2017年高考文科数学北京卷含答案.docx

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1、数学试卷 第 1 页（共 16 页） 数学试卷 第 2 页（共 16 页） 绝密启用前北京市 2017 年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学本试卷满分 150 分,考试时间 120 分钟.第一部分(选择题 共 40 分)一、选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.已知，集合，则 ( )U R |22Ax xx 或=UAA.( 2,2)B.(, 2)(2,) C. 2,2D.(, 22,) 2.若复数在复平面内对应的点在第二象限，则实数的取值范围是 ( )(1i)(i)aaA.B.(,1)(, 1) C.D.(1,)( 1,)

2、3.执行如图所示的程序框图，输出的值为 ( )sA.2B.C.D.3 25 38 54.若 ,满足则的最大值为 ( )xy3,2,xxyyx 2xyA.1B.3C.5D.95.已知函数，则 ( )1( )3( )3xxf x ( )f xA.是偶函数，且在 R 上是增函数B.是奇函数，且在 R 上是增函数C.是偶函数，且在 R 上是减函数D.是奇函数，且在 R 上是增函数6.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为 ( )毕业学校_ 姓名_ 考生号_ _ _ -在-此-卷-上-答-题-无-效- -数学试卷 第 3 页（共 16 页） 数学试卷 第 4 页（共 16 页）A.60B.30C.

3、20D.107.设,为非零向量，则“存在负数，使得”是“”的 ( )m nmn0m n AA.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件8.根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限约为，而可观测宇宙中普通物质M6133的原子总数约为则下列各数中与最接近的是 ( )N8010M NA.B.C.D.3310531073109310第二部分(非选择题 共 110 分)二、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.9.在平面直角坐标系中,角与角均以为始边,它们的终边关于轴对称.若xOyOxy,则 .sin1=3sin10.若双曲线的离心率为,则实数 .2 21y

4、xm3m 11.已知,且,则的取值范围是 .0x 0y 1xy22xy12.已知点在圆上,点的坐标为,为原点,则的最大值为 .P22=1xyA()2,0OAO APuuu r uu u r g13.能够说明“设,是任意实数若,则”是假命题的一组整数abcabcabc ,的值依次为 .abc14.某学习小组由学生和学科网和教师组成,人员构成同时满足以下三个条件：()男学生人数多于女学生人数；()女学生人数多于教师人数；()教师人数的两倍多于男学生人数若教师人数为 4,则女学生人数的最大值为 .该小组人数的最小值为 .三、解答题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.1

5、5.(本小题 13 分)已知等差数列和等比数列满足,. na nb111ab2410aa245b ba()求的通项公式； na()求和：13521nbbbb16.(本小题 13 分)已知函数.( )3cos(2)2sin cos3f xxxx()求的最小正周期；( )f x()求证：当时,4 4x 1 2f x 数学试卷 第 5 页（共 16 页） 数学试卷 第 6 页（共 16 页） 17.(本小题 13 分)某大学艺术专业 400 名学生参加某次测评,根据男女学生人数比例,使用分层抽样的 方法从中随机抽取了 100 名学生,记录他们的分数,将数据分成 7 组：,20,30,并整理得到如下频

6、率分布直方图：30,4080,90()从总体的 400 名学生中随机抽取一人,估计其分数小于 70 的概率；()已知样本中分数小于 40 的学生有 5 人,试估计总体中分数在区间内的人数；40,50()已知样本中有一半男生的分数学.科网不小于 70,且样本中分数不小于 70 的男女生 人数相等试估计总体中男生和女生人数的比例18.(本小题 14 分)如图,在三棱锥中,为线PABCPAABPABCABBC2PAABBCD 段的中点,为线段上一点ACEPC()求证：；PABD()求证：平面；BDEPAC 平面()当时,求三棱锥的体积PABDE平面EBCD19.(本小题 14 分)已知椭圆的两个顶点

7、分别为,焦点在轴上,离心率为C2,0A 2,0Bx3 2()求椭圆的方程；C()点为轴上一点,过作轴的垂线交椭圆于不同的两点,过作DxDxCMND的垂线交于点.求证：与的面积之比为 4：5AMBNEBDEBDN20.(本小题 13 分)已知函数( )e cosxf xxx()求曲线在点处的切线方程；( )yf x(0,(0)f()求函数在区间上的最大值和最小值( )f x0,22017 年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷) 文科数学答案解析第一部分数学试卷 第 7 页（共 16 页） 数学试卷 第 8 页（共 16 页）一、选择题1 【答案】C【解析】由已知得，集合 A 的补集2,2UA

