理由考点：根的判别式。1350138分析：先计算出并且设=（2m+1）24（2m1）=4m24m+5=（2m1）2+4=n2（n为整数），整系数方程有有理根的条件是为完全平方数解不定方程，讨论m的存在性变形为（2m1）2n2=4，（2m1n）（2m1+n）=4，利用m，n都为整数进行讨论即可解答：解：当m为整数时，关于x的方程（2m1）x2（2m+1）x+1=0没有有理根理由如下：当m为整数时，假

16、设关于x的方程（2m1）x2（2m+1）x+1=0有有理根，则要=b24ac为完全平方数，而=（2m+1）24（2m1）=4m24m+5=（2m1）2+4，设=n2（n为整数），即（2m1）2+4=n2（n为整数），所以有（2m1n）（2m1+n）=4，2m1与n的奇偶性相同，并且m、n都是整数，所以或，解得m=或m=（都不合题意舍去）2m1=0时，m=（不合题意舍去）所以当m为整数时，关于x的方程（2m1）x2（2m+1）x+1=0没有有理根点评：考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）根的判别式为=b24ac=b24ac为完全平方数是方程的根为有理数的充要条件同时考查了不定方程特殊解

17、的求法5（8分）若关于x的方程ax22（a3）x+（a13）=0至少有一个整数根，求非负整数a的值考点：一元二次方程的整数根与有理根。1350138分析：因为根的表示式复杂，从韦达定理得出的a的两个关系式中消去a也较困难，又因a的次数低于x的次数，故可将原方程变形为关于a的一次方程解答：解：a=1解得：6x2且x1，x=6，5，4，3，2，1，0，2分别代入式得：a=1，13，1因为分数不合题意舍去，故a=1，13非负整数a的值是1，13点评：此题主要考查了一元二次方程整数解的有关知识，关键是确定a与x之间的函数关系10（8分）设m为整数，且4m40，方程x22（2m3）x+4m214m+8=

18、0有两个不相等的整数根，求m的值及方程的根考点：一元二次方程的整数根与有理根；解一元二次方程-公式法。1350138专题：计算题。分析：根据求根公式可知：x=（2m3），根据4m40可知m的值为12或24，再把m值代入求解即可解答：解：解方程x22（2m3）x+4m214m+8=0，得，原方程有两个不相等的整数根，2m+1为完全平方数，又m为整数，且4m40，2m+1为奇数完全平方数，2m+1=25或49，解得m=12或24当m=12时，x1=26，x2=16；当m=24时，点评：本题考查了解一元二次方程的方法，求根公式法适用于任何一元二次方程方程ax2+bx+c=0的解为x=要注意根据实际意

19、义进行值的取舍11（7分）已知关于x的方程a2x2（3a28a）x+2a213a+15=0（其中a是非负整数）至少有一个整数根，求a的值考点：一元二次方程的整数根与有理根；解一元二次方程-公式法。1350138专题：探究型。分析：由题意“至少有一个整数根”应分两种情况：一是两个都是整数根，另一种是一个是整数根，一个不是整数根我们也可以把它的两个根解出来解答：解：因为a0，所以x1，2=所以x1=2，x2=1所以只要a是3或5的约数即可，即a=1，3，5点评：此题只要根据一元二次方程的求根公式求出方程的解的表达式，逐步试解即可得到正确答案，此题重在考查学生的探究意识12（6分）求使关于x的方程k

20、x2+（k+1）x+（k1）=0的根都是整数的k值考点：根与系数的关系。1350138专题：计算题。分析：分k=0和k0两种情况讨论当k=0时，所给方程为x1=0，有整数根x=1当k0时，所给方程为二次方程，根据根与系数的关系即可求出k的值，然后用0验证k是否符合题意即可解答：解：分k=0和k0两种情况讨论当k=0时，所给方程为x1=0，有整数根x=1当k0时，所给方程为二次方程设两个整数根为x1和x2，则有由得x1+x2x1x2=2（x11）（x21）=3=13=（1）（3）有故x1+x2=6或x1+x2=2，即1=6或1=2解得k=或k=1又=（k+1）24k（k1）=3k2+6k+1，当

21、k=或k=1时，都有0所以，满足要求的k值为k=0，k=，k=1点评：本题考查了根与系数的关系，难度适中，关键是运用根与系数的关系根据题意进行求解，不要忽视考虑k=0的情况13（6分）当n为正整数时，关于x的方程2x28nx+10xn2+35n76=0的两根均为质数，试解此方程考点：一元二次方程的整数根与有理根；质数与合数。1350138专题：特定专题。分析：利用根与系数的关系，得出两根的关系，利用特殊值求出方程的根解答：解：设两质数根为x1，x2，则x1+x2=4n5为奇数，x1，x2，则必一奇一偶，不妨设x1=2，代入原方程得：n219n+48=0，解得：n1=16，n2=3，当n=16时

22、，x2=57；当n=3时，x2=5点评：此题考查了一元二次方程根与系数的关系，以及指数的定义，综合性较强14（6分）设关于x的二次方程（k26k+8）x2+（2k26k4）x+k2=4的两根都是整数求满足条件的所有实数k的值考点：解一元二次方程-公式法。1350138分析：求出二根x1=，x2=，从中消去k得x1x2+3x1+2=0，分解得x1（x2+3）=2借助方程组得k=6，3，解答：解：原方程可化为（k4）（k2）x2+（2k26k4）x+（k2）（k+2）=0，（k4）x+（k2）（k2）x+（k+2）=0（k4）（k2）0x1=，x2=；k4=（x11）k2=（x21）由消去k，得

