2013年中考数学试卷分类汇编 操作与探究.doc

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1、 1操作与探究操作与探究1、（13 年北京 5 分 22）阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图 1，在边长为)2(aa的正方形 ABCD 各边上分别截取 AE=BF=CG=DH=1，当AFQ=BGM=CHN=DEP=45时，求正方形 MNPQ 的面积。小明发现：分别延长 QE，MF，NG，PH，交 FA，GB，HC，ED 的延长线于点R，S，T，W，可得RQF，SMG，TNH，WPE 是四个全等的等腰直角三角形（如图2）请回答：（1）若将上述四个等腰直角三角形拼成一个新的正方形（无缝隙，不重叠），则这个新的正方形的边长为_；（2）求正方形 MNPQ 的面积。参考小明思考问题的方法，解决问题

2、：如图 3，在等边ABC 各边上分别截取 AD=BE=CF，再分别过点 D，E，F 作BC，AC，AB 的垂线，得到等边RPQ，若33RPQS，则 AD 的长为_。解析：2考点：操作与探究（旋转、从正方形到等边三角形的变式、全等三角形）2、（2013 成都市）如图，ABC，为O上相邻的三个n等分点，弧ABBC，点E在弧BC上，EF为O的直径，将O沿EF折叠，使点A与A重合，连接EB，EC，EA.设EBb，ECc，EAp.先探究, ,b c p三者的数量关系：发现当3n 时， pbc.请继续探究, ,b c p三者的数量关系：当4n 时，p _；当12n 时，p _.（参考数据：62sin15c

3、os754oo，62cos15sin754oo）答案：cb 2； cb213 22或cb 226解析：33、（2013 山西，21，8 分）（本题 8 分）如图，在ABC 中，AB=AC，D 是 BA 延长线上的 一点，点 E 是 AC 的中点。 （1）实践与操作实践与操作：利用尺规按下列要求作图，并在图中标明相应字母（保留作图痕迹，不 写作法）。 作DAC 的平分线 AM。连接 BE 并延长交 AM 于点 F。【解析】解：作图正确，并有痕迹。4连接 BE 并延长交 AM 于点 F。 （2）猜想与证明猜想与证明：试猜想 AF 与 BC 有怎样的位置关系和数量关系，并说明理由。 【解析】解：AF

4、BC 且 AF=BC 理由如下：AB=AC,ABC=CDAC=ABC+C=2C 由作图可知：DAC=2FACC=FAC.AFBC.E 是 AC 的中点， AE=CE, AEF=CEB AEFCEB AF=BC.4、（13 年山东青岛、23）在前面的学习中，我们通过对同一面积的不同表达和比较，根 据图和图发现并验证了平方差公式和完全平方公式 这种利用面积关系解决问题的方法，使抽象的数量关系因集合直观而形象化。【研究速算】 提出问题：提出问题：4743，5654，7971，是一些十位数字相同，且个位数字之和是 10 的 两个两位数相乘的算式，是否可以找到一种速算方法？几何建模：几何建模： 用矩形的

5、面积表示两个正数的乘积，以 4743 为例： （1）画长为 47，宽为 43 的矩形，如图，将这个 4743 的 矩形从右边切下长 40，宽 3 的一条，拼接到原矩形的上面。 （2）分析：原矩形面积可以有两种不同的表达方式，4743 的矩形面积或（4073）40 的矩形与右上角 37 的矩形 面积之和，即 4743（4010）403754100 372021用文字表述 4743 的速算方法是：十位数字 4 加 1 的和与 4 相乘， 再乘以 100，加上个位数字 3 与 7 的积，构成运算结果bbaaabba第 23 题图第 23 题图4043473740第 23 题图5归纳提炼：归纳提炼：

6、两个十位数字相同，并且个位数字之和是两个十位数字相同，并且个位数字之和是 1010 的两位数相乘的速算方法是（用文字表述）的两位数相乘的速算方法是（用文字表述）_ _【研究方程】提出问题：怎么图解一元二次方程?)0(03522xxx几何建模：（1）变形：35)2(xx（2）画四个长为2x，宽为x的矩形，构造图（3）分析：图中的大正方形面积可以有两种不同的表达方式，2)2( xx或四个长2x，宽x的矩形之和，加上中间边长为 2 的小正方形面积即： 222)2(4)2(xxxx 35)2(xx 222354)2( xx 144)22(2x 0x 5x归纳提炼：归纳提炼：求关于x的一元二次方程)0.

