134课题学习--最短路径问题课件(精品应用）.ppt

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1、八年级八年级 上册上册13.4 课题学习课题学习 最短路径问题最短路径问题引言：前面我们研究过一些关于引言：前面我们研究过一些关于 1、“两点的所有连线中，线段最短两点的所有连线中，线段最短” （两点之间，线段最短两点之间，线段最短） 2.连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，连接直线外一点与直线上各点的所有线段中， ( 垂线段最短垂线段最短 ） 我们称它们为我们称它们为最短路径最短路径问题，问题， 如图从如图从A A地到地到B B地有三条可供选，地有三条可供选， 你会选走哪条路最近？你会选走哪条路最近？ 你的理由是什么？你的理由是什么？ 两点之间两点之间,线段最短线段最短FEDCBA 已知

2、：点已知：点A，B在直线在直线L的的两两侧，在侧，在L上上 求求 ： 一点一点P，使得，使得PA+PB 和最小。和最小。 A .A . .B .BP思考思考:为什么这样为什么这样就就能得到能得到最短距离呢？最短距离呢？根据：根据：两点之间线段最短两点之间线段最短.应用：要在燃气管道应用：要在燃气管道L L上修建一个泵站，分别上修建一个泵站，分别向向A A、B B两镇供气，泵站修在管道的什么地两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？方，可使所用的输气管线最短？P所以泵站建在点所以泵站建在点P P可使输气管线最短可使输气管线最短问题问题1: :相传古希腊亚历山大里亚城里有一位久负

3、盛名的相传古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦有一天，一位将军专程拜访海伦，求学者，名叫海伦有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：教一个百思不得其解的问题：从图中的从图中的A 地出发，到一条笔直的河边地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然后到饮马，然后到B 地到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？地到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？探索新知探索新知BAl精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的知识精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的知识回答了这个问题这个问题后来被称为回答了这个问题这个问题后来被称为“将军饮马问题将军饮马问题”你能将

4、这个问题抽象为数学问题吗？你能将这个问题抽象为数学问题吗？ 探索新知探索新知BAl追问追问1这是一个实际问题，你打算首先做么？这是一个实际问题，你打算首先做么？ 将将A，B 两地抽象为两个点，两地抽象为两个点， 将河将河l 抽象为一条直线抽象为一条直线探索新知探索新知BAl追问追问1: 对于问题对于问题2，如何将，如何将点点B“移移”到到l 的另一侧的另一侧B处，处，满足直线满足直线l 上的任意一点上的任意一点C，都保持都保持CB 与与CB的长度相等？的长度相等？ 探索新知探索新知问题问题2 如图，点如图，点A，B 在直线在直线l 的同侧，点的同侧，点C 是直线上的是直线上的一个动点，当点一个

5、动点，当点C 在在l 的什么位置时，的什么位置时，AC 与与CB 的和小？的和小？ BlA追问追问2: 你能利用轴对称的你能利用轴对称的有关知识，找到上问中符合条有关知识，找到上问中符合条件的点件的点B吗？吗？ ABl B/P 点点P P的位置即为所求的位置即为所求. .M 作法：作法： 作点作点B B关于直线关于直线l l的对称点的对称点B B/ /. . 连接连接ABAB/ /, ,交直线交直线l l于点于点P.P.已知：如图已知：如图,A,A、B B在直线在直线L L的同一侧，在的同一侧，在L L上上求一点，使得求一点，使得PA+PBPA+PB最小最小. . 为什么这样做就能得为什么这样

6、做就能得到最短距离呢？到最短距离呢？MA + MBPA+PB 即即MA + MBPA+PB 三角形任意两边之和大于第三边三角形任意两边之和大于第三边 问题：如图所示，要在街道旁修建一个奶站，问题：如图所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区向居民区A A、B B提供牛奶，奶站应建在什么地方，提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从才能使从A A、B B到它的距离之和最短到它的距离之和最短 练习练习请你自己动手 试一试！运用新知运用新知练习如图，一个旅游船从大桥练习如图，一个旅游船从大桥AB 的的P 处前往山处前往山脚下的脚下的Q 处接游客，然后将游客送往河岸处接游客，然后将游客送往河岸BC 上，再

7、返上，再返 回回P 处，请画出旅游船的最短路径处，请画出旅游船的最短路径ABCPQ山山河岸河岸大桥大桥运用新知运用新知基本思路：基本思路：由于两点之间线段最短，所以首先可连接由于两点之间线段最短，所以首先可连接PQ，线，线段段PQ 为旅游船最短路径中的必经线路将河岸抽象为为旅游船最短路径中的必经线路将河岸抽象为一条直线一条直线BC，这样问题就转化为，这样问题就转化为“点点P，Q 在直线在直线BC 的同侧，如何在的同侧，如何在BC上找到上找到一点一点R，使，使PR与与QR 的和最的和最小小” ABCPQ山山河岸河岸大桥大桥归纳小结归纳小结（1）本节课研究问题的基本过程是什么？）本节课研究问题的基

