无单元技术在压力管道屈曲失稳分析中的应用.pdf

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1、水水 利利 学学 报报 2005 年 7 月 SHUILI XUEBAO 第 36 卷 第 7 期 1文章编号：0559-9350(2005)07-0880-06 无单元技术在压力管道屈曲失稳分析中的应用 孟闻远1，2，卓家寿1，籍东3 (1.河海大学 土木工程学院，江苏 南京 210098； 2.华北水利水电学院，河南 郑州 450008； 3.华睿投资集团有限公司，北京 100031) 摘要摘要：本文将加肋的水工压力管道看成厚曲梁与柱壳的组合体，考虑肋壳的相互作用，推导了厚曲梁及柱壳的非线性几何方程。应用无单元技术建立曲梁的位移形状函数，消除了有限元法计算板壳时的闭锁现象。推导出了加肋柱壳

2、的稳定性分析及静态和动态分析的一般性数学表达式。基于上述理论及水工压力管道实际工作状态，建立了分析压力管道屈曲失稳的模型。 关键词：关键词：加肋柱壳；稳定性；位移模式；无单元新技术 中图分类号中图分类号：TU433 文献标识码文献标识码：A 水工压力管道正常工作时一般承受较大的内水压力， 但在施工期或非正常无水状态下承受较大的 外压力(如灌浆压力、突然停水后的负压力等)。在外压力作用下，压力管道时有失稳破坏，如我国湖 南镇水电站和黄龙滩水电站、 云南绿水江水电站、 广东泉水水电站。 在国外也有压力管道破坏的事故， 如加拿大的Kemao水电站、 巴西的Nilo-pecanha水电站、 美国的泰乌

3、姆及美国最大的抽水蓄能电站Bath County水电站等。随着国内外水电站建设事业的迅速发展，特别是大量的高水头、大容量抽水蓄能电 站的兴建，压力管道越来越趋向于大型化、巨型化，这就给压力管道的设计提出了更加复杂的课题。 20世纪50年代以来，国内外对水电站压力管道有大量的研究110，在分析方法、强度分析、结构优化与设计、材料与结构模型试验等方面有较大的发展，如钢衬钢筋混凝土压力管道的成功应用及其分析 理论、设计方法的出现等。马善定6、董哲仁7、路振刚和董毓新8、刘东常9等对水电站压力管道的设计和分析理论均有新的发展。但现有压力管道外压稳定性分析理论存在着缺陷，主要表现在计算模 型不够准确，计

4、算方法受到局限。目前压力管道稳定性设计分析的主要方法1，11是解析方法和以有限元分析为主的数值计算方法。 事实上， 真正用解析方法对此类复杂的组合壳体进行分析是无能为力的， 于是有研究者将实物模型进行降维简化以求得解析表达式， 这些方法都是在假设条件下以牺牲真实受 力变形状态为代价来推导简化公式，他们在垂直轴线方向取单位宽度的圆环来分析，把肋看成刚性支 承，即使考虑肋的作用，也是将肋看成附加部分壳体尺寸的圆环。随着计算理论及计算机技术的迅速 发展，有限元数值计算方法逐步应用于水工压力管道分析，但由于曲壳元所依据的理论及有限元列式 都非常复杂，因而往往难以构造出完备的阶次高、协调性好且易于计算的

5、单元。后来，Ahmad等人12提出了三维弹性体的退化壳元，此单元虽然有很多优点，但退化成薄壳易产生剪切与薄膜闭锁，当然 对加肋也有类似结果。文献9在分析水工压力管道时，提出了半解析方法，但对肋的处理有待探讨。 实际工程上， 加肋由于受到围岩及混凝土在垂直肋所在平面方向的约束， 一般不易发生侧移失稳变形， 而仅在肋轴线形成的平面内变形。同时，不同工程的加肋截面不同，有工字型、槽形、角形等，而仅 收稿日期：2004-01-18 基金项目：国家自然科学金资助项目(50079005) 作者简介：孟闻远(1965-)，男，河南郾城人，博士生，教授，研究方向为数值计算及结构分析等。 E-mail：meng