7、 0, 0()(cbxcbxx的解要求参照上述研究方法，画出示意图，并写出几何建模步骤（用钢笔或圆珠笔画图，并标 注相关线段的长）【研究不等关系】提出问题：提出问题：怎么运用矩形面积表示)3)(2(yy与52 y的大小关系（其中0y）？几何建模：几何建模：（1）画长3y，宽2y的矩形，按图方式分割（2）变形：)3()2(52yyy（3）分析：图中大矩形的面积可以表示为)3)(2(yy；阴影部分面积可以表示为1)3(y，x+2xxx+2xx+2x+2x第 23 题图11y111y第 23 题图6画点部分的面积可表示为2y，由图形的部分与整体的关系可知：)3)(2(yy)3()2(yy，即)3)(

8、2(yy52 y归纳提炼：归纳提炼： 当2a，2b时，表示ab与ba 的大小关系根据题意，设ma 2，)0, 0(2nmnb，要求参照上述研究方法，画出示意图，并写出几何建模步骤（用钢笔或圆珠笔画图，并标注相关线段的长）解析：5、(2013 年江西省)某数学活动小组在作三角形的拓展图形，研究其性质时，经历了如下 过程：操作发现：在等腰ABC中，AB=AC，分别以AB和AC为斜边，向ABC的外侧作等腰直角三角 形，如图 1 所示，其中DFAB于点F，EGAC于点G，M是BC的中点，连接MD和7ME，则下列结论正确的是 （填序号即可）AF=AG=21AB；MD=ME；整个图形是轴对称图形；DAB=

9、DMB数学思考：在任意ABC中，分别以AB和AC为斜边，向ABC的外侧作等腰直角三角形，如 图 2 所示，M是BC的中点，连接MD和ME，则MD和ME具有怎样的数量和位置关系？ 请给出证明过程； 类比探索：在任意ABC中，仍分别以AB和AC为斜边，向ABC的内侧作等腰直角三角形， 如图 3 所示，M是BC的中点，连接MD和ME，试判断MED的形状答： 【答案答案】 解：操作发现： 数学思考： 答：MD=ME，MDME， 、MD=ME； 如图 2，分别取AB，AC的中点F，G，连接DF，MF，MG，EG， M是BC的中点，MFAC，MF=21AC又EG是等腰 RtAEC斜边上的中线，EGAC且E

10、G=21AC，MF=EG 同理可证DF=MGMFAC， MFABAC=180 同理可得MGA+BAC=180， MFA=MGA 又EGAC，EGA=90 同理可得DFA=90， MFA+DFA=MGA=EGA， 即DFM=MEG，又MF=EG，DF=MG， DFMMGE（SAS）， MD=ME 2、MDME；8证法一：MGAB， MFA+FMG=180， 又DFMMGE，MEG=MDF. MFA+FMD+DME+MDF=180， 其中MFA+FMD+MDF=90，DME=90. 即MDME； 证法二：如图 2，MD与AB交于点H， ABMG， DHA=DMG， 又DHA=FDM+DFH, 即D

11、HA=FDM+90, DMG=DME+GME，DME=90 即MDME； 类比探究 答：等腰直角三解形 【考点解剖考点解剖】 本题考查了轴对称、三角形中位线、平行四边形、直角三角形斜边上的中 线等于斜边的一半、全等、角的转化等知识，能力要求很高 【解题思路解题思路】 （1） 由图形的对称性易知、都正确，DAB=DMB=45也正 确；（2）直觉告诉我们MD和ME是垂直且相等的关系，一般由全等证线段相等，受图 1 DFMMGE的启发，应想到取中点构造全等来证MD=ME，证MDME就是要证DME=90， 由DFMMGE得EMG=MDF, DFM中四个角相加为 180，FMG可看成三个角的和， 通过变

12、形计算可得DME=90 （3）只要结论，不要过程，在（2）的基础易知为等腰直 角三解形. 【解答过程解答过程】 略. 【方法规律方法规律】 由特殊到一般，形变但本质不变（仍然全等）【关键词关键词】 课题学习 全等 开放探究6、（2013 山西，25，13 分）（本题 13 分）数学活动数学活动求重叠部分的面积。求重叠部分的面积。 问题情境问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题： 如图，将两块全等的直角三角形纸片ABC 和DEF 叠放在一起，其中ACB=E=90， BC=DE=6，AC=FE=8，顶点 D 与边 AB 的中点重合，DE 经过点 C，DF 交 AC 于点 G。 求重叠部分（DC

