专题训练抛物线.pdf

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1、暑假必刷 900 题 1 抛物线抛物线 一、单选题一、单选题 1已知 A 为抛物线 C:y2=2px（p0）上一点，点 A到 C 的焦点的距离为 12，到 y轴的距离为 9，则 p=（ ） A2 B3 C6 D9 2抛物线22(0)ypx p=的焦点到直线1yx=+的距离为2，则p =（ ） A1 B2 C2 2 D4 3已知抛物线24yx=的焦点为F，点M在抛物线上，且3MF =，则M的横坐标为（ ） A1 B2 C2 D3 4设抛物线的顶点为O，焦点为F，准线为lP是抛物线上异于O的一点，过P作PQl于Q，则线段FQ的垂直平分线（ ） A经过点O B经过点P C平行于直线OP D垂直于直线

2、OP 5设抛物线22(0)ypx p=的焦点为F，准线为l，过抛物线上一点A作l的垂线，垂足为B，设()2 ,0Cp，AF与BC相交于点D.若| |CFAF=，且ACD的面积为2 2，则点F到准线l的距离是（ ） A2 B3 C4 23 D4 33 6已知抛物线2:2C ypx=（0p ）的焦点为F，准线为l，O为坐标原点，点M在C上，直线MF与l交于点N若3MFO=，则MFMN= A14 B13 C12 D23 7在直角坐标系xOy中，抛物线2:4C yx=的焦点为F，准线为l，P为C上一点，PQ垂直l于点Q，M，N分别为PQ，PF的中点，直线MN与x轴交于点R，若60NFR=，则NR =

3、A2 B3 C2 3 D3 8已知圆2216xy+=与抛物线22(0)ypx p=的准线l交于A，B两点，且| 2 15AB =，P为该抛物线上一点，PQl于点Q，点F为该抛物线的焦点.若PQF是等边三角形，则PQF的面积为（ ） 2022 高考 2 A4 3 B4 C2 3 D2 9已知双曲线2222xyab1（a0，b0）的两条渐近线与抛物线 x243y 的准线分别交于 A、B两点，O 为坐标原点，AOB的面积为3，则双曲线的离心率为（ ） A396 B2 33 C2 D13 10已知点P是抛物线22yx=上的动点，过点P作直线1x = 的垂线，垂足为M，点A的坐标是7,42，则APPM+

4、的最小值是（ ） A72 B5 C92 D112 11已知,A B为抛物线22(0)xpy p=上的两个动点，以AB为直径的圆C经过抛物线的焦点F，且面积为2，若过圆心C作该抛物线准线l的垂线CD，垂足为D，则|CD的最大值为 A2 B2 C22 D12 12设抛物线22ypx= (0p )的焦点为F,准线为l,过焦点的直线分别交抛物线于,A B两点,分别过,A B作l的垂线,垂足为,C D.若3AFBF=,且三角形CDF的面积为3,则p的值为( ) A2 33 B33 C62 D2 63 二、多选题二、多选题 13设 A，B 是抛物线2yx=上的两点，O是坐标原点，下列结论成立的是（ ） A

5、若OAOB，则2OA OB B若OAOB，直线 AB 过定点(1,0) C若OAOB，O到直线 AB的距离不大于 1 D若直线 AB过抛物线的焦点 F，且13AF =，则| 1BF = 14已知抛物线2:2C ypx=过点(1,1)P则下列结论正确的是( ) A点 P 到抛物线焦点的距离为32 B过点 P作过抛物线焦点的直线交抛物线于点 Q，则OPQ 的面积为532 C过点 P与抛物线相切的直线方程为210 xy+ = D过点 P作两条斜率互为相反数的直线交抛物线于 M，N点则直线 MN的斜率为定值 暑假必刷 900 题 3 15抛物线24Cxy=：的焦点为 F，P为其上一动点，设直线 l与抛

6、物线 C相交于 A，B两点，点()2 2 ,M，下列结论正确的是（ ） A|PM| +|PF|的最小值为 3 B抛物线 C 上的动点到点()0,3H的距离最小值为 3 C存在直线 l，使得 A，B 两点关于30 xy+ =对称 D若过 A、B的抛物线的两条切线交准线于点 T，则 A、B 两点的纵坐标之和最小值为 2 16在平面直角坐标系xOy中，抛物线26yx=的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PAl，A为垂足.若直线AF的斜率3k = ，则下列结论正确的是（ ） A准线方程为3x = B焦点坐标3,02F C点P的坐标为9,3 32 DPF的长为 3 三、填空题三、填空题 17已知抛物

