25第1课时等比数列的前n项和.ppt

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1、2.5 等比数列的前n项和第1课时 等比数列的前n项和 传说在很久以前，古印度舍罕王在宫廷单调传说在很久以前，古印度舍罕王在宫廷单调的生活中，发现了的生活中，发现了6464格棋（也就是现在的国际象格棋（也就是现在的国际象棋）的有趣和奥妙，棋）的有趣和奥妙，决定要重赏发明人决定要重赏发明人他的宰相西萨他的宰相西萨 班班 达依尔，让他随意选达依尔，让他随意选择奖品择奖品. . 宰相要求的赏赐是：在棋盘的第一格内赏他一宰相要求的赏赐是：在棋盘的第一格内赏他一粒麦子，第二格内赏他两粒麦子，第三格内赏他粒麦子，第二格内赏他两粒麦子，第三格内赏他四粒麦子四粒麦子依此依此类推，每一格上的类推，每一格上的麦子

2、数都是前一格麦子数都是前一格的两倍，国王一听，的两倍，国王一听，几粒麦子，加起来几粒麦子，加起来也不过一小袋，他也不过一小袋，他就答应了宰相的要就答应了宰相的要求求. .实际上国王能实际上国王能满足宰相的要求吗？满足宰相的要求吗？1.掌握等比数列的前掌握等比数列的前n项和公式；项和公式； ( (重点）重点）2.能用等比数列的前能用等比数列的前n项和公式解决实际问题项和公式解决实际问题. （难点）（难点） S S1 1= =a a1 1 S S2 2=a=a1 1+a+a2 2=a=a1 1+a+a1 1q q = =a a1 1(1+q)(1+q) S S3 3=a=a1 1+a+a2 2+a

3、+a3 3=a=a1 1+a+a1 1q +aq +a1 1q q2 2 = =a a1 1(1+q+q(1+q+q2 2) ) S S4 4=a=a1 1+a+a2 2+a+a3 3+a+a4 4=a=a1 1+a+a1 1q+aq+a1 1q q2 2+a+a1 1q q3 3 = =a a1 1(1+q+q(1+q+q2 2+q+q3 3) )探究点探究点1 1 等比数列的前等比数列的前n n项和公式项和公式12313(1 )(1)(1)11aqqqaqSqq1212(1)(1)(1)11aqqaqSqq观察：观察：1(1)(1)1nnaqSqq猜想得：猜想得： Sn= a1+a1q+a

4、1q2+a1q3+a1qn-2+a1qn-1 qSn= a1q+a1q2+a1q3+a1qn-2+a1qn-1 +a1qn - -得：得： S Sn n(1-q)=a(1-q)=a1 1-a-a1 1q qn n当当q q11时，时，1(1).1nnaqSq等比数列等比数列aan n 的前的前n n项和项和 11 , 1(1).11nnnaqSaqqq有了上述公式，就可以解决开头提出的问题了，有了上述公式，就可以解决开头提出的问题了，问题问题1 1：a a1 1=1,q=2,n=64.=1,q=2,n=64.可得可得: :S S6464= =估计千粒麦子的质量约为估计千粒麦子的质量约为40g4

5、0g，那么麦粒的总质量超，那么麦粒的总质量超过了过了7 0007 000亿吨，因此，国王不能实现他的诺言亿吨，因此，国王不能实现他的诺言. .64641 (1-2 )=2 -1()=18 446 744 073 709 551 615()1-2粒粒1.1.注意注意q=1q=1与与q1q1两种情形两种情形2.q12.q1时，时，nnnaa qa (q )Sqq 111113.3.五个量五个量n n，a a1 1，q q，a an n，S Sn n中，解决中，解决“知三求二知三求二”问题问题. . 11 ,1(1).11nnnaqSaqqq等比数列的前等比数列的前n n项和公式项和公式等比数列等比

6、数列1，a，a2，a3，的前的前n项和为项和为()A1a 1an1 1a B.1an1a C.an11a1 D以上皆错以上皆错 【即时练习即时练习】【解析解析】选选 D.要考虑到公比为要考虑到公比为1的情况，此时的情况，此时Snn.D D1919例例 求求下下列列等等比比数数列列前前8 8项项的的和和: :111111（1 1） , , ,. , , ,.2482481 1（2 2）a a 2727，a a ，q 0.q 0.243243 为为【解解析析】 1 18 88 88 88 81 11 11 1 因因a a = =, ,q q = =, ,n n = = 8 8，2 22 21 11

7、 11 11 11 1- -1 1- -2 22 22 22 21 12 25 55 5所所以以S S = = = =1 1- -= =. .1 11 12 22 25 56 61 1- -2 22 2 当当时时 8 81 19 98 88 81 11 12 2 由由a a = =2 27 7, ,a a = =, ,可可得得2 27 7q q , ,2 24 43 32 24 43 3又又由由q q 0 0, ,可可得得1 1 q q = = - - , ,3 31 12 27 7 1 1- - - -3 31 1 6 64 40 0于于是是n n = =8 8，S S = = =. .1

8、18 81 11 1- - - -3 3B【变式练习变式练习】1 1数列数列22n n1 1 的前的前9999项和为项和为 ( () )A A2 2100100-1 -1 B B1-21-2100100C C2 29999-1-1 D D1-21-29999C2在等比数列在等比数列an中，公比中，公比q2，S544，则，则a1的值的值为为()A4 B4 C2 D2AB4 4若等比数列若等比数列aan n 的前的前3 3项的和为项的和为1313，首项为，首项为1 1，则，则其公比为其公比为_3或或465.在等比数列在等比数列an中，中，S230，S3155，求，求Sn；12nnSaaa=+ 鬃 错错 位位 相相 减减 法法通项通项公式公式nnSanqa,1求和求和公式公式知三求知三求二二等比数列的前等比数列的前n n项和项和公式公式等等比比数数列列前前n n项项和和公公 比比适用公式适用公式q=1q=1q1q1n11Sna (a0)n1n1a 1 qS(a0,q0)1 q1nn1aa qS(a0,q0)1 q 勤奋可以弥补聪明的不足，但聪明无法弥补懒惰的缺陷。