13、G）的面积。 （1）独立思考：请解答老师提出的问题。 【解析】解：ACB=90D 是 AB 的中点,DC=DB=DA,B=DCBGEFCBAD（25 题 （1）9又ABCFDE，FDE=BFDE=DCB,DGBCAGD=ACB=90DGAC 又DC=DA,G 是 AC 的中点,CG=1 2AC=1 28=4,DG=1 2BC=1 26=3SDCG=1 2CGDG=1 243=6（2）合作交流：“希望”小组受此问题的启发，将DEF 绕点 D 旋转，使 DEAB 交 AC 于 点 H，DF 交 AC 于点 G，如图(2)，你能求出重叠部分(DGH)的面积吗？请写出解答过程。【解析】解法一：ABCF

14、DE,B=1321GHEFCBADC=90,EDAB,A+B=90, A+2=90, B=2,1=2 GH=GD A+2=90,1+3=90 A=3,AG=GD，AG=GH 点 G 是 AH 的中点， 在 RtABC 中，AB= 10D 是 AB 的中点，AD=1 2AB=5在ADH 与ACB 中，A =A，ADH=ACB=90,ADHACB, AD AC=DH CB,5 8=6DH,DH=15 4,SDGH1 2SADH1 21 2DHAD=1 415 45=75 16（25 题 （2）10解法二：同解法一，G 是 AH 的中点，321GHE FCBAD连接 BH，DEAB，D 是 AB 的

15、中点，AH=BH，设 AH=x 则 CH- 在 RtBCH 中，CH2+BC2=BH2，即（8-x）2+36=x2，解得 x=SABH=AHBC=1 225 46=75 4S=1 2SADH=1 21 2SABH=1 475 4=75 16.32 1NM GHE FCBAD解法三：同解法一，1=2 连接 CD，由（1）知，B=DCB=1，1=2=B=DCB，DGHBDC, 作 DMAC 于点 M，CNAB 于点 N，D 是 AB 的中点，ACB=90CD=AD=BD，点 M 是 AC 的中点，DM=1 2BC=1 26=3在 RtABC 中，AB=222286ACBC=10，1 2ACBC=1

16、 2ABCN，CN8 624 105ACBC AB.DGHBDC, 2 DGHBCDCSDM SCNAA,2DGHBCDCDMSSCNAA=21 2DMBD CNCN（25 题 （2）（25 题 （2）1123125755252416 4DGHS A（3）提出问题提出问题：老师要求各小组向“希望”小组学习，将DEF 绕点 D 旋转，再提出一个 求重叠部分面积的问题。“爱心”小组提出的问题是：如图(3)，将DEF 绕点 D 旋转， DE，DF 分别交 AC 于点 M，N，使 DM=MN 求重叠部分(DMN)的面积、 任务：请解决“爱心”小组所提出的问题，直接写出DMN 的面积是 请你仿照以上两个

17、小组，大胆提出一个符合老师要求的问题，并在图中画出图形，标明 字母，不必解答（注：也可在图（1）的基础上按顺时针方向旋转）。NMEFCBADNMEFCBAD【答案】75 16注：此题答案不唯一，语言表达清晰、准确得 1 分，画图正确得 1 分，重叠部分未涂阴影不扣分。示例：如图，将DEF 绕点 D 旋转，使 DEBC 于点 M，DF 交 AC 于点 N，求重叠部分（四边形 DMCN）的面积。（25 题 （3）（25 题 （4） 127、（2013 达州）通过类比联想、引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的。 下面是一个案例，请补充完整。FF 原题：如图 1，点 E、F 分别在正方形 A

18、BCD 的边 BC、CD 上，EAF=45，连接 EF，则 EF=BE+DF，试说明理由。 （1）思路梳理 AB=CD， 把ABE 绕点 A 逆时针旋转 90至ADG，可使 AB 与 AD 重合。 ADC=B=90， FDG=180，点 F、D、G 共线。 根据_SAS_，易证AFG_AFE_，得 EF=BE+DF。 （2）类比引申 如图 2，四边形 ABCD 中，AB=AD，BAD=90点 E、F 分别在边 BC、CD 上，EAF=45。 若B、D 都不是直角，则当B 与D 满足等量关系_互补_时，仍有 EF=BE+DF。 （3）联想拓展 如图 3，在ABC 中，BAC=90，AB=AC，点

