结构力学教材_4静定结构的位移计算.ppt

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1、土木工程专业系列教材结构力学 出版社 科技分社,第4章 静定结构的位移计算,本章导读基本要求 了解变形体系虚功原理的内容及其在结构位移计算中的应用；理解广义力及广义位移的概念；熟练掌握计算结构位移的单位荷载法；熟练掌握图乘法在位移计算中的应用；了解线性弹性体系的互等定理。重点 静定结构由于荷载、支座位移、温度变化等原因引起的位移计算，特别是用图乘法计算静定梁和刚架在荷载作用下的位移。 难点 变形体系的虚功原理及其证明；广义力及广义位移的概念。,土木工程专业系列教材结构力学 出版社 科技分社,4.1 概述,4.1.1 位移,荷载、温度变化、支座位移等外因作用下，结构各截面位置的移动，称为位移。,

2、土木工程专业系列教材结构力学 出版社 科技分社,图4.1绝对位移,图4.2相对位移,土木工程专业系列教材结构力学 出版社 科技分社,保证刚度条件 D D为计算超静定结构打下基础。在结构(或构件)的制作、施工过程中，也常需预先知道其位移。,4.1.2计算位移的目的,土木工程专业系列教材结构力学 出版社 科技分社,外力（其值由零逐渐增加到最大值）在其自身引起的位移上所作的功称为实功。,即T为三角形OAB的面积。,4.2.1实功,4.2 变形体系的虚功原理,T=,（4.1a）,图4.3 静力荷载所做的实功,土木工程专业系列教材结构力学 出版社 科技分社,（4.1b）,图4.4 静力荷载所做的实功,土

3、木工程专业系列教材结构力学 出版社 科技分社,外力在其他原因（其他荷载、温度变化、支座位移等）引起的位移上所做的功称为虚功。,（4.2）,W1=FP,力状态,位移状态,图4.5虚功,图4.6虚功,土木工程专业系列教材结构力学 出版社 科技分社,4.2.2刚体体系的虚功原理,对于具有理想约束的刚体体系，其虚功原理可表述为：刚体体系处于平衡的必要和充分条件是，对于符合刚体体系约束情况的任意微小虚位移，刚体体系上所有外力所做的虚功总和等于零。,土木工程专业系列教材结构力学 出版社 科技分社,4.2.3变形体系的虚功原理,.虚功原理 变形体系处于平衡的必要和充分条件是，对于符合变形体系约束条件的任意微

4、小的连续虚位移，变形体系上所有外力所做的虚功总和W，等于变形体系各微段截面上的内力在其虚变形上所做的虚功U。即外力虚功等于变形虚功（或称虚应变能）。,W=U (4.3),.证明 图示力状态和位移状态互不相关。将图4.7(a)中微段上的各力在图4.7(b)中微段上的对应位移上做虚功，并把所有微段的虚功总加起来，便是整个结构的虚功W总。,土木工程专业系列教材结构力学 出版社 科技分社,(a)力状态,(b)位移状态,（1）按外力虚功与内力虚功计算W总,图4.7虚功原理的证明,dW总=dW外+dW内,W总=W外+W内,土木工程专业系列教材结构力学 出版社 科技分社,（2）按刚体虚功与变形虚功计算W总,

5、将微段的虚位移分解为两步：先只发生刚体位移(由ABCD移到A1B1C2D2)，然后再发生变形位移(截面A1B1不动，C2D2再移到C1D1)，如图4.7(b)所示。,dW总=dW刚+dW变,dW刚=0,即,土木工程专业系列教材结构力学 出版社 科技分社,（3）变形虚功W变的计算,图4.8 微段变形,dW变=Md+FQd+FNdu,土木工程专业系列教材结构力学 出版社 科技分社,可写为,(4.4),土木工程专业系列教材结构力学 出版社 科技分社,平衡力系和位移状态是相互独立无关的。,虚功原理具有普遍适用性。,虚功原理同样适用于刚体系。此时变形虚功U=0，则 W=0,即外力虚功之和为零。刚体系的虚

