专题训练椭圆.pdf

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1、暑假必刷 900 题 1 椭圆椭圆 一、单选题一、单选题 1已知椭圆C：()222124xyaa+=，直线:2l yx=过C的一个焦点，则C的离心率为 A12 B13 C22 D2 23 2已知椭圆2221(5)25xyaa+=的两个焦点为12,F F，且12| 10F F =，弦MN过点2F，则1FMN的周长为（ ） A10 B20 C10 2 D20 2 3已知椭圆C：()222210 xyabab+=经过点3(1,)2b，且C的离心率为12，则C的方程是（ ） A22143xy+= B22186xy+= C22142xy+= D22184xy+= 4若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距

2、成等差数列，则该椭圆的离心率是 A45 B35 C25 D15 5已知椭圆C：2221(0)4xyaa+=，1F，2F分别为椭圆C的左、右焦点，P为椭圆C上任一点，若124 2PFPF+=，则12FF = A4 B23 C2 D3 6已知1F，2F分别为椭圆2222:1(0)xyCabab+=的左右焦点，过原点 O且倾斜角为 60的直线 l与椭圆C的一个交点为 M，若12MFMF，则椭圆的离心率为（ ） A42 3+ B42 3 C13 D31 7已知1F，2F是椭圆C：22194xy+=的两个焦点，点M在C上，则12MFMF的最大值为（ ） A13 B12 C9 D6 8已知椭圆：()222

3、210 xyabab+=，直线1xy+=与椭圆交于M，N两点，以线段MN为直径的圆经过原点.若椭圆的离心率不大于32，则a的取值范围为（ ） A(0, 10 B2, 102 C51,2 D101,2 2022 高考 2 9设B是椭圆2222:1(0)xyCabab+=的上顶点，若C上的任意一点P都满足| 2PBb，则C的离心率的取值范围是（ ） A2,12 B1,12 C20,2 D10,2 10古希腊数学家阿基米德用“逼近法”得到椭圆面积的 4倍除以圆周率等于椭圆的长轴长与短轴长的积已知椭圆 C的中心在原点，焦点 F1，F2在 y轴上，其面积为 83，过点 F1的直线 l与椭圆 C交于点A，

4、B 且F2AB 的周长为 32，则椭圆 C的方程为（ ） A221643xy+= B221643yx+= C2216448xy+= D2216448yx+= 11设1F，2F分别是椭圆 E：22221(0)xyabab+=的左右焦点，若椭圆 E 上存在点 P 满足212PF PFc=，则椭圆 E 离心率的取值范围为（ ） A30,3 B2,12 C32(,)32 D32,32 12P为椭圆22110091xy+=上的一个动点，,M N分别为圆22:(3)1Cxy+=与圆222:(3)(05)Dxyrr+=上的动点，若|PMPN+的最小值为17，则r = A1 B2 C3 D4 13已知点 P

5、在椭圆：2222xyab+=1(ab0)上，点 P 在第一象限，点 P关于原点 O的对称点为 A，点 P关于 x 轴的对称点为 Q，设34PDPQ=，直线 AD 与椭圆的另一个交点为 B，若 PAPB，则椭圆的离心率 e=（ ） A12 B22 C32 D33 二、多选题二、多选题 14已知曲线22:1C mxny+=.（ ） A若 mn0，则 C 是椭圆，其焦点在 y 轴上 B若 m=n0，则 C是圆，其半径为n C若 mn0，则 C是两条直线 15已知椭圆 C：22148xy+=内一点 M(1,2)，直线l与椭圆 C 交于 A，B 两点，且 M为线段 AB的中点，则下列结论正确的是（ ）

6、A椭圆的焦点坐标为(2,0)(-2,0) B椭圆 C的长轴长为4 2 C直线l的方程为30 xy+ = D4 33AB = 16已知椭圆22:12520 xyM+=的左、右焦点分别是1F，2F，左、右顶点分别是1A，2A，点P是椭圆上异于1A，2A的任意一点，则下列说法正确的是（ ） A125PFPF+= B直线1PA与直线2PA的斜率之积为45 C存在点P满足1290FPF= D若12FPF的面积为4 5，则点P的横坐标为5 17设椭圆22193xy+=的右焦点为 F，直线(03)ymm=与椭圆交于 A， B 两点，则下述结论正确的是（ ） AAF+BF 为定值 BABF 的周长的取值范围是

7、6，12 C当2m =时，ABF 为直角三角形 D当 m=1 时，ABF 的面积为6 18已知曲线2212:1,9xyCF Fm+=分别为曲线C的左右焦点，则下列说法正确的是（ ） A若3m = ，则曲线C的两条渐近线所成的锐角为3 B若曲线C的离心率2e =，则27m = C若3m =，则曲线C上不存在点P，使得122FPF= D若3,mP=为C上一个动点，则12PFF面积的最大值为3 2 19如图所示，“嫦娥五号”月球探测器飞行到月球附近时，首先在以月球球心F为圆心的圆形轨道上绕月飞行，然后在P点处变轨进入以F为一个焦点的椭圆轨道上绕月飞行，最后在Q点处变轨进入以F为圆心的圆形轨道绕月飞行