6、- 水水 利利 学学 报报 2005 年 7 月 SHUILI XUEBAO 第 36 卷 第 7 期 2仅用板，没有通用性。 作者认为在计算模型上加肋压力管道应看成是曲梁与柱壳组合体，肋与壳协同工作，水工压力管道加 肋常有较高的尺寸，肋宜看成厚曲梁，而壳体部分一般为薄壳，考虑几何非线性因素。这种模型有类似结 构的一般性。又因为水工压力管道一般不可避免存在初始几何缺陷，属极值点失稳类型，所以一旦失稳开 始就意味着变形迅速扩大，并迅速导致破坏，故本文不作后屈曲材料非线性考虑，这比较有利于水工压力 管道失稳破坏的控制。鉴于此，本文将在计算模型、计算方法、试验验证上作深入研究。 1 加肋柱壳应变状态

7、分析 如将肋看成厚曲梁，就必须放弃Kirchhoff假设，对剪切变形单独考虑。其实，有限元方法对厚梁、 厚板、厚壳的处理是方便的，但有限元不易构造高阶的位移模式，使得这些厚的结构体变薄时产生闭锁现 象，得出虚假结论，尽管有缩减积分、杂交模型等方法来处理，但始终不令人满意。本文采用无单元法来 处理厚曲梁是因为考虑剪切变形时， 无单元法可以构造高阶的完备的多项式， 注意各位移分量之间的关系， 可以使由厚变薄的曲梁消除剪切及薄膜闭锁，因而对厚、薄曲梁乃至直梁具有通用性。处理厚曲梁的无单 元技术可以推广到厚板、厚壳中，可以像肋一样得到适应厚、薄壳分析的一般性理论方法。只是限于本文 工程实际及稳定性分析

8、的针对性，这里不用厚壳而针对薄壳进行分析。无单元技术对壳体结构的描述与分 析不像有限元法那样受到局限，可以发挥可构造高阶连续形函数的优点，不必顾虑协调性，避开了有限元 法分析壳体时的困难，且自由度少，列式简便，本文提出的构造新的形函数的办法，运算量少，边界条件 易处理。 1.1 肋的应变状态分析1.1 肋的应变状态分析 取图1所示一段曲梁， 放在坐标系xoy中，建立a1a2a3正交坐标活动标架， 设AB为深曲梁且只在xoy面内变形。 x=Rcos(S/R),y=Rsin(S/R),z=z, a1=t, a2=s, a3=z。中线上一点C用矢量表示为 210)/sin()/cos(eRSReRS

9、Rrm+= (1)中线上的法线矢量表示为 210)/sin()/cos(eRSeRSnm+= (2)图1 厚曲梁示意 曲梁上的任一点可表示为 )()()0(00stnsrrmmA+= (3) 式中：s、t为活动标架坐标参量。 沿a2方向基矢量为 标准分享网 w w w .b z f x w .c o m 免费下载w w w . b z f x w . c o m水水 利利 学学 报报 2005 年 7 月 SHUILI XUEBAO 第 36 卷 第 7 期 32120200cossin |eRseRsararamm + = (4) 曲线坐标上基矢量gi为 330 20202020 101,1

10、,egaRt antar argnargAA= +=+= (5) 两坐标体积分转换关系为()1/,132+=Rtggggdzdtdsgdv，梁上点在变形后的位置 ()()312)0(00)/(,zgwggtutTRwnatuuurrmA+=+=+= (6) 式中：为剪应变引起的法线转角。 因仅在xoy面内考虑曲梁变形，故z不予考虑。而 () +=10001/00012Rtgij (7) 设u=uig i,令变形后矢量：Gi=r,I, Gij=GiGj。由张量分析定义，应变为 ()|(21)|(21 21jk il klij kjjk ikjk ikijjiijijijuuguguguuuugG

11、e+=+= (8) 式(8)为任意圆弧状深曲梁的非线性应变公式，可适用于其它工程问题的大变形分析，对之进行显式 化，不计n0方向应变w ,t等，有 ()RuwrtRRtuwRwtuRtstsssssss+= +=,122,2 ,22221 211（9） 本文水工压力管道加肋S方向位移u=0，同时将上述分解成线性与非线性部分，为 + + +=+= = 021 2112,2 ,ssss RNRLs RtRtRwwRwtRtr ts (10) 因加劲肋相对于壳厚高度较大，故肋在其平面内刚度较大，令RN=0,同时在失稳过程中不计其几 何刚度KR，只计线性刚度KLR。 1.2 柱壳应变状态分析1.2 柱