6、功原理是变形体系虚功原理的一个特例。,力系是平衡力系，位移是可能的、微小的、连续的位移。,(4)变形体系的虚功原理的几点说明,土木工程专业系列教材结构力学 出版社 科技分社,虚功原理的两种表述形式： 若平衡力系状态实际存在，位移状态是虚设的，称为虚位移原理，可用于求未知力。 若位移状态实际存在，平衡力系是虚设的,称为虚力原理。此时式(4.4)表示变形协调条件，可用于求位移。,土木工程专业系列教材结构力学 出版社 科技分社,4.3平面杆件结构位移计算的一般公式,此即平面杆件结构位移计算的一般公式，这种计算位移的方法又称为单位荷载法。,4.3.1一般公式,图4.9虚力原理,土木工程专业系列教材结构

7、力学 出版社 科技分社,4.3.2单位力设置法,求i-i 1方向上的D,求jK,求DKK1,求jKK1,虚拟状态所加的荷载应是与所求广义位移相应的广义单位力。,图4.10单位力设置法,土木工程专业系列教材结构力学 出版社 科技分社,4.4 静定结构在荷载作用下的位移计算,只考虑荷载作用时，一般公式(4.6)成为,其中，微段的变形dq、 dh、 du均由实际状态中的荷载引起。,图4.11 荷载引起的微段变形,土木工程专业系列教材结构力学 出版社 科技分社,根据工程力学，有,则线弹性结构在荷载作用下的位移计算公式为：,(4.7),式中，为反映剪应力沿截面高度不均匀分布的修正系数。如对矩形截面， =

8、1.2；对圆形截面， =1.1。,土木工程专业系列教材结构力学 出版社 科技分社,4.4.1梁和刚架的位移计算,(4.8),正负号规定：MP与 同侧受拉相乘为正，否则为负。,D的方向确定：当D的计算结果为正时，其方向与单位力指向相同；D为负时，其方向与单位力指向相反。,【例4.1】求简支梁在均布荷载q作用下跨中截面C的竖向位移(即挠度)CV，已知抗弯刚度EI为常数。,【解】(1)建立x坐标，求荷载作用下的MP,土木工程专业系列教材结构力学 出版社 科技分社,(2)加相应单位力，求,（0x ）,(3)计算 CV,图4.12 例4.1图,当0x,土木工程专业系列教材结构力学 出版社 科技分社,【解

9、】(1)先建立各杆的x坐标，各杆内力方程为,AB杆,【例4.2】试求图示刚架C点的竖向位移DCV。各杆材料相同，截面的A、I均为常数。,BC杆,图4.13 例4.2图,土木工程专业系列教材结构力学 出版社 科技分社,(2)加相应单位力，并求各杆内力,BC杆,AB杆,(3)计算 CV,由式(4.7) 得,土木工程专业系列教材结构力学 出版社 科技分社,讨论：,上式中，第一项为弯矩的影响，后两项分别为剪力和轴力的影响。设为矩形截面(bh)，则A=bh，I=bh3/12，=6/5，带入上式，,得,即剪力和轴力的影响非常小。故用公式(4.8)计算梁和刚架的位移已足够精确。,若取 ， ，可算得,可以看出

10、，高跨比 愈大，则剪力和轴力所占比例愈大。,土木工程专业系列教材结构力学 出版社 科技分社,【例4.3】试求图示刚架中截面C的水平位移CH和角位移 。设各杆EI为常数。,【解】(1)先建立各杆的x坐标，并求荷载作用下的MP,图4.14 例4.3图,土木工程专业系列教材结构力学 出版社 科技分社,(2)加相应单位力，求,(3)计算位移,（ ）,土木工程专业系列教材结构力学 出版社 科技分社,4.4.2桁架的位移计算,FNP：荷载引起的桁架轴力。受拉为正，受压为负。,：单位力引起的桁架轴力。受拉为正，受压为负。,(4.9),土木工程专业系列教材结构力学 出版社 科技分社,【例4.4】试求图示桁架中

