2013年中考数学试卷分类汇编 代数几何综合.doc

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1、 1代数几何综合代数几何综合1、（2013 年潍坊市压轴题）如图，抛物线cbxaxy2关于直线1x对称，与坐标轴交于CBA、三点，且4AB,点 232、D在抛物线上，直线是一次函数02kkxy的图象，点O是坐标原点.（1）求抛物线的解析式； （2）若直线平分四边形OBDC的面积，求k的值. （3）把抛物线向左平移 1 个单位，再向下平移 2 个单位，所得抛物线与直线交于NM、两点，问在y轴正半轴上是否存在一定点P，使得不论k取何值，直线PM与PN总是关于y轴对称？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由.答案：（1）因为抛物线关于直线 x=1 对称，AB=4，所以 A(-1，0),B(3，0

2、),由点 D(2，1.5)在抛物线上，所以 5 . 124 0 cbacba，所以 3a+3b=1.5,即 a+b=0.5,又12ab，即b=-2a,代入上式解得a=-0.5,b=1,从而 c=1.5,所以23 212xxy.（2）由（1）知23 212xxy，令 x=0,得 c(0,1.5),所以 CD/AB,令kx-2=1.5,得l与 CD 的交点 F(23,27 k)，令kx-2=0，得l与x轴的交点 E(0 ,2 k)，根据 S四边形 OEFC=S四边形 EBDF得：OE+CF=DF+BE,即：,511),272()23(272kkkkk解得（3）由（1）知, 2) 1(21 23 2

3、122xxxy所以把抛物线向左平移 1 个单位，再向下平移 2 个单位，所得抛物线的解析式为2 21xy2假设在 y 轴上存在一点 P(0，t)，t0，使直线 PM 与 PN 关于 y 轴对称，过点 M、N 分别向 y 轴作垂线 MM1、NN1，垂足分别为 M1、N1，因为MPO=NPO,所以 RtMPM1RtNPN1,所以1111 PNPM NNMM,(1)不妨设 M(xM,yM)在点 N(xN,yN)的左侧，因为 P 点在 y 轴正半轴上，则（1）式变为NMNM ytyt xx ,又 yM =k xM-2, yN=k xN-2, 所以（t+2）(xM +xN)=2k xM xN,(2)把

4、y=kx-2(k0)代入2 21xy中，整理得 x2+2kx-4=0,所以 xM +xN=-2k, xM xN=-4,代入（2）得 t=2,符合条件， 故在 y 轴上存在一点 P（0,2），使直线 PM 与 PN 总是关于 y 轴对称. 考点：本题是一道与二次函数相关的压轴题，综合考查了考查了二次函数解析式的确定， 函数图象交点及图形面积的求法，三角形的相似，函数图象的平移，一元二次方程的解法 等知识，难度较大. 点评：本题是一道集一元二次方程、二次函数解析式的求法、相似三角形的条件与性质以 及质点运动问题、分类讨论思想于一体的综合题，能够较好地考查了同学们灵活应用所学 知识，解决实际问题的能

5、力。问题设计富有梯度、由易到难层层推进，既考查了知识掌握， 也考查了方法的灵活应用和数学思想的形成。2、（绵阳市 2013 年）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象的顶点C的坐标为（0，-2）， 交 x 轴于A、B两点，其中A（-1，0），直线l：x=m（m1）与x轴交于D。 （1）求二次函数的解析式和B的坐标； （2）在直线l上找点P（P在第一象限），使得以 P、D、B为顶点的三角形与以B、C、O为顶点的三角 形相似，求点P的坐标（用含m的代数式表示）； （3）在（2）成立的条件下，在抛物线上是否存在第 一象限内的点Q，使BPQ 是以P为直角顶点的等腰 直角三角形？如果存在，请求出点Q的

6、坐标；如果不 存在，请说明理由。 解：（1）二次函数 y=ax2+bx+c 图象的顶点C的坐标为（0，-2），c = -2 , - , b=0 ,b 2a = 0点 A(-1,0)、点 B 是二次函数 y=ax2-2 的图象与 x 轴 的交点，a-2=0,a=2. 二次函数的解析式为 y=2x2-2； 点 B 与点 A(-1,0)关于直线 x=0 对称，点 B 的坐标为（1，0）； （2）BOC=PDB=90，点 P 在直线 x=m 上， 设点 P 的坐标为（m,p）, OB=1， OC=2， DB= m-1 , DP=|p| ，当BOCPDB 时，,p= 或 p = ,OB OC= DPDB