12、壳应变状态分析 本文推导了薄壳任意初始几何缺陷的非线性几何方程。可退化出无缺陷、无 w w w . b z f x w . c o m水水 利利 学学 报报 2005 年 7 月 SHUILI XUEBAO 第 36 卷 第 7 期 4几何非线性等任何形态的壳。对柱壳省略高阶微量后，为 + + +=yww RywRywww yw Ryw ywww Ryw Rzywzw Rz Rws121w1 21112200002222222(11) 简记 sNssl+0上述三项分为线性项、缺陷项及非线性项。对第二、第三项任意取舍以反应不同的几何变形状态。 为便于消除加劲肋的剪切闭锁，需分析加劲肋的内力虚功方

13、程，找出t+R0时，消除剪切与薄膜变形 能的内在机制，为此用与正交曲线坐标重合的局部笛卡尔坐标系ei来衡量各物理量，便于找出本构关系，设ui是在ei中位移，则(无求和约定),1,ij iiiiijijiiiiji iiiggggugu= 因ijij ijij=,所以 ()dsdtggGK gGk gEw vijijext R 22212122121222222222+ =dsdtrrRtRGKRtREbtstsss + +=3()()()dsdtEtwwGKRw RwEbRtssss +,2 ,)(0/ （12） 式中：b为梁宽 在最小能量函数式中，系数相当于罚因子，作用于剪切与薄膜变形能。有

14、关系：EGKEt2，弯曲梁 变薄变直时，即t/R0，剪切与薄膜闭锁消失，则应使ts=w,s+=0,m=w/R=0，显然，R时w/R0可 以实现。而关键是要w,s+=0，即其位移模式是用多项式表达位移模式，则W须比高一阶，为保持的一 阶连续性，由式(9)与式(12)知，至少为2阶，而w为3阶，即w与的多项式阶数可分别表述为P及P+1阶 (P2)。P阶数高，列式复杂些，而闭锁消失。这是构造厚曲梁位移模式的内在依据。值得强调的是它可 以推广到厚板、厚壳中。为了消除肋闭锁现象及便于薄壳分析，本文采用无单元技术位移模式。这是因为 有限元在处理加肋壳时形式复杂，不易构造高阶完备的位移单元，导致一般厚肋(厚

15、壳也是如此)变薄时无 法消除闭锁，进而产生错误结果，而无单元技术仅用节点，易于构造高阶的位移模式，这对厚肋与薄壳体 标准分享网 w w w .b z f x w .c o m 免费下载w w w . b z f x w . c o m水水 利利 学学 报报 2005 年 7 月 SHUILI XUEBAO 第 36 卷 第 7 期 5都具有重要意义。为此，受无单元Galerkin法常用的移动最小二乘技术13的启发，基于Shepard插值及泰勒多项式展开，构造了新的位移模式14。这个位移模式既克服了移动最小二乘技术无过点拟合的缺点，而且也不需因为求位移模式系数而大量求逆， 又便于边界条件处理。

16、在文献14中， 将f(x、 y)退化到一维(关 于x=s)状态即可描述加劲肋的位移wP(s)，同时将一维状态的多项式降一阶，可构造剪切变形(s)=P-1(s)，由此便可消除剪切闭锁与薄膜闭锁，令：s=x=R,则 ()() fNfffysNysNysNysfyswT mm=LL2121,),(),(),(, (13) 式(13)降到一维状态 ( )( )( )( ) fNfffNsNsNswswTmmP=LL2121, (14) w(s)再降一阶构造 ( )( )( )( ) qsqsqsqssTmmP=LL21211,)(, (15) 上述位移均有过点插值性质，边界条件易于处理，且注意加肋处同

17、一法线上的壳及肋中线上都布点，且二点的法向位移相同，则有， ff 。由此可将肋壳的几何方程记成 fBBBfBsnsLsNsLsRRR+=+= =; (16) 2 离散方程的实现 注意将上述肋壳的位移项量扩充到统一的总向量 =f,且注意各相应B矩阵的扩充， 则由变分原理可导出肋壳组合体的变分方程，为 +=+RSVext Sext RVsij ijRij ijwwdvdv (17) 再用背景网格积分后得刚度方程，为 RKKKKSNSLRL=+(18) 式中：上述表达式从略，R表示肋；S表示壳；L、N分别表示线性项及非线项；表示荷载因子；K为初 应力矩阵，推导方法见文献15。 进一步简记为 RKKR

