33三角函数的图象与性质.ppt

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1、第三节三角函数的图象与性质【知识梳理】【知识梳理】1.1.必会知识教材回扣填一填必会知识教材回扣填一填(1)(1)周期函数周期函数: :周期函数周期函数: :对于函数对于函数f(x),f(x),如果存在一个如果存在一个_,_,使得当使得当x x取取_内的每一个值时内的每一个值时, ,都有都有f(x+T)=f(x),f(x+T)=f(x),那么函数那么函数f(x)f(x)就叫做周期就叫做周期函数函数,_,_叫做这个函数的周期叫做这个函数的周期. .最小正周期最小正周期: :如果在周期函数如果在周期函数f(x)f(x)的所有周期中存在一个的所有周期中存在一个_,_,那么这个那么这个_就叫做就叫做f

2、(x)f(x)的最小正周期的最小正周期. .非零常数非零常数T T定定义域义域非零常数非零常数T T最小的正最小的正数数最小正数最小正数(2)(2)正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质: :函数函数y=y=sinxsinxy=y=cosxcosxy=y=tanxtanx图象图象定义域定义域_值域值域_最小正周期最小正周期2222R RR R-1-1，11-1-1，11R Rx|xRx|xR且且x + x + kk，kZkZ2函数函数y=y=sinxsinxy=y=cosxcosxy=y=tanxtanx奇偶性奇偶性奇函数奇函数偶偶函数函数奇函数奇函数

3、单调性单调性递增区间是递增区间是_，递减区间是递减区间是_递增区间是递增区间是_，递减区间是递减区间是_递增区间是递增区间是_2k,2k22(kZ)(kZ)32k,2k22(kZ)(kZ)2k-2k-，2k(kZ)2k(kZ)2k2k，2k+2k+(kZ)(kZ)(kZ)(kZ)(k,k)22函数函数y=y=sinxsinxy=y=cosxcosxy=y=tanxtanx最值最值x=_x=_时，时，y ymaxmax=1=1；x=_x=_时，时，y yminmin=-1=-1x=_x=_时，时，y ymaxmax=1=1；x=_x=_时，时，y yminmin=-1=-1无最大值无最大值和最小

4、值和最小值2k (kZ)22k (kZ)22k(kZ)2k(kZ)+2k(kZ)+2k(kZ)函数函数y=y=sinxsinxy=y=cosxcosxy=y=tanxtanx对对称称性性对称对称中心中心_对称对称轴轴_无对称轴无对称轴(k(k，0)0)，kZkZ(k,0),kZ2k(,0),kZ2xk,kZ2 x=kx=k，kZkZ2.2.必备结论教材提炼记一记必备结论教材提炼记一记对称与周期对称与周期正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半周期半周期, ,相邻的对称中心与对称轴之间的距离是相邻的对称中心与对称轴之间

5、的距离是 周期周期. .正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半周期正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半周期. .143.3.必用技法核心总结看一看必用技法核心总结看一看(1)(1)常用方法常用方法: :数形结合法数形结合法. .(2)(2)数学思想数学思想: :函数与方程、数形结合函数与方程、数形结合. .(3)(3)记忆口诀记忆口诀: :正正( (余余) )弦曲线弦曲线, ,都是一条波浪线都是一条波浪线波峰取得最大值波峰取得最大值, ,波谷处见最小值波谷处见最小值波峰、波谷相连间波峰、波谷相连间, ,要么递增要么减要么递增要么减两条曲线很完美两条曲线很完美, ,中心对称轴对称中心对称轴对称【小

6、题快练】【小题快练】1.1.思考辨析静心思考判一判思考辨析静心思考判一判(1)(1)正弦函数正弦函数y=sin xy=sin x在其任一周期内都只有一个增区间在其任一周期内都只有一个增区间, ,一个减区一个减区间间.(.() )(2)(2)余弦函数余弦函数y=cos xy=cos x的对称轴是的对称轴是y y轴轴.(.() )(3)(3)正切函数正切函数y=tan xy=tan x在定义域内是增函数在定义域内是增函数.(.() )(4)(4)若非零实数若非零实数T T是函数是函数f(x)f(x)的周期的周期, ,则则kT(kkT(k是非零整数是非零整数) )也是函数也是函数f(x)f(x)的周