11、结点5的挠度 5V。设各杆的横截面面积均为A=144cm2，弹性模量E=850kN/cm2。,【解】 (1) 求各杆轴力FNP并标于图(a)中杆旁。,(2) 在结点5处加竖向单位力，如图(b)所示，求出轴力 并标于杆旁。,(3)计算位移,当杆件较多时，最好列表进行。,图4.15 例4.4图,土木工程专业系列教材结构力学 出版社 科技分社,250,-20,-40,-20,-20,-20,100,50,50,50,土木工程专业系列教材结构力学 出版社 科技分社,注意：当要求桁架中某杆的角位移时，不能直接在杆上施加单位力偶，而应将其转换为等效的结点集中荷载。,求BC杆的角位移时的单位力偶设置方法 。

12、,图4.16 求桁杆转角时的虚拟状态,土木工程专业系列教材结构力学 出版社 科技分社,4.4.3组合结构的位移计算,(4.10),4.4.4拱结构的位移计算,一般拱的位移计算只要考虑弯曲变形的影响已足够精确，即按式(4.8)计算。,土木工程专业系列教材结构力学 出版社 科技分社,计算梁和刚架在荷载作用下的位移时，常需利用公式（4.8）,1)简化的条件（适用条件）,杆段的EI为常数；,杆段的轴线为直线；,杆段的 图和MP图中至少有一个为直线图形。,4.5图乘法,该公式在一定条件下可简化计算。,土木工程专业系列教材结构力学 出版社 科技分社,2)简化方法,(a),(b),将式（b）代入（a），有,

13、图4.17 图乘法,土木工程专业系列教材结构力学 出版社 科技分社,式中，A 一个弯矩图的面积； yC另一个直线变化弯矩图中与A 图的形心对应的纵标。,3)几点说明,必须符合图乘法的适用条件。, A与yC应取自不同的图形。它们位于杆件的同侧时相乘为正，否则为负。,取yC的图形必须是直线图，不能是折线图或曲线图。,土木工程专业系列教材结构力学 出版社 科技分社,若 与 均为直线图，则从任一图中取yC（另一图则取A）均可。,对于EI为分段常数的杆，应当分别对EI等于常数的各段图乘，然后叠加起来。,当MP是曲线图形，而 是折线图时，应当分段图乘。如图所示：,图4.18 分段图乘,土木工程专业系列教材

14、结构力学 出版社 科技分社,记住以下常见图形的面积及其形心位置。,图4.19 常见弯矩图形的面积及其形心位置,土木工程专业系列教材结构力学 出版社 科技分社,当取A的图形较复杂时，应将其分解为简单图形，再分别图乘后叠加起来。,图4.20 分解面积,图4.21 分解面积,AyC=A1yC1A2yC2,AyC=A1yC1A2yC2,土木工程专业系列教材结构力学 出版社 科技分社,图4.22 分解面积,AyCA1yC1+A2yC2-A3yC3,土木工程专业系列教材结构力学 出版社 科技分社,4)计算步骤,作实际荷载弯矩图MP图；,加相应单位荷载，作单位弯矩图 图；,【例4.5】求图示简支梁A端的转角

15、 及跨中截面C的挠度CV。EI为常数。,用图乘法公式（4-11） 求位移。,土木工程专业系列教材结构力学 出版社 科技分社,【解】先作MP图，如图(b)所示。,(1) 求,(2) 求CV,（ ）,图4.23 例4.5图,土木工程专业系列教材结构力学 出版社 科技分社,【例4.6】求图示结构中C点的竖向位移CV。EI为常数。,【解】,图4.24 例4.6图,图4.25 BC杆弯矩图的分解,土木工程专业系列教材结构力学 出版社 科技分社,【例4.7】求图中铰C左右两侧截面C1、C2的相对转角 。已知各杆EI相同。,图4.26 例4.7图,【解】,土木工程专业系列教材结构力学 出版社 科技分社,土木