7、线C：22(0)ypx p=的焦点为F，过点( 1,0)的直线与C交于A，B两点，若4 FAFB+的最小值为 19，则抛物线C的标准方程为_ 18已知抛物线C：22(0)ypx p=的焦点为F，准线l与x轴的交点为A，P是抛物线C上的点，且PFx轴.若以AF为直径的圆截直线AP所得的弦长为2，则实数p的值为_ 19已知抛物线 C：22(0)ypx p=的焦点 F 为椭圆222419xyb+=的右顶点，直线 l是抛物线 C 的准线，点A 在抛物线 C上，过 A 作ABl，垂足为 B，若直线 BF的斜率3BFk= ，则AFB的面积为_ 20已知O为坐标原点，抛物线C：22ypx=(0p )的焦点为

8、F，P为C上一点，PF与x轴垂直，Q为x轴上一点，且PQOP，若6FQ =，则C的准线方程为_. 21抛物线2:4C yx=的焦点为F，准线为l，M是C上在第一象限内的一点，点N在l上，已知 2022 高考 4 MFNF，5MF =，则直线MN与y轴交点P的坐标为_. 22已知抛物线2:4C yx=，焦点为F，点M为抛物线C上的点，且6FM =，则M的横坐标是_；作MNx轴于N，则FMNS=_ 四四、解答题、解答题 23设抛物线24Cyx=：的焦点为F，过F且斜率为(0)k k 的直线l与C交于A，B两点，|8AB = （1）求l的方程； （2）求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程 24已知

9、抛物线C：22(0)ypx p=的焦点为F，过F且斜率为43的直线l与抛物线C交于A，B两点，B在x轴的上方，且点B的横坐标为 4. （1）求抛物线C的标准方程； （2）设点P为抛物线C上异于A，B的点，直线PA与PB分别交抛物线C的准线于E，G两点，x轴与准线的交点为H，求证：HG HE为定值，并求出定值. 暑假必刷 900 题 5 25已知抛物线 C；22ypx=过点()1,1A ( )1求抛物线 C 的方程； ( )2过点()3, 1P的直线与抛物线 C 交于 M，N 两个不同的点(均与点 A 不重合)，设直线 AM，AN 的斜率分别为1k，2k，求证：12kk为定值 26设椭圆2222

10、1(0)xyabab+=的左焦点为F，右顶点为A，离心率为12.已知A是抛物线22(0)ypx p=的焦点，F到抛物线的准线l的距离为12. （I）求椭圆的方程和抛物线的方程； （II）设l上两点P，Q关于x轴对称，直线AP与椭圆相交于点B（B异于点A） ，直线BQ与x轴相交于点D.若APD的面积为62，求直线AP的方程. 2022 高考 6 27已知动点M到定点(1,0)F的距离比M到定直线2x = 的距离小 1. （1）求点M的轨迹C的方程； （2）过点F任意作互相垂直的两条直线12ll和，分别交曲线C于点,A B和,K N设线段AB，KN的中点分别为,P Q，求证：直线PQ恒过一个定点.

11、 28已知抛物线2:2(0)C ypx p=的焦点 F到准线的距离为 2 （1）求 C 的方程; （2）已知 O为坐标原点，点 P 在 C上，点 Q满足9PQQF=，求直线OQ斜率的最大值. 暑假必刷 900 题 7 29如图，已知椭圆221:12xCy+=，抛物线22:2(0)Cypx p=，点 A是椭圆1C与抛物线2C的交点，过点A 的直线 l交椭圆1C于点 B，交抛物线2C于 M（B，M 不同于 A） （）若116=p，求抛物线2C的焦点坐标； （）若存在不过原点的直线 l使 M为线段 AB的中点，求 p的最大值 30抛物线 C 的顶点为坐标原点 O焦点在 x轴上，直线 l：1x =交

