2022年新华教育高中部数学同步人教A版必修四第一章三角函数三角函数的图象与性质学习过程 .pdf

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1、读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思1.4 三角函数的图像与性质学习过程知识点 1：正弦函数余弦函数的图象（1）函数 y=sinx的图象第一步：在直角坐标系的x 轴上任取一点1O，以1O为圆心作单位圆，从这个圆与x 轴的交点 A起把圆分成n(这里 n=12) 等份 . 把 x 轴上从 0 到 2这一段分成n( 这里 n=12) 等份 .（预备：取自变量x 值弧度制下角与实数的对应）. 第二步：在单位圆中画出对应于角6,0，3，2, ，2的正弦线正弦线 （等价于“列表” ） .把角 x 的正弦线向右平行移动，使得正弦线的起点与x 轴上相应的点x 重合，则正弦线的终点就是正弦函数图象上的点（等价

2、于“描点”）. 第三步：连线 . 用光滑曲线把这些正弦线的终点连结起来，就得到正弦函数y=sinx ，x0 ，2 的图象根据终边相同的同名三角函数值相等，把上述图象沿着x 轴向右和向左连续地平行移动，每次移动的距离为2，就得到y=sinx ，x R的图象 . 把角 x()xR的正弦线平行移动，使得正弦线的起点与x 轴上相应的点x 重合，则正弦线的终点的轨迹就是正弦函数y=sinx的图象 . （2）余弦函数y=cosx 的图象用几何法作余弦函数的图象，可以用“反射法”将角x 的余弦线“竖立” 把坐标轴向下平移，过1O作与 x 轴的正半轴成4角的直线，又过余弦线1OA 的终点 A 作 x 轴的垂线

3、，它与精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 8 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思前面所作的直线交于A，那么1OA与 AA 长度相等且方向同时为正，我们就把余弦线1OA“竖立”起来成为AA ，用同样的方法，将其它的余弦线也都“竖立”起来再将它们平移，使起点与x 轴上相应的点x 重合，则终点就是余弦函数图象上的点也可以用“旋转法”把角的余弦线“竖立” （把角x 的余弦线O1M按逆时针方向旋转2到O1M1位置，则 O1M1与 O1M长度相等，方向相同. ）根据诱导公式cossin()2xx, 还可以把正弦函数x=sinx的图

4、象向左平移2单位即得余弦函数y=cosx 的图象 . （1）正切函数y=tanx 的图像：知识点 2：五点法作图用五点法作正弦函数和余弦函数的简图（描点法）：正弦函数y=sinx ，x0 ，2 的图象中，五个关键点 是：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 8 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思(0,0) (2,1) (,0) (23,-1) (2,0) 余弦函数y=cosx x0,2 的五个点关键是(0,1) (2,0) ( ,-1) (23,0) (2 ,1) 只要这五个点描出后，图象的形状就基本确定了因此在精确度不

5、太高时，常采用五点法作正弦函数和余弦函数的简图，要求熟练掌握知识点 3：奇偶性请同学们观察正、余弦函数的图形，说出函数图象有怎样的对称性？其特点是什么？(1)余弦函数当自变量取一对相反数时，函数y 取同一值。例如：f(-3)=21,f(3)=21,即 f(-3)=f(3)；由于 cos(x)=cosx f(-x)= f(x). 以上情况反映在图象上就是：如果点（x,y）是函数y=cosx 的图象上的任一点,那么 ,与它关于 y 轴的对称点 (-x,y) 也在函数y=cosx 的图象上，这时，我们说函数y=cosx 是偶函数。定义：一般地，如果对于函数f(x) 的定义域内任意一个x，都有 f(-

6、x)= f(x) ，那么函数f(x) 就叫做偶函数。例如：函数f(x)=x2+1, f(x)=x4-2等都是偶函数。(2)正弦函数观察函数y=sinx 的图象，当自变量取一对相反数时，它们对应的函数值有什么关系？这个事实反映在图象上，说明函数的图象有怎样的对称性呢？函数的图象关于原点对称。也就是说， 如果点（x,y）是函数 y=sinx 的图象上任一点， 那么与它关于原点对称的点（-x,-y）也在函数y=sinx 的图象上，这时，我们说函数y=sinx 是奇函数。定义：一般地，如果对于函数f(x) 的定义域内任意一个x，都有f(x)=f(x) ，那么函数f(x) 就叫做奇函数。例如：函数y=x