8、本过程是什么？ （2）轴对称在所研究问题中起什么作用？）轴对称在所研究问题中起什么作用？已知：如图已知：如图A是锐角是锐角MON内部任意一点，内部任意一点，在在MON的两边的两边OM，ON上各取一点上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小，组成三角形，使三角形周长最小.BCAA”分析：分析：当当ABAB、BCBC和和ACAC三条边三条边的长度恰好能够体现在一条的长度恰好能够体现在一条直线上时，三角形的周长最直线上时，三角形的周长最小小 已知：如图已知：如图A是锐角是锐角MON内部任意一点，内部任意一点，在在MON的两边的两边OM，ON上各取一点上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最

9、小，组成三角形，使三角形周长最小.1. 分别作点分别作点A关于关于OM，ON的对称的对称 点点A，A；2. 连接连接A，A，分别交，分别交OM， ON于点于点B、点、点C， 则点则点B、点、点C即为所求即为所求 2. 如图：如图：C为马厩，为马厩，D为帐篷，牧马人某一天要为帐篷，牧马人某一天要从马厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再到从马厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到帐篷，请你帮他确定这一河边饮马，然后回到帐篷，请你帮他确定这一天的最短路线。天的最短路线。作法作法：1.1.作点作点C C关于直线关于直线 OA的对称点点的对称点点F,F, 2. 2.作点作点D D关于直线关

10、于直线OB 的对称点点的对称点点E,E, 3 3. .连接连接EFEF分别交直线分别交直线OA.OB于点G.H， 则CG+GH+DH最短FAOBD CEGH原题再现原题再现（造桥选址问题）（造桥选址问题）如图如图1，A和和B两地在一条河两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥的两岸，现要在河上造一座桥MN。桥造在何处才能使。桥造在何处才能使从从A到到B的路径的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平行的最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）。直线，桥要与河垂直）。图1类型类型2：平移：平移利用“转化”思想，把相关问题转化为基本类型：原题再现原题再现（造桥选址问题）可转化成以下问题：（造桥选

11、址问题）可转化成以下问题：如图，直线如图，直线a、b平行，平行，N为直线为直线b上的一个动点，上的一个动点，MN垂垂直于直线直于直线b，交直线，交直线a与点与点M。当点。当点N在直线在直线b的什么位的什么位置时，置时，AM+MN+NB最小？最小？lABCAABMNab问题转化为：当点问题转化为：当点N在直线在直线b的什么位置时，的什么位置时，AN+NB最小？最小？问题转化为：当点问题转化为：当点N在直线在直线b的什么位置时，的什么位置时，AM+NB最小？最小？类型类型2：平移：平移利用“转化”思想，把相关问题转化为基本类型：原题再现原题再现（造桥选址问题）可转化成以下问题：（造桥选址问题）可转

12、化成以下问题：如图，直线如图，直线a、b平行，平行，N为直线为直线b上的一个动点，上的一个动点，MN垂垂直于直线直于直线b，交直线，交直线a与点与点M。当点。当点N在直线在直线b的什么位的什么位置时，置时，AM+MN+NB最小？最小？ABMNablABCA问题转化为：当点问题转化为：当点N在直线在直线b的什么位置时，的什么位置时，AN+NB最小？最小？问题转化为：当点问题转化为：当点N在直线在直线b的什么位置时，的什么位置时，AM+NB最小？最小？线段线段AB与直线与直线b的交点的交点N的位置即为所求，即在点的位置即为所求，即在点N处造桥处造桥MN，所得路，所得路径径AMNB是最短的。是最短的

13、。类型类型2：平移：平移利用“转化”思想，把相关问题转化为基本类型：拓展应用：如图，拓展应用：如图，A和和B两地之间有两条河，现要在两两地之间有两条河，现要在两条河上各造一座桥条河上各造一座桥MN和和PQ。桥造在何处才能使从。桥造在何处才能使从A到到B的路径最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与的路径最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）。河垂直）。ABMNPQabcd类型类型2：平移：平移利用“转化”思想，把相关问题转化为基本类型：拓展应用：如图，拓展应用：如图，A和和B两地之间有两条河，现要在两两地之间有两条河，现要在两条河上各造一座桥条河上各造一座桥MN和和PQ。桥造在何处才

14、能使从。桥造在何处才能使从A到到B的路径最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与的路径最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）。河垂直）。ABMNPQABabcd类型类型2：平移：平移利用“转化”思想，把相关问题转化为基本类型：拓展应用：如图，拓展应用：如图，A和和B两地之间有两条河，现要在两两地之间有两条河，现要在两条河上各造一座桥条河上各造一座桥MN和和PQ。桥造在何处才能使从。桥造在何处才能使从A到到B的路径最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与的路径最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）。河垂直）。ABMNPQABabcd线段AB与直线b、c分别交与点N、P，即在点N处建桥MN，在点P处建桥PQ，所得路径AMNPQB最短。类型类型2：平移：平移利用“转化”思想，把相关问题转化为基本类型：