18、SN=+(19) w w w . b z f x w . c o m水水 利利 学学 报报 2005 年 7 月 SHUILI XUEBAO 第 36 卷 第 7 期 6稳定问题要求 为零和非零时都成立，则R=0成立。转为标准特征值问题，即 0det=+KKRSLN(21) 用特征刚度法求解9临界荷载P cr。 3 工程应用 取两加肋间的一段管道，管段中间含一个或两个加肋，视作可变形肋，而两端近似认为是固端支承。计算模型如图2。图3是给定22=bmm、h=200mm、b=20mm的情况下，PcrL/R的关系曲线。由图3可得出：(1)与解析解比较，本文解Pcr值较大，甚至大12%以上。其主要是因

19、为解析解仅将管道取出一个圆环模型来 考虑，将实际结构刚度减小之故；R不变，L增大时，本文解与解析解比较接近。这主要是因为本文模型 在较大的加肋间距情况，比较接近解析解模型。 图2 典型管段示意 这些结论可指导实际工程设计。在工程设计中，压力管道半径R受水力学条件制约，故先由强度条件 确定管壁厚b=qR/0(其中q为外压力，0为材料允许应力强度)。在R、b确定后可选取加肋间距L以进 行校核，试算满足后，确定肋间距。 1997年7月27日，湖北南河白水峪水电站压力管 道在灌浆中失稳破坏。几何尺寸为：L0=2000mm, b=18mm,22mmb =,h=150mm,R=3400mm， 材料为16M

20、n钢板，E=2.10105MPa,V=0.3， s=340MPa，计算区 域布置9261个计算点，计算管段中间含一个肋， 即跨2L0长度，加肋处布置92个点并与壳上点对应。 两端肋近似用固端处理。计算结果Pcr=0.929MPa。失 稳弧长达1.42m,与灌浆压力0.95MPa接近。这里计算 值偏小可能是由于实际结构中肋上锚杆及管周围围 岩、混凝土的接触约束使结构刚度偏大的缘故。 图3 Pcr-L/R关系曲线 标准分享网 w w w .b z f x w .c o m 免费下载w w w . b z f x w . c o m水水 利利 学学 报报 2005 年 7 月 SHUILI XUEB

21、AO 第 36 卷 第 7 期 74 结论 本文在对水工压力管道进行几何非线性稳定性分析时把结构看成肋与壳组合体并认为肋在其轴线平 面内变形，比较反映实际受力及变形状态，借助无单元技术，用厚曲梁对肋进行一般化模拟有通用性，且 无闭锁产生，可适应加任何形式肋的柱壳结构。通过实例计算表明，新无单元技术分析复杂组合体稳定性 计算简便，收敛性好，计算结果与实际吻合，可用于工程设计。对强度分析及其它力学问题分析同样适用， 也可推广到其他工程领域加肋柱壳稳定性分析。 参考文献：参考文献： 1 周关炳.国内外巨型压力钢管的发展动态J.水利水电技术，1992，(7)：18-23. 2 Amstutz E. B

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26、rview and recent developmentJ.Compute method appl.Mech.Engrg.,1996,139:347. Application of meshless technique in buckling stability analysis of penstock MENG Wen-yuan1, ZHOU Jia-shou1, JI Dong2 (1.Hohai University, Nanjing 210098,China; 2.Far Sighted Investment Group Co.Ltd, Beijing 100031,China) Ab

27、stract: The penstock with ribs was regarded as the combination of thick curve beams and cylindrical shell. In consideration of the interaction between ribs and shell, the nonlinear geometrical equations for curve beam and w w w . b z f x w . c o m水水 利利 学学 报报 2005 年 7 月 SHUILI XUEBAO 第 36 卷 第 7 期 8cy

28、lindrical shell were deduced. By using the meshless technique, the displacement shape functions applied to arbitrary thin curve beam were obtained. A set of formulations for analyzing the strength and stability of cylindrical shell with arbitrary ribs were presented. On this basis the model for calc

29、ulating the buckling stability of penstocks bearing internal pressure was established according to the actual working conditions of penstocks in hydropower station. Key words: penstock; cylindrical shell; rib; buckling stability; displacement mode; meshless technique (责任编辑：王冰伟) 标准分享网 w w w .b z f x w .c o m 免费下载