7、期的周期.(.() )【解析】【解析】(1)(1)错误错误. .如正弦函数如正弦函数y=sin xy=sin x在在0,2)0,2)上有两个增区间上有两个增区间0, 0, 和和 ,2) ,2)(2)(2)错误余弦函数错误余弦函数y=cos xy=cos x的对称轴有无穷多的对称轴有无穷多条，条，y y轴只是其中的一条轴只是其中的一条.(3).(3)错误正切函数错误正切函数y=tan xy=tan x在每一个区间在每一个区间(k- ,k+ )(kZ)(k- ,k+ )(kZ)上都是增函数，但在定义域内不是单调函上都是增函数，但在定义域内不是单调函数，故不是增函数数，故不是增函数.(4).(4)正

8、确正确. .周期函数的周期不只一个，其某一周期周期函数的周期不只一个，其某一周期的非零整数倍全是其周期的非零整数倍全是其周期答案：答案：(1)(1) (2) (2) (3) (3) (4) (4)232222.2.教材改编教材改编 链接教材链接教材 练一练练一练(1)(1)(必修必修4P40T3(2)4P40T3(2)改编改编) )函数函数f(x)=4-2cos xf(x)=4-2cos x的最小值是的最小值是_，取，取得最小值时，得最小值时，x x的取值集合为的取值集合为_._.【解析】【解析】f(x)f(x)minmin=4-2=2,=4-2=2,此时，此时， x=2k(kZ),x=6k(

9、kZ),x=2k(kZ),x=6k(kZ),所以所以x x的取值集合为的取值集合为x|x=6k,kZx|x=6k,kZ答案：答案：2 x|x=6k,kZ2 x|x=6k,kZ1313(2)(2)(必修必修4P444P44例例6 6改编改编) )函数函数y=tan( )y=tan( )的最小正周期是的最小正周期是_,_,单调增区间是单调增区间是_._.【解析】【解析】 由由 , ,得得 xx ,0,00,0，直线，直线x= x= 和和x= x= 是函数是函数f(x)=sin(xf(x)=sin(x) )图象的两条相邻的对称轴，则图象的两条相邻的对称轴，则=( )=( )【解析】【解析】选选A.A

10、.由于直线由于直线x= x= 和和x= x= 是函数是函数f(x)=sin(xf(x)=sin(x) )图象的图象的两条相邻的对称轴，所以函数两条相邻的对称轴，所以函数f(x)f(x)的最小正周期的最小正周期T=2T=2，所以，所以=1=1，所以所以 =k=k (kZ).(kZ).又又00 ,sin x ,由正弦曲线得由正弦曲线得 +2kx+2kx +2k(kZ).0.2sin x-10.(3)(3)不知道辨析大小而取错交集，导致答案错误不知道辨析大小而取错交集，导致答案错误. .【互动探究】【互动探究】本例本例(2)(2)改为求不等式改为求不等式 +2cos x0+2cos x0的解集，如何

11、求？的解集，如何求？【解析】【解析】由由 +2cos x0,+2cos x0,得得cos xcos x由余弦函数的图象得，其解集为由余弦函数的图象得，其解集为33.257x |2kx2k ,kZ.66 3【规律方法】【规律方法】1.1.三角函数定义域的求法三角函数定义域的求法(1)(1)应用正切函数应用正切函数y=tan xy=tan x的定义域求函数的定义域求函数y=Atan (x+y=Atan (x+) )的定义域的定义域. .(2)(2)转化为求解简单的三角不等式求复杂函数的定义域转化为求解简单的三角不等式求复杂函数的定义域. .2.2.简单三角不等式的解法简单三角不等式的解法(1)(1

12、)利用三角函数线求解利用三角函数线求解. .(2)(2)利用三角函数的图象求解利用三角函数的图象求解. .【变式训练】【变式训练】(2015(2015深圳模拟深圳模拟) )函数函数 的定义域为的定义域为_._.【解析】【解析】要使函数有意义，必须使要使函数有意义，必须使sin x-cos x0.sin x-cos x0.利用图象利用图象. .在同一坐标系中画出在同一坐标系中画出0,20,2上上y=sin xy=sin x和和y=cos xy=cos x的图象，的图象，如图所示如图所示. .ysin xcos x在在0,20,2内，满足内，满足sin x=cos xsin x=cos x的的x