16、工程专业系列教材结构力学 出版社 科技分社,【例4.8】求图示刚架中A、B两点间的相对线位移AB。各杆EI为常数。,【解】(1)绘MP图。CD杆上有一抛物线分布的弯矩图，如图(a)所示。,(2)在A、B两点加一对方向相反的单位力，绘 图，如图(b)所示。,(3),图4.27 例4.8图,土木工程专业系列教材结构力学 出版社 科技分社,【例4.9】求图示组合结构中铰C处的竖向位移CV。梁杆的抗弯刚度为EI，桁杆的抗拉刚度为 。,【解】组合结构的位移计算公式,图4.28 例4.9图,土木工程专业系列教材结构力学 出版社 科技分社,土木工程专业系列教材结构力学 出版社 科技分社,4.6静定结构在支座

17、位移时的位移计算,静定结构在发生支座位移时不引起内力，杆件只有刚体位移而不产生微段变形，即dq=dh=du=0，代入一般公式(4.6)得：,C与 方向相同时，乘积 为正，否则为负。,(4.12),土木工程专业系列教材结构力学 出版社 科技分社,【例4.10】图示简支梁支座B产生竖向位移B=0.03m，试求杆端A处的转角 。,【解】在杆端A处加一单位力偶，求得B支杆的支反力，如图b所示，则,（ ）,本例虽然简单，但可用其验证公式(4.12)的正确性。,图4.29 例4.10图,土木工程专业系列教材结构力学 出版社 科技分社,【例4.11】结构的支座位移如图所示，求铰C的竖向位移CV。,【解】在C

18、点加一单位力，求出支座位移处的支反力，如图(b)所示。,图4.30 例4.11图,土木工程专业系列教材结构力学 出版社 科技分社,4.7静定结构在温度变化时的位移计算,温度变化时位移计算的一般公式(4.6)为,现以求图示结构截面K的竖向位移为例推导公式 。,土木工程专业系列教材结构力学 出版社 科技分社,实际状态中任一微段ds上的变形：,（3）,若杆件截面对称于形心轴,即 ，则上式中,土木工程专业系列教材结构力学 出版社 科技分社,(4.13),(4.14),正负号规定:温差t采用绝对值，若 图中杆件的弯曲变形与温度变化引起的弯曲变形方向一致，则乘积 取正号，反之取负号。,对于桁架，在温度变化

19、时，其位移计算公式为,(4.15),土木工程专业系列教材结构力学 出版社 科技分社,设桁架各杆长度的制造误差为l (伸长为正，缩短为负)，则位移计算公式为:,(4.16),【例4.12】图示刚架施工时温度为20，试求夏季当外侧温度为30，内侧温度为20时A点的水平位移AH和转角 。已知l=4m，a =10-5，各杆均为矩形截面，高度h=0.4m。,【解】外侧温度变化为t1=30-20=10,内侧温度变化为t2=20-20=0，故有 t=t1-t2=10,温变引起杆件的弯曲方向如图中虚线所示。,图4.32 例4.12图,土木工程专业系列教材结构力学 出版社 科技分社,(1) 求AH,=3.6 m

20、m ( ),土木工程专业系列教材结构力学 出版社 科技分社,(2) 求,（ ）,土木工程专业系列教材结构力学 出版社 科技分社,4.8 具有弹性支座的静定结构的位移计算,外力做的虚功为,图4.33 具有弹性支座的静定结构位移计算,土木工程专业系列教材结构力学 出版社 科技分社,内力做的虚功为,根据虚力原理，于是为,对于梁和刚架，仅考虑弯曲变形dq，它由实际状态中的弯矩MP引起，,则有,(4.18),注意，若实际状态中弹性支座的反力 与虚拟状态中弹性支座的反力 同方向时，乘积 为正，反之为负。,土木工程专业系列教材结构力学 出版社 科技分社,【例4.13】 求图（a）所示梁铰B左右两侧截面的相对