8、【考点】集合的补运算2 【答案】B【解析】复数，其在复平面内对应的点在第二象限,故(1i)(i)1+(1)iaaa(1,1)aa，解得,故选：B10, 10,a a 1a 【考点】复数的乘法运算，复数的几何意义3 【答案】C【解析】第一次循环，；第二次循环，；第三次循环，1k 2s 2k 3 2s 3k ，此时不满足条件，推出循环，输出的值为5 3s k5 3【考点】循环结构的程序抠图，学生的计算能力4 【答案】D【解析】作出约束条件所表示的平面区域如图中阴影部分所示（三角形 ABC 及其内部） ，三个顶点分别为，平移直线，易知当直线过(1,1)A(3, 1)B(3,3)C+2 =0xy时，取

9、得最大值，即(3,3)C+2xymax( +2 )=32 3=9xy【考点】线性规划5 【答案】B【解析】由，得知为奇函数，因为在上是减函数，1()( )3( )3xxfxf x ( )f x1( )3xy R所以在 R 上是增函数，又在 R 上是增函数，所以在1( )3xy 3xy 1()3( )3xxfx上是增函数，故选 BR【考点】函数的奇偶性和单调性6 【答案】D【解析】如图，把三棱锥放到长方体中，长方形的长、高、宽分别为AABC5，3，4，为直角三角形，直角边分别为 5 和 3，三棱锥的高为BCDAABC4，故该三棱锥的体积是115 3 41032V 【考点】三视图和三棱锥体积的求解

10、，空间想象能力7 【答案】A【解析】对于非零向量 m，n，若存在负数，使得，则 m，n 互为相反向量，则mn，满足充分性；而包含向量互为相反向量或者其夹角为钝角两种情况,0m n0m n故由推出互为相反向量，所以不满足必要性所以“存在负数，使得0m n”是“”的充分而不必要条件，故选 Amn0m n数学试卷 第 9 页（共 16 页） 数学试卷 第 10 页（共 16 页） 【考点】向量共线，向量的数量积和充要关系8 【答案】D【解析】由已知得，故93.28lglglg361 lg380lg10361 0.4880=lg10MMNN与最接近的是M N9310【考点】数运算和数据估算第二部分二填

11、空题9 【答案】1 3【解析】解法一 当角的终边在第一象限时，取角终边上一点，其关于 y 轴1()2 2,1P的对称点，在角的终边上，此时；当角的终边在第二象限时，()2 2,11 3sin取角终边上一点，其关于 y 轴的对称点在角的终边上，此时2()2 2,1P(2 2,1)，综合可得1 3sin1 3sin解法二 令角与角均在区间内，故角与角互补，得0,13sinsin解法三 由已知可得，1sinsin (2k+)sin ()sin (Z)3k【考点】解直角三角形，坐标与图形性质.10 【答案】2【解析】由已知可得，所以，解得1a 1cm13cema2m 【考点】双曲线的离心率.11 【答

12、案】1,12 【解析】解法一 有已知可得,，代入，得1yx 22xy，当或时取得22222211+(1)2212()22xyxxxxx 0,1x0x 1x 最大值 1，当时，取得最小值，所以的取值范围是1 2x 1 222xy1,12 解法二 当直线与两坐标轴的交点分别为，点为线段 AB 上+1x y (0,1)A(1,0)B( , )P x y一点，则 P 到原点 O 的距离为，又，22220012211POxy 1POAO所以，所以的取值范围是22212xy22xy1,12 解法三 令，cosxtsinyt0,2+(cossin)2 sin( +)14x ytt解得，.1 2sin( +)

13、4t 3+,4442sin( +)12412sin( +)24所以，2,12t 2221,12xyt【考点】代数式的取值范围，数形结合思想，转化与化归思想的应用12 【答案】6【解析】解法一 由题意知，令，则，(2,0)AO uuu r (cos ,sin)Pcos+2,s(i)nAPuu u r,故的最大值为 6cos+2,s(2,0) ()inco24s6AO APuuu r uu u r AO APuuu r uu u r解法二 由题意知，令，则(2,0)AO uuu r( , )P x y11x ，故的最大值为 6(2,0) (2, )246AO APxyxuuu r uu u r A