19、 D、E 均在边 BC 上，且DAE=45。猜想 BD、DE、EC 应满足的等量关系，并写出推理过程。解：BD2+EC2=DE2解析：(1)SAS(1 分）AFE(2 分） (2)B+D=180(4 分） (3)解：BD2+EC2=DE2.(5 分） AB=AC， 把ABD 绕 A 点逆时针旋转 90至ACG，可使 AB 与 AC 重合. ABC 中，BAC=90. ACB+ACG=ACB+B=90,即ECG=90. EC2+CG2=EG2.(7 分） 在AEG 与AED 中,EAG=EAC+CAG=EAC+BAD=90-EAD=45=EAD, 又AD=AG，AE=AE，AEGAED. DE=

20、EG.又CG=BD, BD2+EC2=DE2.(9 分）138、（2013 陕西压轴题）问题探究问题探究 （1）请在图中作出两条直线，使它们将圆面四等分； （2）如图，M 是正方形 ABCD 内一定点，请在图中作出两条直线（要求其中一条直线 必须过点 M），使它们将正方形 ABCD 的面积四等分，并说明理由. 问题解决问题解决 （3）如图，在四边形 ABCD 中，ABCD，AB+CD=BC，点 P 是 AD 的中点，如果 AB=a，CD=b，且ab ，那么在边 BC 上是否存在一点 Q，使 PQ 所在直线将四边形 ABCD 的面积分成相等的两部分？若存在，求出 BQ 的长；若不存在，说明理由.

21、考点：本题陕西近年来考查的有：折叠问题，勾股定理，矩形性质，正方形的性质，面积考点：本题陕西近年来考查的有：折叠问题，勾股定理，矩形性质，正方形的性质，面积 问题及最值问题，位似的性质应用等。此题考查对图形的面积等分问题。问题及最值问题，位似的性质应用等。此题考查对图形的面积等分问题。 解析：此题主要考查学生的阅读问题的能力，综合问题的能力，动手操作能力，问题的转解析：此题主要考查学生的阅读问题的能力，综合问题的能力，动手操作能力，问题的转 化能力，分析图形能力和知识的迁徙能力，从特殊图形到一般的过渡，从特殊中发现关系化能力，分析图形能力和知识的迁徙能力，从特殊图形到一般的过渡，从特殊中发现关

22、系 到一般的知识迁移的过程。到一般的知识迁移的过程。 （1 1）问较易解决，圆内两条互相垂直的直径即达到目的。）问较易解决，圆内两条互相垂直的直径即达到目的。 （2 2）问中其实在八年级学习四边形时好可解决此类问题。平行四边形过对角线的交点的直）问中其实在八年级学习四边形时好可解决此类问题。平行四边形过对角线的交点的直 线将平行四边形分成面积相等的两个部分。而在正方形中就更特殊，常见的是将正方形重线将平行四边形分成面积相等的两个部分。而在正方形中就更特殊，常见的是将正方形重 叠在一起旋转的过程中的图形的面积不变的考查，此题有这些知识的积累足够解决。叠在一起旋转的过程中的图形的面积不变的考查，此

23、题有这些知识的积累足够解决。 （3 3）问中可以考虑构造（）问中可以考虑构造（1 1）（）（2 2）中出现的特殊四边形来解决。也可以用中点的性质来解）中出现的特殊四边形来解决。也可以用中点的性质来解 决。在中学数学中中点就有两个方面的应用，一是中线（倍长中线构造全等三角形或者是决。在中学数学中中点就有两个方面的应用，一是中线（倍长中线构造全等三角形或者是 平行四边形）二是中位线的应用。平行四边形）二是中位线的应用。 解：（解：（1 1）如图）如图所示所示 （2 2）如图如图，连接，连接 ACAC、BDBD 相交于点相交于点 O O，作直线，作直线 OMOM 分别交分别交 ADAD、BCBC 于

24、于 P P、Q Q 两点，过点两点，过点 O O 作作 用用 OMOM 的垂线分别交的垂线分别交 ABAB、CDCD 于于 E E、F F 两点，则直线两点，则直线 OMOM、EFEF 将正方形将正方形 ABCDABCD 的面积四等分的面积四等分. . 理由如下：理由如下：答图ABCDM（第（第 25 题答案图）题答案图）答图OPQFE图 图ABCDMB图ACD P（第（第 25 题图）题图）14点点 O O 是正方形是正方形 ABCDABCD 对角线的交点，对角线的交点，点点 O O 是正方形是正方形 ABCDABCD 的对称中心的对称中心 AP=CQAP=CQ，EB=DFEB=DF， D