7、, y=x1都是奇函数。如果函数f(x) 是奇函数或偶函数，那么我们就说函数f(x) 具有奇偶性。注意：从函数奇偶性的定义可以看出，具有奇偶性的函数：（1）其定义域关于原点对称；（2）f(-x)= f(x) 或 f(-x)=- f(x) 必有一成立。因此，判断某一函数的奇偶性时。首先看其定义域是否关于原点对称，若对称，再计算f(-x) ，看是等于f(x) 还是等于 - f(x) ，然y=cosxy=sinx23456-2-3-4-5-6-6-5-4-3-2-65432-11yx-11oxy精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共

8、8 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思后下结论；若定义域关于原点不对称，则函数没有奇偶性。知识点 4：.单调性从 ysinx， x23,2的图象上可看出：当 x2，2时，曲线逐渐上升，sinx 的值由 1 增大到 1. 当 x2，23时，曲线逐渐下降，sinx 的值由 1 减小到 1. 结合上述周期性可知：正弦函数在每一个闭区间2 2k，2 2k(kZ)上都是增函数，其值从1 增大到 1；在每一个闭区间22k ，232k(kZ)上都是减函数，其值从1 减小到1. 余弦函数在每一个闭区间(2k1)，2k(k Z)上都是增函数，其值从1 增加到 1；在每一个闭区间2k，(2k 1)(kZ)上

9、都是减函数，其值从1 减小到 1. 有关对称轴：观察正、余弦函数的图形，可知y=sinx 的对称轴为x=2kkZ y=cosx 的对称轴为x=kkZ 学习结论1正弦函数余弦函数的图象2五点法作图正弦函数y=sinx ，x0 ，2 的图象中，五个关键点 是：(0,0) (2,1) (,0) (23,-1) (2,0) 余弦函数y=cosx x0,2 的五个点关键是y=cosxy=sinx23456-2-3-4-5-6-6-5-4-3-2-65432-11yx-11oxy精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 8 页读书之法 ,在循

10、序而渐进 ,熟读而精思(0,1) (2,0) ( ,-1) (23,0) (2 ,1) 3性质：（1）周期性：正余弦函数都是周期函数，2k (kZ)都是它的周期，最小正周期是2 ；正切函数T。（2）奇偶性：函数y=sinx 是奇函数，函数y=cosx 是偶函数；正切函数是奇函数。（3）单调性：正弦函数在每一个闭区间22k，22k (kZ)上都是增函数，其值从 1 增大到1；在每一个闭区间22k，232k(k Z)上都是减函数，其值从 1 减小到 1. 余弦函数在每一个闭区间(2k1)，2k(kZ)上都是增函数，其值从1 增加到 1；在每一个闭区间2k，(2k1)(kZ)上都是减函数，其值从1

11、减小到 1. 正切函数在区间1, kk上函数单调递减。典型例题例 1、画出下列函数的简图：（1） y1sinx ， 0， （2） cosx ， 0， 解析： （1） 按五个关键点列表：描点 、连线，画出简图。2-25O3222gx = sin xf x = 1+sinx(2)按五个关键点列表：x 0 223 2Sin0 0 1 0 1+ Sin 1 2 1 0 1 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 8 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思描点 、连线，画出简图。2-2510g x = cos xf x = -cos x

12、O2322例题 2 （1）化简：4cos2sin22（2）已知非零常数ba,满足158tan5sin5cos5cos5sinbaba，求ab的值；（3）已知35sin10cos8, 5cos10sin8求值： （1）)sin(； （ 2）)3sin(解析：（1）4cos2sin222cos3|2cos|32cos3)2sin1(32sin212sin22222（2）33tan)5158cos()5158sin(5sin158sin5cos158cos5sin158cos5cos158sin158cos158sin5sin5cos5cos5sinbababax 0 223 2Cosx 1 0 -

13、1 0 1 - Cosx -1 0 1 0 -1 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 8 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思（3）两式平方相加得100)sin(16016452)sin(；cos835sin10sin85cos10两式平方相加得cos380sin80164100即52)3sin(,52cos23sin21例题 3 求下列函数的周期：（1）sin()32yx；（2）33coscossinsin2222xxxxy；（3）sincosyxx；（4）22cossin22xxy；（ 5）2cosyx解析： （1）

14、24|2T，周期为4；（2）333coscossinsincos()cos222222xxxxxxyx，周期为2；（3）cossin2 sin()4yxxx周期为2；（4）22sincoscos22xxyx，周期为2；（5）2111cos(1cos2 )cos2222yxxx，周期为例 4：用图象求函数tan3yx的定义域。解析： 由tan30 x得tan3x，利用图象知，所求定义域为,32kkkZ，亦可利用单位圆求解。yx0 T A 320 yx33精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 8 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 8 页