23、x1x2+3x1+2=0x1（x2+3）=2由于x1，x2都是整数，即，k=6，3，经检验，k=6，3，满足题意点评：本题方程整理成关于x的一元二次方程的一般形式后，二次项系数不为0 是隐含的条件，应考虑将参数k用方程两根表示并最终消去参数k是解题的关键15（6分）已知a是正整数，且使得关于x的一元二次方程ax2+2（2a1）x+4（a3）=0至少有一个整数根，求a的值考点：一元二次方程的整数根与有理根；解一元二次方程-因式分解法。1350138分析：首先将原方程变形为（x+2）2a=2（x+6），进而分析x+2，以及a的取值，得出所有的可能结果解答：解：将原方程变形为（x+2）2a=2（x+

24、6）显然x+20，于是a=由于a是正整数，所以a1，即1所以x2+2x80，（x+4）（x2）0，所以4x2（x2）当x=4，3，1，0，1，2时，得a的值为1，6，10，3，1a=1，3，6，10说明从解题过程中知，当a=1时，有两个整数根4，2；当a=3，6，10时，方程只有一个整数根综上所述，当a=1，3，6，10时，关于x的一元二次方程ax2+2（2a1）x+4（a3）=0至少有一个整数根点评：此题主要考查了在关于x的一元二次方程中，如果参数是一次的，可以先对这个参数来求解，题目比较典型16（6分）已知p为质数，使二次方程x22px+p25p1=0的两根都是整数，求出p的所有可能值考点

25、：根的判别式。1350138专题：计算题；分类讨论；判别式法。分析：由于二次方程x22px+p25p1=0的两根都是整数，所以其判别式为完全平方数，然后利用完全平方数的性质和整数的性质进行分析，也结合p为质数分析得出p=3或7，然后即可得到方程的形式，利用方程分析所求p值是否成立即可解决问题解答：解：已知的整系数二次方程有整数根，=4p24（p25p1）=4（5p+1）为完全平方数，从而，5p+1为完全平方数设5p+1=n2，注意到p2，故n4，且n为整数5p=（n+1）（n1），则n+1，n1中至少有一个是5的倍数，即n=5k1（k为正整数）5p+1=25k210k+1，p=k（5k2），由

26、p是质数，5k21，k=1，p=3或7当p=3时，已知方程变为x26x7=0，解得x1=1，x2=7；当p=7时，已知方程变为x214x+13=0，解得x1=1，x2=13所以p=3或p=7点评：此题主要考查了一元二次方程的判别式及方程的整数根的性质，比较难，对于学生分析问题，解决问题的能力要求比较高，是一个竞赛题，平时注意训练17（12分）已知方程x2+bx+c=0与x2+cx+b=0各有两个整数根x1，x2，和x1，x2，且x1x20，x1x20（1）求证：x10，x20，x10，x20；（2）求证：b1cb+1；（3）求b，c的所有可能的值考点：一元二次方程的整数根与有理根；根与系数的关

27、系。1350138专题：计算题；分类讨论。分析：（1）分类讨论，根据x1x20，x1x20知道x1与x2同号，然后利用根与系数的关系求出矛盾，得到正确的结果；（2）分别证明b1c和cb+1，利用根与系数的关系和整数根；（3）根据（2）中b1cb+1，分别另c=b+1、b、b1进行求解，从而得到所有正确的结果解答：解：（1）由x1x20知，x1与x2同号若x10，则x20，这时b=x1+x20，所以b0，此时与b=x1x20矛盾，所以x10，x20同理可证x10，x20（2）由（1）知，x10，x20，所以x11，x21由韦达定理c（b1）=x1x2+x1+x2+1=（x1+1）（x2+1）0，

28、所以cb1同理有b（c1）=x1x2+x1+x2+1=（x1+1）（x2+1）0所以cb+1，所以b1cb+1（3）由（2）可知，b与c的关系有如下三种情况：（i）c=b+1由韦达定理知x1x2=（x1+x2）+1，所以（x1+1）（x2+1）=2，所以或解得x1+x2=5，x1x2=6，所以b=5，c=6（ii）c=b由韦达定理知x1x2=（x1+x2），所以（x1+1）（x2+1）=1，所以x1=x2=2，从而b=4，c=4（iii）c=b1由韦达定理知（x1+x2）=x1x21所以（x1+1）（x2+1）=2，解得x1+x2=5，x1x2=6，所以b=6，c=5综上所述，共有三组解：（b

29、，c）=（5，6），（4，4），（6，5）点评：本题主要考查了一元二次方程的整数根和根与系数的关系，关键是分类讨论时要找到所有的情况18（10分）如果直角三角形的两条直角边都是整数，且是方程mx22xm+1=0的根（m为整数），这样的直角三角形是否存在？若存在，求出满足条件的所有三角形的三边长；若不存在，请说明理由考点：一元二次方程的整数根与有理根。1350138专题：探究型。分析：先用求根公式求出方程的根，再根据m为整数，方程的两根为直角三角形的两条直角边且都是整数进行讨论，当m=1时，x=2或0，这样的直角三角形不存在；假设存在不为0或1的整数m，使得方程有整数根，则m2m+1=k2（k为整数），再判断出m2m+1不是整数的平方即可得出结论解答：解：因为x=，当m=1时，x=2或0，这样的直角三角形不存在，假设存在不为0或1的整数m，使得方程有整数根，则m2m+1=k2（k为整数），即m2m=k21，必有m（m1）=（k+1）（k1），而m（m1）是两个连续不为0的整数的乘积，但是（k1）和（k+1）、1和（k21）都不是连续整数，故m0且m1时，m2m+1不是整数的平方，综上所述，满足条件的直角三角形不存在点评：本题考查的是一元二次方程的整数根与有理根，解答此题时要先求出方程根的表达式，再由已知条件讨论m的值，此题难度较大-