12、C于 P，Q两点，且OPOQ已知点()2,0M，且M与 l相切 （1）求 C，M的方程； （2）设123,A A A是 C上的三个点，直线12A A，13A A均与M相切判断直线23A A与M的位置关系，并说明理由 2022 高考 8 参考答案参考答案 1C 2B 3C 4B 5D 6C 7A 8A 9C 10D 11A 12C 13ACD 14BCD 15AD 16BC 17212yx= 182 2 199 3 2032x = 21()0,2 225 4 5 23 【解析】（1）由题意得 F（1，0），l的方程为 y=k（x1）（k0） 设 A（x1，y1），B（x2，y2） 由()214y

13、k xyx=得()2222240k xkxk+= 216160k =+=，故212224kxxk+= 所以() ()21224411kABAFBFxxk+=+=+= 由题设知22448kk+=，解得 k=1（舍去） ，k=1 因此 l的方程为 y=x1 （2）由（1）得 AB的中点坐标为（3，2） ，所以 AB的垂直平分线方程为 ()23yx= ，即5yx= + 设所求圆的圆心坐标为（x0，y0） ，则 ()()002200051116.2yxyxx= +=+，解得0032xy=，或00116.xy= ， 因此所求圆的方程为 ()()223216xy+=或()()22116144xy+= 24

14、 【解析】 （1）由题意得：(,0)2pF， 因为点B的横坐标为 4，且B在x轴的上方， 所以(4, 8 )Bp， 因为AB的斜率为43， 所以84342pp=，整理得：3 280pp+ =， 即(2)(4 2)0pp+=，得2p =， 暑假必刷 900 题 9 抛物线C的方程为：24yx=. （2）由（1）得：(4,4)B，(1,0)F，淮线方程1x = ， 直线l的方程：4(1)3yx=， 由24(1)34yxyx=解得14x =或4x=，于是得1( , 1)4A. 设点2(, )4nPn，又题意1n 且4n , 所以直线PA：41114yxn+ =，令1x = ，得41nyn+= ， 即

15、41nHEn+= ， 同理可得：444nHGn=+， 444414nnHG HEnn+= =+. 25 【解析】 （1）由题意得21p =，所以抛物线方程为2yx= （2）设()11,M x y，()22,N xy，直线 MN 的方程为()13xt y=+， 代入抛物线方程得230ytyt = 所以()2280t =+，12yyt+=，123y yt= 所以()()121212221212121212111111111111111312yyyyk kxxyyyyy yyytt= + + +, 所以1k，2k是定值 26 【解析】 （）解：设F的坐标为(),0c.依题意，12ca=，2pa=，1

16、2ac=，解得1a =，12c =，2p =，于是22234bac=. 所以，椭圆的方程为22413yx +=，抛物线的方程为24yx=. （）解：设直线AP的方程为()10 xmym=+，与直线l的方程1x = 联立，可得点21,Pm ，故21,Qm.将1xmy=+与22413yx +=联立，消去x，整理得()223460mymy+=，解得0y =，或2634mym=+.由点B异于点A，可得点222346,3434mmBmm+.由21,Qm，可学*科.网得直线BQ的方程 2022 高考 10 为()222623421103434mmxymmmm+=+，令0y =，解得222332mxm=+，

17、故2223,032mDm+.所以222223613232mmADmm= =+.又因为APD的面积为62，故2216262322mmm=+，整理得232 620mm+=，解得63m =，所以63m = . 所以，直线AP的方程为3630 xy+=，或3630 xy=. 27 【解析】 （）由题意可知：动点M到定点()1,0F的距离等于M到定直线1x = 的距离.根据抛物线的定义可知，点M的轨迹C是抛物线. 2p =，抛物线方程为：24yx= （）设,A B两点坐标分别为() ()1122,x yxy，则点P的坐标为1212,22xxyy+. 由题意可设直线1l的方程为()()10yk xk=.