8、，设圆形轨道的半径为R，圆形轨道的半径为r，则以下说法正确的是（ ） 2022 高考 4 A椭圆轨道上任意两点距离最大为2R B椭圆轨道的焦距为Rr C若r不变，则R越大，椭圆轨道的短轴越短 D若R不变，则r越小椭圆轨道的离心率越大 三、填空题三、填空题 20椭圆()222210 xyabab+=的左、右焦点分别为1F，2F，离心率为12，过2F的直线交椭圆于A，B两点，1ABF的周长为 8，则该椭圆的短轴长为_. 21设12FF，为椭圆22:+13620 xyC=的两个焦点，M为C上一点且在第一象限.若12MFF为等腰三角形，则M的坐标为_. 22椭圆T：22221(0)xyabab+=的两

9、个顶点( ,0)A a，(0, )Bb，过A，B分别作AB的垂线交椭圆T于D，C（不同于顶点） ，若3BCAD=，则椭圆T的离心率为_ 23在平面直角坐标系xOy中，已知点A，F分别为椭圆C：22221(0)xyabab+=的右顶点、右焦点，过坐标原点O的直线交椭圆C于P，Q两点，线段AP的中点为M，若Q，F，M三点共线，则椭圆C的离心率为_. 24已知椭圆22221(0)xyabab+=，焦点1(,0)Fc，2( ,0)F c(0)c ，若过1F的直线和圆22212xcyc+=相切，与椭圆在第一象限交于点 P，且2PFx轴，则该直线的斜率是_，椭圆的离心率是_. 四四、解答题、解答题 25已

10、知椭圆 C1：22221xyab+=(ab0)的右焦点 F与抛物线 C2的焦点重合，C1的中心与 C2的顶点重合过F 且与 x 轴重直的直线交 C1于 A，B 两点，交 C2于 C，D 两点，且|CD|=43|AB| （1）求 C1的离心率； （2）若 C1的四个顶点到 C2的准线距离之和为 12，求 C1与 C2的标准方程 暑假必刷 900 题 5 26已知椭圆()2222:10 xyCabab+=的离心率为63. （1）证明：3ab=； （2）若点93,1010M在椭圆C的内部，过点M的直线l交椭圆C于P、Q两点，M为线段PQ的中点，且OPOQ. 求直线l的方程； 求椭圆C的标准方程. 2

11、7已知椭圆()2222:10 xyEabab+=上的动点到其左焦点距离的最大值是最小值的3倍，且点31,2P在椭圆上. （1）求椭圆E的标准方程； （2）过点()0,1G作直线l与曲线交于,A B两点，求ABO面积的最大值 2022 高考 6 28在平面直角坐标系中，()2,0A ，()2,0B，设直线AC、BC的斜率分别为1k、2k且1212k k= ， （1）求点C的轨迹E的方程； （2）过()2,0F 作直线MN交轨迹E于M、N两点，若MAB的面积是NAB面积的2倍，求直线MN的方程 29在平面直角坐标系xOy中，离心率为63的椭圆2222:1(0)xyCabab+=过点6(1,)3M

12、（1）求椭圆C的标准方程； （2）若直线0 xym+=上存在点G，且过点G的椭圆C的两条切线相互垂直，求实数m的取值范围 30已知椭圆()222210 xyabab+=的右焦点为F，上顶点为B，离心率为2 55，且5BF = （1）求椭圆的方程； （2）直线l与椭圆有唯一的公共点M，与y轴的正半轴交于点N，过N与BF垂直的直线交x轴于点P若/MP BF，求直线l的方程 暑假必刷 900 题 7 参考答案参考答案 1C 2D 3A 4B 5A 6D 7C 8D 9C 10B 11D 12B 13C 14ACD 15BCD 16BD 17AD 18ABD 19BD 202 3 21()3, 15

13、2263 2313 242 55 55 25 【解析】 （1）因为椭圆1C的右焦点坐标为：(c,0)F,所以抛物线2C的方程为24ycx=，其中22cab=. 不妨设,A C在第一象限，因为椭圆1C的方程为：22221xyab+=， 所以当xc=时，有222221cybyaba+= = ，因此,A B的纵坐标分别为2ba，2ba； 又因为抛物线2C的方程为24ycx=，所以当xc=时，有242yc cyc= = ， 所以,C D的纵坐标分别为2c，2c，故22|bABa=，| 4CDc=. 由4|3CDAB=得2843bca=，即2322( )ccaa=，解得2ca= （舍去） ，12ca=.