13、x为为 再结合正弦、余弦函再结合正弦、余弦函数的周期是数的周期是22，所以定义域为，所以定义域为答案：答案：544， ，5x |2kx2k ,kZ.44 5x |2kx2k ,kZ44 【加固训练】【加固训练】函数函数 的定义域是的定义域是_._.【解析】【解析】由由1-tan1-tan2 2x0 x0得得tantan2 2x1,x1,即即-1tan x1,-1tan x1,由正切函数的图由正切函数的图象得不等式的解集为象得不等式的解集为答案：答案：2y1tan xx |kxk ,kZ.44 x |kxk ,kZ44 考点考点2 2 三角函数的最值与值域三角函数的最值与值域【典例【典例2 2】

14、(1)(1)函数函数y=-2sin x-1,x )y=-2sin x-1,x )的值域是的值域是( )( )A.A.-3,1-3,1 B.B.-2,1-2,1 C.(-3,1C.(-3,1 D.(-2,1D.(-2,1(2)(2015(2)(2015成都模拟成都模拟) )函数函数y=cosy=cos2 2x-2sin xx-2sin x的最大值与最小值分别的最大值与最小值分别为为( )( )A.3,-1 B.3,-2 C.2,-1 D.2,-2A.3,-1 B.3,-2 C.2,-1 D.2,-2713,66【解题提示】【解题提示】(1)(1)弄清角弄清角x x的取值范围，结合正弦曲线求解的取

15、值范围，结合正弦曲线求解. .(2)(2)换元转化为二次函数的最值换元转化为二次函数的最值. .【规范解答】【规范解答】(1)(1)选选D.D.由正弦曲线知由正弦曲线知y=sin xy=sin x在在 ) )上，上，-1-1sin x ,sin x0)f(x)=2sin x+1(0)在区间在区间 上是增函数，则上是增函数，则的取值范围是的取值范围是_._.【解题提示】【解题提示】根据根据 是相应增区间的子集构造不等式求解是相应增区间的子集构造不等式求解. .2,232,23【规范解答】【规范解答】由由得得f(x)f(x)的增区间是的增区间是因为因为f(x)f(x)在在 上是增函数，上是增函数，

16、所以所以所以所以 且且 ，所以，所以答案：答案：2kx2kkZ22 ，2k2k,kZ.22，2,232,.2322 22 2323(0, .43(0, 4【一题多解】【一题多解】解答本题，还有以下两种解法解答本题，还有以下两种解法: :方法一：因为方法一：因为x ,0.x ,0.所以所以x ,x ,又又f(x)f(x)在区间在区间 上是增函数，上是增函数，所以所以则则 又又0 0，得得002,232,232,232,232 2 ，22232 ，3.4方法二：因为方法二：因为f(x)f(x)在区间在区间 上是增函数，故原点到上是增函数，故原点到的距离不超过的距离不超过 ，即，即 得得T ,T ,

17、即即 , ,又又0 0，得得000)(0)的周的周期为期为 , ,函数函数y=Atan(x+y=Atan(x+)(0)(0)的周期为的周期为 求解求解. .22.2.求三角函数单调区间的两种方法求三角函数单调区间的两种方法(1)(1)代换法：就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作代换法：就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个角一个角( (或或t)t)，利用基本三角函数的单调性列不等式求解，利用基本三角函数的单调性列不等式求解. .(2)(2)图象法：画出三角函数的正、余弦曲线，结合图象求它的单调区图象法：画出三角函数的正、余弦曲线，结合图象求它的单调区间间. .提醒：提

18、醒：求解三角函数的单调区间时若求解三角函数的单调区间时若x x的系数为负应先化为正，同时的系数为负应先化为正，同时切莫漏掉考虑函数自身的定义域切莫漏掉考虑函数自身的定义域. .3.3.已知三角函数的单调区间求参数的取值范围的三种方法已知三角函数的单调区间求参数的取值范围的三种方法(1)(1)子集法：求出原函数的相应单调区间，由已知区间是所求某区间子集法：求出原函数的相应单调区间，由已知区间是所求某区间的子集，列不等式的子集，列不等式( (组组) )求解求解. .(2)(2)反子集法：由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正、反子集法：由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正、余弦函

19、数的某个单调区间的子集，列不等式余弦函数的某个单调区间的子集，列不等式( (组组) )求解求解. .(3)(3)周期法：由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超周期法：由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超过过 周期列不等式周期列不等式( (组组) )求解求解. .14通通一类一类1.(20151.(2015临沂模拟临沂模拟) )已知函数已知函数f(x)=4sin( -2x),xf(x)=4sin( -2x),x-,0-,0, ,则则f(x)f(x)的单调递减区间是的单调递减区间是( )( )37A.,1212B.,27C.,012125D.,01212 【解析】【解析】选选C.