18、由()241yxyk x=，得()2222240k xkxk+=. ()24224416160kkk =+=+. 因为直线1l与曲线C于,A B两点，所以()1212122442,2xxyyk xxkk+=+=+=. 所以点P的坐标为2221,kk+. 由题知，直线2l的斜率为1k，同理可得点Q的坐标为()212, 2kk+. 当1k 时，有22211 2kk+ +，此时直线PQ的斜率2222221112PQkkkkkkk+=+ . 所以，直线PQ的方程为()2221 21kykxkk+= ，整理得()230ykxky+=. 于是，直线PQ恒过定点()3,0E； 当1k =时，直线PQ的方程为

19、3x =，也过点()3,0E. 综上所述，直线PQ恒过定点()3,0E. 28 【解析】 （1）抛物线2:2(0)C ypx p=的焦点,02pF，准线方程为2px = ， 暑假必刷 900 题 11 由题意，该抛物线焦点到准线的距离为222ppp =， 所以该抛物线的方程为24yx=； （2）设()00,Q x y，则()00999, 9PQQFxy=， 所以()00109,10Pxy， 由P在抛物线上可得()()200104 109yx=，即20025910yx+=， 所以直线OQ的斜率000220001025925910OQyyykyxy=+， 当00y =时，0OQk=； 当00y 时

20、，0010925OQkyy=+， 当00y 时，因为000099252 2530yyyy+=， 此时103OQk，当且仅当00925yy=，即035y =时，等号成立； 当00y 时，0OQk； 综上，直线OQ的斜率的最大值为13. 29 【解析】 （）当116=p时，2C的方程为218yx=，故抛物线2C的焦点坐标为1(,0)32； （）设()()()112200,:A x yB xyM x yI xym=+， 由()22222222220 xyymymxym+=+=+， 1200022222,222mmmyyyxym+=+=+， 由M在抛物线上，所以()222222244222mpmmp=

21、+， 又22222 ()220ypxypymyp ypmxym=+=+， 012yyp+=，2101022xxymympm+=+=+， 2022 高考 12 2122222mxpm=+. 由2222142,?22xyxpxypx+=+=即2420 xpx+= 22141682422ppxpp+= + 222222182422228162ppppmppp+ +=+=+， 所以24218pp+，21160p ，1040p ， 所以，p的最大值为1040，此时2 105(,)55A. 法 2：设直线:(0,0)l xmyt mt=+，()00,A x y. 将直线l的方程代入椭圆221:12xCy+

22、=得：()2222220mymtyt+=， 所以点M的纵坐标为22Mmtym= +. 将直线l的方程代入抛物线22:2Cypx=得：2220ypmypt=， 所以02My ypt= ，解得()2022p mym+=，因此()220222p mxm+=， 由220012xy+=解得22212242160mmpmm=+， 所以当102,5mt=时，p取到最大值为1040. 30.【解析】 （1）依题意设抛物线:2= 2( 0),(1,0),(1,0)， , = 1 02= 1 2 = 0, 2 = 1， 所以抛物线C的方程为2yx=， (0,2),MM与1x =相切，所以半径为1， 所以M的方程为

23、22(2)1xy+=； （2）设111222333(),(,),(,)A x yA xyA xy 若12A A斜率不存在，则12A A方程为1x =或3x =， 若12A A方程为1x =，根据对称性不妨设1(1,1)A， 暑假必刷 900 题 13 则过1A与圆M相切的另一条直线方程为1y =， 此时该直线与抛物线只有一个交点，即不存在3A，不合题意； 若12A A方程为3x =，根据对称性不妨设12(3, 3),(3,3),AA 则过1A与圆M相切的直线13A A为 3 =33( 3)， 又13=1313=11+3=13+3=33, 3= 0， 330,(0,0)xA=，此时直线1323,

24、A A A A关于x轴对称， 所以直线23A A与圆M相切； 若直线121323,A A A A A A斜率均存在， 则12=11+2,13=11+3,23=12+3， 所以直线12A A方程为()11121yyxxyy=+， 整理得1212()0 xyyyy y+=， 同理直线13A A的方程为1313()0 xyyyy y+=， 直线23A A的方程为2323()0 xyyyy y+=， 12A A与圆M相切，|2+12|1+(1+2)2= 1 整理得22212121(1)230yyy yy+ =， 13A A与圆M相切，同理22213131(1)230yyy yy+ = 所以23,yy为方程222111(1)230yyy yy+ =的两根， 2+ 3= 21121,2 3=312121， M到直线23A A的距离为：|2+23|1+(2+3)2=|2+312121|1+(21121)2=|12+1|(121)2+412=12+112+1= 1， 所以直线23A A与圆M相切； 综上若直线1213,A A A A与圆M相切，则直线23A A与圆M相切.