14、O APuuu r uu u r【考点】向量的数量积.13 【答案】（答案不唯一）1, 2, 3 数学试卷 第 11 页（共 16 页） 数学试卷 第 12 页（共 16 页）【解析】解法一 取，满足，但，不满足1a 2b 3c abc+3a bc ，故设，是任意实数若，则是假命题的一组整数,+a bcabcabc+a bc，的值依次为abc1, 2, 3 解法二 命题“设，是任意实数.若，则的逆否命题是” “设,abcabc+a bcab是任意实数.若，则” 其逆否命题也是假命题，令，,c+a bcabc1a 2b ，满足，但不满足，所以可以取，3c +a bcabc1a 2b 3c 【考点

15、】命题的真假判断14 【答案】6 12【解析】令男学生、女学生、教师人数分别是,且,若教师人数为 4，则, ,x y zxyz，当时，取得最大值 6当时，不满足条件；48yx7x y1z 12zyx当时，不满足条件；当时，2z 24zyx3z 36zyx4y 5x 满足条件，所以该小组人数的最小值为34512【考点】学生的逻辑推理能力三、解答题15 【答案】()21nan()21 135213113332n n nbbbb 【解析】解：()设等差数列的公差为 d. na因为，所以.2410aa12410ad解得.2d 所以.21nan()设等比数列的公比为 q.因为，所以.245b ba3 1

16、19bqbq 解得.23q 所以.221 2113nn nbbq 从而21 135213113332n n nbbbb 【考点】等差数列，等比数列的通项公式和等比数列求前 n 项和16 【答案】解：().3313( )cos2sin2sin2sin2cos2sin(2)22223f xxxxxxx所以的最小正周期.( )f x22T ()因为， 44x所以.52636x所以.1sin(2)sin()362x 所以当时，. ,4 4x 1( )2f x 【考点】三角函数化简，三角恒等变换，三角函数的性质17 【答案】解：()根据频率分布直方图可知，样本中分数不小于 70 的频率为 ，所以样本中分

17、数小于 70 的频率为，(0.020.04) 100.610.60.4所以从总体的 400 名学生中随机抽取一人,其分数小于 70 的概率估计为 0.4()根据题意,样本中分数不小于 50 的频率为，分数在(0.010.020.040.02) 100.9区间内的人数为40,50)1001000.955数学试卷 第 13 页（共 16 页） 数学试卷 第 14 页（共 16 页） 所以总体中分数在区间内的人数估计为40,50)540020100()由题意可知,样本中分数不小于 70 的学生人数为，(0.020.04) 10 10060所以样本中分数不小于 70 的男生人数为160302所以样本中

18、的男生人数为，女生人数为，男生和女生人数的比例为302601006040 60:403:2所以根据分层抽样原理，总体中男生和女生人数的比例估计为3:2【考点】分层抽样，数据处理能力18 【答案】解：()因为,，PAABPABC所以平面，PAABC又因为平面，BD ABC所以PABD()因为，为中点，ABBCDAC所以，BDAC由()知，PABD所以平面BD PAC所以平面平面BDE PAC()因为平面，平面平面，PABDEPAC BDEDE所以PADE因为为的中点，DAC所以，112DEPA2BDDC由()知,平面，所以平面PAABCDE PAC所以三棱锥的体积EBCD11 63VBD DC

19、DE【考点】线线垂直，面面垂直和三棱锥的体积19 【答案】解：()设椭圆的方程为C22221(0)xyabab由题意得解得2,3,2ac a3c 所以2221bac所以椭圆的方程为C2 214xy()设，则( , )M m n( ,0),( ,)D mN mn由题设知，且2m 0n 直线的斜率，故直线的斜率AM2AMnkmDE2DEmkn所以直线的方程为DE2()myxmn 直线的方程为BN(2)2nyxm联立解得点的纵坐标2(),(2),2myxmn nyxm E222(4) 4Enmymn 由点在椭圆上，得MC2244mn所以4 5Eyn 数学试卷 第 15 页（共 16 页） 数学试卷

20、第 16 页（共 16 页）又，12| | |25BDEESBDyBDn，1| |2BDNSBDn所以与的面积之比为BDEBDN4:5【考点】椭圆的方程、几何性质和三角形的面积公式20 【答案】解：()因为，所以( )e cosxf xxx( )e (cossin )1,(0)0xfxxxf又因为，所以曲线在点处的切线方程为(0)1f( )yf x(0,(0)f1y ()设，则( )e (cossin )1xh xxx( )e (cossinsincos )2e sinxxh xxxxxx 当时，,(0,)2x( )0h x所以在区间上单调递减( )h x0,2所以对任意有，即(0,2x( )(0)0h xh( )0fx所以函数在区间上单调递减( )f x0,2因此在区间上的最大值为，最小值为( )f x0,2(0)1f( )22f 【考点】导数，曲线的切线方程和函数的最值