“费马点”说明及例举.doc

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1、Four short words sum up what has lifted most successful individuals above the crowd: a little bit more.-author-date“费马点”说明及例举“费尔马”到了中考卷费马点 费马（Pierre de Fermat,1601-1665） 法国业余数学家，拥有业余数学之王的称号,生于博蒙德罗曼。其父曾任法国图卢兹地方法院的法律顾问。本人身为律师，曾任图卢兹议会的顾问30多年。他的一系列重要科学研究成果，都是利用业余时间完成的。 他是解析几何的发明者之一在数学方面作出了卓越的贡献，早年主要研究概率

2、论，对于数论和解析几何都有深入研究。他对微分思想的运用比牛顿和莱布尼兹还要早，在他所著求最大值和最小值的方法一书中，已对微分理论进行了比较系统的探讨。他把直线平面坐标应用于几何学也早于笛卡儿，在其所著平面及空间位置理论的导言中，最早提出了一次方程代表直线，二次方程代表截线，对一次与二次方程的一般形式，也进行了研究。费马还研究了对方程整数解的问题。得出了求导数所有约数的系统方法。 所谓的“费马点”就是法国著名数学家费马在给数学朋友的一封信中提出关于三角形的一个有趣问题：“在三角形所在平面上，求一点，使该点到三角形三个顶点距离之和最小”让人家想,并自称已经证明了。这是费马通信的一贯作风。当时欧洲所

3、有数学家对他都十分头疼的。人们称这个点为“费马点”。还有象著名的费马大定理也是这样，给欧拉的信中提出的，自称已经“有了非常巧妙的证明”。可到死也没告诉人家这个所谓证明。结果困扰世界数学界一百多年。直到去年才解决。著名的费马大定理是费马提出的至今尚未解决的问题。1637年费马提出：“不可能把一个整数的立方表示成两个立方的和，把一个四次方幂表示成两个四次方幂的和，一般地，不可能把任一个次数大于2的方幂表示成两个同方幂的和。” 即：无整数解。1665年这一定理提出后，引起了许多著名数学家的关注，至今尚在研究如何证明它的成立，但始终毫无结果。 费马在光学方面，确立了几何光学的重要原理，命名为费马原理。

4、这一原理是几何光学的最重要基本理论之一，对于笛卡儿的“光在密媒质中比在疏媒质中传播要快”的观点给予了有力的反驳，把几何光学的发展推向了新的阶段。 几何光学已有悠久的发展历史,由于费马原理的确立，几何光学发展到了较为完善的程度。 1621年斯涅尔总结出了光的折射定律。费马则是用数学方法证明了折射定律的主要学者之一。 费马原理是根据经济原则提出的，它指出：光沿着所需时间为极值的路径传播。可以理解为，光在空间沿着光程为极值的路传播，即沿光程为最小、最大或常量路径传播。 费马定理不但是正确的，同时它与光的反射定律和折射定律具有同等的意义。一、费马点就是到三角形的三个顶点的距离之和最小的点 费尔马的结论

5、：对于一个各角不超过120的三角形，费马点是对各边的张角都是120的点，对于有一个角超过120的三角形，费马点就是这个内角的顶点1、 费马点一定不在三角形外（证明略）2、 当有一个内角大于或等于120时对三角形内任一点P延长BA至C使得AC=AC，做CAP=CAP，并且使得AP=AP, PC=PC，（说了这么多，其实就是把三角形APC以A为中心做了个旋转）则APC APCBAC 120PAP = 180-BAP-CAP = 180-BAP-CAP = 180-BAC 60等腰三角形PAP中，AP PPPA + PB + PC PP +PB + PC BC = AB + AC点A即费马点3、当三

6、个内角都小于120时下面简单说明如何找点P使它到三个顶点的距离之和PA+PB+PC最小？ 解析：如图1，把APC绕A点逆时针旋转60得到APC，连接PP则APP为等边三角形，AP= PP，PC=PC，所以PA+PB+PC= PP+ PB+ PC点C可看成是线段AC绕A点逆时针旋转60而得的定点，BC为定长 ，所以当B、P、P、C 四点在同一直线上时，PA+PB+PC最小这时BPA=180-APP=180-60=120，APC=A PC=180-APP=180-60=120，BPC=360-BPA-APC=360-120-120=120 因此，当的每一个内角都小于120时，所求的点P对三角形每边

7、的张角都是120，可在AB、BC边上分别作120的弓形弧，两弧在三角形内的交点就是P点；当有一内角大于或等于120时，所求的P点就是钝角的顶点费尔马问题告诉我们，存在这么一个点到三个定点的距离的和最小，解决问题的方法是运用旋转变换费马点作法（1）平面内一点P到ABC三顶点的之和为PA+PB+PC，当点P为费马点时，距离之和最小。特殊三角形中：(2).三内角皆小于120的三角形，分别以 AB,BC,CA，为边，向三角形外侧做正三角形ABF,ACE,BCD,然后连接AD,BE,CF,则三线交于一点P,则点P就是所求的费马点.(3).若三角形有一内角大于或等于120度,则此钝角的顶点就是所求的费马点

8、.(4)当ABC为等边三角形时,此时内心与费马点重合费马点应用例举例1 （2008年广东中考题）已知正方形ABCD内一动点E到A、B、C三点的距离之和的最小值为，求此正方形的边长 例2 如图，在平面直角坐标系中，ABC三个顶点的坐标分别为， ， 设P为y轴上一点，点M先沿y轴到达P点，再沿PA到达A点，若M点在y轴上运动的速度是它在直线PA上运动速度的2倍，试确定P点的位置，使M点按照上述要求到达A点所用的时间最短例3 （2009年湖州中考题）若点P 为ABC所在平面上一点，且APB=BPC=CPA=120, 则点P叫做ABC的费马点（1） 若P为锐角ABC的费马点，且ABC=60，PA=3，

9、PC=4, 则PB的值为 ；（2）如图8，在锐角ABC的外侧作等边ACF，连结BF求证：BF过ABC的费马点P，且BF=PA+PB+PC 例4 ：在ABC中，分别以 AB,BC,CA，为边向三角形外侧做正三角形ABD、ACF、BCE，ABC= 60，证明：SABC+ SACF= SABD+ SBCE注 通过旋转变换，可以改变线段的位置，优化图形的结构在使用这一方法解题时需注意图形旋转变换的基础，即存在相等的线段，一般地，当题目出现等腰三角形（等边三角形）、正方形条件时，可将图形作旋转60 或90的几何变换，将不规则图形变为规则图形，或将分散的条件集中在一起，以便挖掘隐含条件，使问题得以解决费尔马问题是个有趣的数学问题，这些问题常常可通过旋转变换来解决-