平面向量的概念、运算及平面向量基本定理.doc

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1、Four short words sum up what has lifted most successful individuals above the crowd: a little bit more.-author-date平面向量的概念、运算及平面向量基本定理平面向量的概念、运算及平面向量基本定理05平面向量的概念、运算及平面向量基本定理突破点(一)平面向量的有关概念知识点：向量、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、相反向量平面向量的有关概念典例(1)设a，b都是非零向量，下列四个条件中，使成立的充分条件是()AabBab Ca2b Dab且|a|b|(2)设a0为单位向量，下列命题

2、中：若a为平面内的某个向量，则a|a|a0；若a与a0平行，则a|a|a0；若a与a0平行且|a|1，则aa0.假命题的个数是()A0B1 C2D3解析(1)因为向量的方向与向量a相同，向量的方向与向量b相同，且，所以向量a与向量b方向相同，故可排除选项A，B，D.当a2b时，故a2b是成立的充分条件(2)向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故是假命题；若a与a0平行，则a与a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a|a|a0，故也是假命题综上所述，假命题的个数是3.答案(1)C(2)D易错提醒(1)两个向量不能比较大小，只可以判断它们是否相等，但它们

3、的模可以比较大小；(2)大小与方向是向量的两个要素，分别是向量的代数特征与几何特征；(3)向量可以自由平移，任意一组平行向量都可以移到同一直线上突破点(二)平面向量的线性运算1向量的线性运算：加法、减法、数乘2平面向量共线定理：向量b与a(a0)共线的充要条件是有且只有一个实数，使得ba.平面向量的线性运算例1(1)在ABC中，c，b.若点D满足2，则()A.bcB.cb C.bc D.bc(2)在ABC中，N是AC边上一点且，P是BN上一点，若m，则实数m的值是_解析(1)由题可知bc，2，(bc)，则c(bc)bc，故选D.(2)如图，因为，所以，所以mm.因为B，P，N三点共线，所以m1

4、，则m.答案(1)D(2)方法技巧1平面向量的线性运算技巧：(1)不含图形的情况：可直接运用相应运算法则求解(2)含图形的情况：将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线等性质，把未知向量用已知向量表示出来求解2利用平面向量的线性运算求参数的一般思路：(1)没有图形的准确作出图形，确定每一个点的位置(2)利用平行四边形法则或三角形法则进行转化，转化为要求的向量形式(3)比较，观察可知所求平面向量共线定理的应用例2设两个非零向量a和b不共线(1)若ab，2a8b，3(ab)求证：A，B，D三点共线(2)试确定实数k，使kab和akb共线解(1)证明：因为ab，2

5、a8b，3(ab)，所以2a8b3(ab)5(ab)5，所以，共线又与有公共点B，所以A，B，D三点共线(2)因为kab与akb共线，所以存在实数，使kab(akb)，即解得k1.即k1或1时，kab与akb共线方法技巧平面向量共线定理的三个应用(1)证明向量共线：对于非零向量a，b，若存在实数，使ab，则a与b共线(2)证明三点共线：若存在实数，使，与有公共点A，则A，B，C三点共线(3)求参数的值：利用向量共线定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值 提醒证明三点共线时，需说明共线的两向量有公共点突破点(三)平面向量基本定理平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那

6、么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数1，2，使a1e12e2.其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底基底的概念例1如果e1，e2是平面内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是()Ae1与e1e2Be12e2与e12e2 Ce1e2与e1e2 De13e2与6e22e1解析选项A中，设e1e2e1，则无解；选项B中，设e12e2(e12e2)，则无解；选项C中，设e1e2(e1e2)，则无解；选项D中，e13e2(6e22e1)，所以两向量是共线向量，不能作为平面内所有向量的一组基底答案D 易错提醒某平面内所有向量的一组基底

7、必须是两个不共线的向量，不能含有零向量平面向量基本定理的应用例2(2016江西南昌二模)如图，在ABC中，设a，b，AP的中点为Q，BQ的中点为R，CR的中点恰为P，则()A.ab B.ab C.ab D.ab解析如图，连接BP，则b，a，得2ab，又()，将代入，得2ab，解得ab.答案C方法技巧平面向量基本定理的实质及解题思路(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决突破点(四)平面向量的坐标表示1平面向量的坐标运算

8、：(1)向量加法、减法、数乘的坐标运算及向量的模； (2)向量坐标的求法2平面向量共线的坐标表示平面向量的坐标运算 例1已知A(2,4)，B(3，1)，C(3，4)设a，b，c，且3c，2b，(1)求3ab3c；(2)求满足ambnc的实数m，n；(3)求M，N的坐标及向量的坐标解由已知得a(5，5)，b(6，3)，c(1,8)(1)3ab3c3(5，5)(6，3)3(1,8)(1563，15324)(6，42)(2)mbnc(6mn，3m8n)，解得即所求实数m的值为1，n的值为1.(3)设O为坐标原点，3c，3c(3,24)(3，4)(0,20)，即M(0,20)又2b，2b(12,6)(