25、D 在在AOPAOP 和和EOBEOB 中，中， AOP=90-AOEAOP=90-AOE，BOE=90-AOEBOE=90-AOEAOP=BOEAOP=BOE OA=OBOA=OB，OAP=EBO=45AOPEOBOAP=EBO=45AOPEOBAP=BE=DF=CQAP=BE=DF=CQ AE=BQ=CF=PDAE=BQ=CF=PD 设点设点 O O 到正方形到正方形 ABCDABCD 一边的距离为一边的距离为d. .dDFPDdCFCQdBQBEdAEAP)(21)(21)(21)(21POFDCQOFBEOQAPOESSSS四边形四边形四边形四边形直线直线 EFEF、PQPQ 将正方形

26、将正方形 ABCDABCD 面积四等分面积四等分 另解：另解：点点 O O 是正方形是正方形 ABCDABCD 对角线的交点，对角线的交点，点点 O O 是正方形是正方形 ABCDABCD 的中心的中心OA=OB=OC=ODOA=OB=OC=OD OAP=OBE=OCQ=ODF=45OAP=OBE=OCQ=ODF=45 PQEFPQEF，POD+DOF=90POD+DOF=90，POD+POA=90POD+POA=90 POA=DOFPOA=DOF 同理：同理：POA=DOF=BOE=COQPOA=DOF=BOE=COQAOPBOECOQDOFAOPBOECOQDOFABCDPOFDCQOFB

27、EOQAPOESSSSS正方形四边形四边形四边形四边形41直线直线 EFEF、PQPQ 将正方形将正方形 ABCDABCD 面积四等分面积四等分 （3 3） 存在存在. .当当 BQ=CD=BQ=CD=b时，时，PQPQ 将四边形将四边形 ABCDABCD 面积二等分面积二等分. . 理由如下：如图理由如下：如图，延长，延长 BABA 至点至点 E E，使，使 AE=AE=b， 延长延长 CDCD 至点至点 F F，使，使 DF=DF=a，连接 EF. BECFBECF，BE=CFBE=CF 四边形四边形 BCFEBCFE 为平行四边形，为平行四边形， BC=BE=BC=BE=a+b，平行四边

28、形平行四边形 DBFEDBFE 为菱形为菱形 连接连接 BFBF 交交 ADAD 于点于点 M M，则，则MABMDFMABMDF AM=DM.AM=DM.即点即点 P P、M M 重合重合. . 点点 P P 是菱形是菱形 EBCFEBCF 对角线的交点，对角线的交点， 在在 BCBC 上截取上截取 BQ=CD=BQ=CD=b，则，则 CQ=AB=CQ=AB=a. . 设点设点 P P 到菱形到菱形 EBCFEBCF 一边的距离为一边的距离为dCDPCQPQBPABPSSdCDCQdBQABSS)(21)(21所以当所以当 BQ=BQ=b时，直线时，直线 PQPQ 将四边形将四边形 ABCD

29、ABCD 的面积分成相等的两部分的面积分成相等的两部分. .另解：存在另解：存在. .当当 BQ=CD=BQ=CD=b时，时，PQPQ 将四边形将四边形 ABCDABCD 面积二等分面积二等分. . 理由如下：如图理由如下：如图，连接，连接 BPBP 并延长并延长 BPBP 交交 CDCD 延长线于点延长线于点 F F，连接，连接 CPCP 点点 P P 是是 ADAD 的中点，的中点，PA=PDPA=PD ABCDABCD，ABP=DFPABP=DFP，APB=DPFAPB=DPF APBDPFAPBDPFAB=DFAB=DF，PB=PFPB=PF，所以，所以 CPCP 是是CBFCBF 的

30、中线，的中线，CPFCPBSSAB+CD=BCAB+CD=BC，DF+CD=BCDF+CD=BC，即：，即：CB=CFCB=CF，CBF=CFBCBF=CFBB答图ACD P（第（第 25 题答案图）题答案图）MQFEB答图ACD P（第（第 25 题答案图）题答案图）QF15ABP=DFPABP=CBPABP=DFPABP=CBP 即即 PBPB 是角平分线是角平分线. . 点点 P P 到到 ABAB 与与 CBCB 的距离相等，的距离相等， BQ=BQ=b，所以所以 CQ=AB=CQ=AB=a CQPABPSSQCDPABQPSS四边形四边形所以当所以当 BQ=BQ=b时，直线时，直线 PQPQ 将四边形将四边形 ABCDABCD 的面积分成相等的两部分的面积分成相等的两部分. .