20、f(x)=C.f(x)=由由 (kZ)(kZ)，得，得所以函数所以函数f(x)f(x)的减区间是的减区间是 (kZ). (kZ).因为因为xx-,0-,0, ,所以函数所以函数f(x)f(x)的减区间是的减区间是4sin(2x)4sin(2x).33 2k2x2k232 5kxk (kZ).1212 5k ,k1212 7,0.1212 2.(20152.(2015福州模拟福州模拟) )函数函数f(x)=sin(x- )f(x)=sin(x- )的图象的一条对称轴是的图象的一条对称轴是( )( )【解析】【解析】选选C.C.方法一：方法一：( (图象特征图象特征) )因为正弦函数图象的对称轴过

21、图象的最高点或最低点，因为正弦函数图象的对称轴过图象的最高点或最低点，故令故令x- =kx- =k ，kZkZ，所以，所以x=kx=k ，kZ.kZ.取取k=-1k=-1，则，则4A.xB.xC.xD.x4242 4234x.4 方法二：方法二：( (验证法验证法) )x= x= 时，时，sin( - )=0sin( - )=0，不合题意，排除，不合题意，排除A A；x= x= 时，时，sin( - )= sin( - )= ，不合题意，排除，不合题意，排除B B；x=- x=- 时，时，sin(- - )=-1sin(- - )=-1，符合题意，符合题意，C C项正确；而项正确；而x=- x

22、=- 时，时，sin(- - )= sin(- - )= 不合题意，故不合题意，故D D项也不正确项也不正确. .4442242244422422，3.(20153.(2015银川模拟银川模拟) )已知函数已知函数f(x)=sin( )(xR),f(x)=sin( )(xR),下面结论错下面结论错误的是误的是( )( )A.A.函数函数f(x)f(x)的最小正周期为的最小正周期为B.B.函数函数f(x)f(x)是偶函数是偶函数C.C.函数函数f(x)f(x)的图象关于直线的图象关于直线x= x= 对称对称D.D.函数函数f(x)f(x)在区间在区间0, 0, 上是增函数上是增函数32x242【

23、解析】【解析】选选C.f(x)=sin(2x+ )=-cos 2x,C.f(x)=sin(2x+ )=-cos 2x,故其最小正周期为故其最小正周期为,故故A A正确；易知函数正确；易知函数f(x)f(x)是偶函数，是偶函数，B B正确；由函数正确；由函数f(x)=-cos 2xf(x)=-cos 2x的图象的图象可知，函数可知，函数f(x)f(x)的图象不关于直线的图象不关于直线x= x= 对称，对称，C C错误；由函数错误；由函数f(x)f(x)的的图象易知，函数图象易知，函数f(x)f(x)在在0, 0, 上是增函数，上是增函数，D D正确正确. .32424.(20154.(2015承

24、德模拟承德模拟) )若函数若函数f(x)=sin x(0)f(x)=sin x(0)在在0, 0, 上单调递上单调递增，在区间增，在区间 上单调递减，则上单调递减，则=_.=_.【解析】【解析】方法一：由于函数方法一：由于函数f(x)=sin x(0)f(x)=sin x(0)的图象经过坐标原点，的图象经过坐标原点，由已知并结合正弦函数的图象可知，由已知并结合正弦函数的图象可知， 为函数为函数f(x)f(x)的的 周期，周期，故故 , ,解得解得方法二：由题意，得方法二：由题意，得f(x)f(x)maxmax=f( )=sin =1.=f( )=sin =1.由已知并结合正弦函数图象可知，由已