9、3，4)(9,2)，即N(9,2)(9，18)方法技巧平面向量坐标运算的技巧(1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标(2)解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解平面向量共线的坐标表示例2已知a(1,0)，b(2,1)(1)当k为何值时，kab与a2b共线；(2)若2a3b，amb，且A，B，C三点共线，求m的值解(1)a(1,0)，b(2,1)，kabk(1,0)(2,1)(k2，1)，a2b(1,0)2(2,1)(5,2)，kab与a2b共线，2(k2)(1)50，k.(2)2a3

10、b2(1,0)3(2,1)(8,3)，amb(1,0)m(2,1)(2m1，m)A，B，C三点共线，8m3(2m1)0，m.方法技巧向量共线的坐标表示中的乘积式和比例式(1)若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abx1y2x2y10，这是代数运算，用它解决平面向量共线问题的优点在于不需要引入参数“”，从而减少了未知数的个数，而且它使问题的解决具有代数化的特点和程序化的特征(2)当x2y20时，ab，即两个向量的相应坐标成比例，这种形式不易出现搭配错误(3)公式x1y2x2y10无条件x2y20的限制，便于记忆；公式有条件x2y20的限制，但不易出错所以我们可以记比例式，但在解题时改写成乘积

11、的形式 检验高考能力一、选择题1设M是ABC所在平面上的一点，且0，D是AC的中点，则的值为()A. B. C1 D2解析：选AD是AC的中点，如图，延长MD至E，使得DEMD，四边形MAEC为平行四边形，()，2.0，()3，3，故选A.2在ABC中，3，若12，则12的值为()A. B. C. D.解析：选B由题意得，()，1，2，12.3设D，E，F分别是ABC的三边BC，CA，AB上的点，且2， 2，2，则与 ()A反向平行 B同向平行C互相垂直 D既不平行也不垂直解析：选A由题意得，因此()，故与反向平行4已知点O为ABC外接圆的圆心，且0，则ABC的内角A等于()A30 B45 C

12、60 D90解析：选A由0，得，由O为ABC外接圆的圆心，可得|.设OC与AB交于点D，如图，由可知D为AB的中点，所以2，D为OC的中点又由|可知ODAB，即OCAB，所以四边形OACB为菱形，所以OAC为等边三角形，即CAO60，故A30.5已知点G是ABC的重心，过点G作一条直线与AB，AC两边分别交于M，N两点，且x，y，则的值为()A3 B. C2 D.解析：选B由已知得M，G，N三点共线，所以(1)x(1)y.点G是ABC的重心，()()，即得1，即3，通分得3，.6若点M是ABC所在平面内的一点，且满足53，则ABM与ABC的面积的比值为()A. B. C. D.解析：选C设AB

13、的中点为D，如图，连接MD，MC，由53，得523 ，即，即1，故C，M，D三点共线，又 ，联立，得53，即在ABM与ABC中，边AB上的高的比值为，所以ABM与ABC的面积的比值为.二、填空题7在ABC中，点P在BC上，且2，点Q是AC的中点，若 (4,3)，(1,5)，则_.解析：(1,5)(4,3)(3,2)，22(3,2)(6,4)(4,3)(6,4)(2,7)，33(2,7)(6,21)答案：(6,21)8已知向量，和在正方形网格中的位置如图所示，若，则_.解析：建立如图所示的平面直角坐标系xAy，则(2，2)，(1,2)，(1,0)，由题意可知(2，2)(1，2)(1,0)，即解得

14、所以3.答案：39Pa|a(1,1)m(1,2)，mR，Qb|b(1，2)n(2,3)，nR是两个向量集合，则PQ等于_解析：P中，a(1m,12m)，Q中，b(12n，23n)则得此时ab(13，23)答案：(13，23)10在梯形ABCD中，已知ABCD，AB2CD，M，N分别为CD，BC的中点若，则_.解析：由，得()()，则 0，得0，得0.又因为，不共线，所以由平面向量基本定理得解得所以.答案：三、解答题11.如图，以向量a，b为邻边作OADB， ，用a，b表示， ，.解：ab，ab，bab.又ab，ab，ababab.综上，ab，ab，ab.12.给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为.如图所示，点C在以O为圆心的圆弧上运动若xy，其中x，yR，求xy的最大值解：以O为坐标原点，所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，如图所示，则A(1，0)，B，设AOC0，则C(cos ，sin )，由xy，得所以xcos sin ，ysin ，所以xycos sin 2sin，又，则.所以当，即时，xy取得最大值2. -