14、 所以1C的离心率为12. （2）由（1）知2ac=，3bc=，故22122:143xyCcc+=，所以1C的四个顶点坐标分别为(2 ,0)c，( 2 ,0)c，(0, 3 )c，(0,3 ) c，2C的准线为xc= . 由已知得312cccc+ + +=，即2c =. 所以1C的标准方程为2211612xy+=，2C的标准方程为28yx=. 26 【解析】 （1）222222613ccabbeaaaa=，33ba=，因此，3ab=； （2）由（1）知，椭圆C的方程为222213xybb+=，即22233xyb+=， 当93,1015在椭圆C的内部时，22293331010b+ ，可得3 31

15、0b . 设点()11,P x y、()22,Q x y，则121292103210 xxyy+=+= ，所以，121239yyxx+= +， 由已知可得22211222223333xybxyb+=+=，两式作差得()()()()1212121230 xxxxyyyy+=， 2022 高考 8 所以()12121212193333yyxxxxyy+= = =+， 所以，直线l方程为3931010yx =，即33yx=. 所以，直线l的方程为330 xy=； 联立()2223331xybyx+=，消去y可得2210189 30 xxb+ =. ()2221840 93120360bb =， 由韦

16、达定理可得1295xx+=，2129310bx x=， 又OPOQ，而()11,OPx y=，()22,OQxy=， ()()()1212121212123131433OP OQx xy yx xxxx xxx=+=+=+ ()222 9327 1566055bb+=， 解得21b =合乎题意，故2233ab=， 因此，椭圆C的方程为2213xy+=. 27 【解析】 （1）由题意得，()2222231914acacabcab+=+=，解得2,3ab=， 椭圆的标准方程为22143xy+=. （2）易知直线l的斜率存在.设直线l的方程为1ykx=+，()11,A x y，()22,B x y，

17、 联立221143ykxxy=+=，消去y得()2234880kxkx+=，则122834kxxk+=+，122834x xk=+， |1 2| = (1+ 2)2 412=46 1 + 223 + 42 211dk=+ =12 1 + 2|1 2| =26 1 + 223 + 42 暑假必刷 900 题 9 令21 2kt+=，20k Q，1t ， 22 62 6=1212ABOtSttt=+V， 易证12ytt=+在)1,+上单调递增，123tt+， 2 63ABOSV，ABOV面积的最大值为2 63. 28 【解析】 （1）由题意，设(),C x y，则12ykx=+，22ykx=， 又

18、由2122142yk kx= ，整理得22142xy+=， 由点, ,A B C不共线，所以0y ，所以点C的轨迹方程为221(0)42xyy+=. （2）设()11,M x y，()22,N xy， 易知直线MN不与x轴重合，设直线:2MN xmy=， 联立方程组222142xmyxy=+=，整理得得()2222 220mymy+=， 易知0 ，且1222 22myym+=+，122202y ym=+ 由2MABNABSS=，故122yy=，即122yy= ， 从而()2212122122141222yyyymy ymyy+=+= +， 解得227m =，即147m = ， 所以直线MN的方

19、程为14207xy+=或14207xy+= 29 【解析】 （1）由题意，=63,2= 2+ 2,解得223ab=，又12+232= 1，解得2= 3,2= 1, 所以椭圆C的标准方程为23+ 2= 1 （2）当过点G的椭圆C的一条切线的斜率不存在时，另一条切线必垂直于y轴，易得(3, 1)G 当过点G的椭圆C的切线的斜率均存在时，设000(,), 3G xyx 切线方程为00()yk xxy=+， 2022 高考 10 代入椭圆方程得2220000(31)6 ()3()30kxk kxyxkxy+=， 22200006 ()4(31)3()30k kxykkxy =+=， 化简得：2200(

20、)(31)0kxyk+=，由此得2220000(3)210 xkx y ky+ =， 设过点G的椭圆C的切线的斜率分别为12,k k，所以20122013yk kx= 因为两条切线相互垂直，所以2020113yx= ，即220004(3)xyx+= ， 由知G在圆22004xy+=上，又点G在直线0 xym+=上， 所以直线0 xym+=与圆224xy+=有公共点， 所以21 1m+，所以2 22 2m 综上所述，m的取值范围为 2 2,2 2 30 【解析】 （1）易知点(),0F c、()0,Bb，故225BFcba=+=， 因为椭圆的离心率为2 55cea=，故2c =，221bac=，

21、 因此，椭圆的方程为2215xy+=； （2）设点()00,M x y为椭圆2215xy+=上一点， 先证明直线MN的方程为0015x xy y+=， 联立05+ 0 = 125+ 2= 1，消去y并整理得2 20 + 02= 0， = 402 402= 0， 因此，椭圆2215xy+=在点()00,M x y处的切线方程为0015x xy y+=. 在直线MN的方程中，令0 x =，可得01yy=，由题意可知00y ，即点010,Ny， 直线BF的斜率为= = 12，所以，直线PN的方程为 = 2 +10， 在直线PN的方程中，令0y =，可得 = 120，即点(120,0)， 因为/MP BF，则MPBFkk=，即00+120=202200+1= 12，整理可得(0+ 50)2= 0， 所以，005xy= ，因为025+ 02= 602= 1，00y，故0=66，0= 566， 所以，直线l的方程为66 +66 = 1，即60 xy+=.