25、知并结合正弦函数图象可知， 解得解得答案：答案：3,3 2 3142433.233,323.232巧思妙解巧思妙解6 6 巧用诱导公式解决奇偶性问题巧用诱导公式解决奇偶性问题【典例】【典例】(2015(2015合肥模拟合肥模拟) )把函数把函数f(x)=sin(2x+f(x)=sin(2x+)(0)(0)的图象的图象向右平移向右平移 个单位，所得图象对应的函数是偶函数，则个单位，所得图象对应的函数是偶函数，则的值的值为为( )( )122A.B.0C.D.333【常规解法】【常规解法】选选D.D.平移后，所得图象对应的函数是平移后，所得图象对应的函数是g(x)=g(x)=sin2(x- )+s

26、in2(x- )+=sin(2x+=sin(2x+- ),- ),由题意得，由题意得，g(x)g(x)是偶函数，所以是偶函数，所以对对xR,g(-x)=g(x)xR,g(-x)=g(x)恒成立，恒成立，因此因此sin(-2x+sin(-2x+- )=sin(2x+- )=sin(2x+- ),- ),即即-sin 2xcos(-sin 2xcos(- )+cos 2xsin(- )+cos 2xsin(- )- )=sin 2xcos(=sin 2xcos(- )+cos 2xsin(- )+cos 2xsin(- )- )，整理得整理得sin 2xcos(sin 2xcos(- )=0.-

27、)=0.1266666666因为因为xR,xR,所以所以cos(cos(- )=0.- )=0.又因为又因为00,故故- = .- = .所以所以= =6622.3【巧妙解法】【巧妙解法】选选D.D.平移后，所得图象对应的函数是平移后，所得图象对应的函数是g(x)=g(x)=sin2(x- )+sin2(x- )+=sin(2x+=sin(2x+- )- )，由题意，由题意，g(x)g(x)是偶函数是偶函数. .所以所以- = +k(kZ)- = +k(kZ)即即= +k(kZ)= +k(kZ)，因为因为00，所以所以= .= .126622323【方法指导】【方法指导】1.1.诱导公式的应用

28、诱导公式的应用(1)(1)应用诱导公式把正弦化为余弦，如应用诱导公式把正弦化为余弦，如sin( +x)=cos x,sin( -sin( +x)=cos x,sin( -x)=cos x,sin( +k+x)=x)=cos x,sin( +k+x)=(2)(2)应用诱导公式把余弦化为正弦，如应用诱导公式把余弦化为正弦，如cos( +x)=-sin x,cos( +x)=-sin x,cos( -x)=sin x,cos( +k+x)=cos( -x)=sin x,cos( +k+x)=222cos xkcos xk.， 是偶数， 是奇数222sin x,k,sin x,k.是偶数是奇数2.2.

29、正、余弦型函数奇偶性的判断技巧正、余弦型函数奇偶性的判断技巧函数函数y=sin(x+y=sin(x+) )，当，当=k+ =k+ 时是偶函数时是偶函数. .函数函数y=cos(x+y=cos(x+),),当当=k+ =k+ 时是奇函数时是奇函数. .22【类题试解】【类题试解】(2015(2015昆明模拟昆明模拟) )若函数若函数f(x)=cos(2x+f(x)=cos(2x+- )- )(0(0)是奇函数，则是奇函数，则=_.=_.【常规解法】【常规解法】因为因为f(x)f(x)为奇函数，为奇函数，所以对所以对xR,f(-x)=-f(x)xR,f(-x)=-f(x)恒成立，恒成立，因此因此c

30、os(-2x+cos(-2x+- )=-cos(2x+- )=-cos(2x+- ).- ).即即cos 2xcos(cos 2xcos(- )- )sin 2xsin(sin 2xsin(- )=- )=-cos 2x cos(-cos 2x cos(- )+sin 2xsin(- )+sin 2xsin(- ),- ),3333333整理得整理得cos 2xcos(cos 2xcos(- )=0.- )=0.因为因为xR,xR,所以所以cos(cos(- )=0.- )=0.又因为又因为0 0，故，故- = - = ，所以，所以= =答案：答案：33325.656【巧妙解法】【巧妙解法】因为因为f(x)f(x)为奇函数为奇函数, ,所以所以- = +k,- = +k,= +k,kZ.= +k,kZ.又因为又因为00,故故= .= .答案：答案：35625656