21、转角位移 。设EI为常数，刚度系数,图4.34 例4.13图,土木工程专业系列教材结构力学 出版社 科技分社,【解】绘MP图和 图，由公式（4.18）计算得：,( ),土木工程专业系列教材结构力学 出版社 科技分社,4.9 线性弹性结构的互等定理,4.9.1功的互等定理,设第一状态为平衡力系状态，第二状态为位移状态，按照虚功原理得：,图4.37 功的互等定理,土木工程专业系列教材结构力学 出版社 科技分社,反过来，设第二状态为平衡力系状态，第一状态为位移状态，按照虚功原理得：,功的互等定理,故有：,土木工程专业系列教材结构力学 出版社 科技分社,4.9.2 位移互等定理,应用功的互等定理，得：

22、,它表明：第二个单位力所引起的第一个单位力作用点沿其方向的位移，等于第一个单位力所引起的第二个单位力作用点沿其方向的位移。,位移互等定理,位移互等可能是两个线位移之间的互等、两个角位移之间的互等，也可能是线位移与角位移之间的互等。,图4.38 位移互等定理,土木工程专业系列教材结构力学 出版社 科技分社,由工程力学可知,将FP=1，M=1代入，也可得到 。可见，虽然 是单位力引起的角位移， 是单位力偶引起的线位移，含义不同，但此时二者在数值上是相等的，量纲也相同。,由位移互等定理可知,位移互等定理将在用力法计算超静定结构中得到应用。,图4.39 广义位移互等,土木工程专业系列教材结构力学 出版

23、社 科技分社,4.9.3反力互等定理,应用功的互等定理，得：,反力互等定理,它表明：约束1发生单位位移所引起的约束2的反力，等于约束2发生单位位移所引起的约束1的反力。,反力互等定理将在用位移法计算超静定结构中得到应用。,与 不仅数值上相等，量纲也相同。,图4.40 反力互等定理,土木工程专业系列教材结构力学 出版社 科技分社,本章小结,（1）结构在荷载、温度变化、支座位移等外因作用下都会产生位移。位移计算在工程实践和结构分析中有重要地位。本章内容既是静定部分的结尾，又是超静定部分的先导。,（2）静定结构位移计算以虚功原理为理论基础。虚功原理包括刚体虚功原理和变形体虚功原理，前者是后者的特殊情

24、况。应用虚功原理必须要有两个互不相关的独立状态，即力状态和位移状态，其中一个是实际的，而另一个则是根据计算的需要虚设的，两个状态应发生在相同的结构上。根据虚设的是力状态或是位移状态，变形体虚功原理相应的称为虚力原理或虚位移原理。,土木工程专业系列教材结构力学 出版社 科技分社,是根据虚力原理推导的。由于在虚设的力状态中，与拟求位移(或广义位移)相应的外力为单位荷载(或广义单位荷载)，因此，这一方法也称为单位荷载法。,（3）位移计算的一般公式(4.6)，即,公式(4.6)中包含两套物理量：一套是给定的位移和变形(、c、 dq、 dh、 du)；另一套是虚设的外力(FP=1)及与 之保持平衡的 反

25、力( )和内力( )。,公式(4.6)具有普遍适用性：弹性与非弹性均适用；支座位移、温度变化与荷载均适用；静定与超静定结构均适用。,土木工程专业系列教材结构力学 出版社 科技分社,（4）荷载作用下的位移计算公式(4.7)，即,只适用于线弹性的静定(或超静定)结构的位移计算。要注意掌握其在各种具体条件下的简化形式。例如：,梁和刚架(4.8),桁架(4.9),组合结构（4.10）,土木工程专业系列教材结构力学 出版社 科技分社,要注意了解图乘法的三个应用条件及复杂图形的分解等问题，熟练掌握这一方法。,均可由一般公式(4.6)导出。,（5）公式(4.8)中的积分运算可改用图乘法公式(4.11)计算，即,支座移动(4.12),支座移动(4.12),支座移动(4.12),土木工程专业系列教材结构力学 出版社 科技分社,可以看出，用虚功原理计算结构的位移问题主要归结为计算结构的内力问题。因此，在学习位移计算的同时，应当提高内力计算的能力。应通过一定量的习题，以求切实掌握。,（7）本章最后讨论线弹性结构的三个互等定理。其中功的互等定理是基础，其余两个即位移互等定理、反力互等定理是特例。,