7、1 2= |p| m - 1m - 1 21 - m 2ABCDOxyl3点 P 的坐标为（m，）或（m，）；m - 1 21 - m 2当BOCBDP 时， ，p=2m-2 或 p=2-2m,OB OC= DBDP1 2= m - 1|p|点 P 的坐标为（m，2m-2）或（m，2-2m）；综上所述点 P 的坐标为（m，）、（m，）、（m，2m-2）或（m，2-2m）；m - 1 21 - m 2（3）不存在满足条件的点 Q。 点 Q 在第一象限内的抛物线 y=2x2-2 上， 令点 Q 的坐标为（x, 2x2-2），x1, 过点 Q 作 QE直线 l , 垂足为 E，BPQ 为等腰直角三角

8、形，PB=PQ，PEQ=PDB， EPQ=DBP，PEQBDP，QE=PD，PE=BD， 当 P 的坐标为（m，）时，m - 1 2m-x = ， m=0 m=1m - 1 22x2-2- = m-1, x= x=1 m - 1 21 2与 x1 矛盾,此时点 Q 不满足题设条件； 当 P 的坐标为（m，）时，1 - m 2x-m= m=- m=1m - 1 22 92x2-2- = m-1, x=- x=1 1 - m 25 6与 x1 矛盾,此时点 Q 不满足题设条件； 当 P 的坐标为（m，2m-2）时，m-x =2m-2 m= m=19 22x2-2-(2m-2) = m-1, x=-

9、 x=15 2与 x1 矛盾,此时点 Q 不满足题设条件； 当 P 的坐标为（m，2-2m）时，x- m = 2m-2 m= m=15 182x2-2-(2-2m) = m-1 x=- x=17 6与 x1 矛盾,此时点 Q 不满足题设条件； 综上所述，不存在满足条件的点 Q。43、 （2013昆明压轴题）如图，矩形 OABC 在平面直角坐标系 xOy 中，点 A 在 x 轴的正半轴 上，点 C 在 y 轴的正半轴上，OA=4，OC=3，若抛物线的顶点在 BC 边上，且抛物线经过 O，A 两点，直线 AC 交抛物线于点 D （1）求抛物线的解析式； （2）求点 D 的坐标； （3）若点 M 在

10、抛物线上，点 N 在 x 轴上，是否存在以 A，D，M，N 为顶点的四边形是平行 四边形？若存在，求出点 N 的坐标；若不存在，请说明理由考点： 二次函数综合题专题： 综合题5分析： （1）由 OA 的长度确定出 A 的坐标，再利用对称性得到顶点坐标，设出抛物线的顶 点形式 y=a（x2）2+3，将 A 的坐标代入求出 a 的值，即可确定出抛物线解析式； （2）设直线 AC 解析式为 y=kx+b，将 A 与 C 坐标代入求出 k 与 b 的值，确定出直线 AC 解析式，与抛物线解析式联立即可求出 D 的坐标； （3）存在，分两种情况考虑：如图所示，当四边形 ADMN 为平行四边形时，DMAN

11、，DM=AN，由对称性得到 M（3， ） ，即 DM=2，故 AN=2，根据 OA+AN 求出 ON的长，即可确定出 N 的坐标；当四边形 ADMN为平行四边形，可得三角形 ADQ 全等于三角形 NMP，MP=DQ= ，NP=AQ=3，将 y= 代入得： = x2+3x，求出 x 的值，确定出 OP 的长，由 OP+PN求出 ON的长即可确定出 N坐标 解答： 解：（1）设抛物线顶点为 E，根据题意 OA=4，OC=3，得：E（2，3） ， 设抛物线解析式为 y=a（x2）2+3，将 A（4，0）坐标代入得：0=4a+3，即 a= ，则抛物线解析式为 y= （x2）2+3= x2+3x；（2）

12、设直线 AC 解析式为 y=kx+b（k0） ，将 A（4，0）与 C（0，3）代入得：，解得：，故直线 AC 解析式为 y= x+3，与抛物线解析式联立得：，解得：或，则点 D 坐标为（1， ） ；（3）存在，分两种情况考虑： 当点 M 在 x 轴上方时，如答图 1 所示：6四边形 ADMN 为平行四边形，DMAN，DM=AN，由对称性得到 M（3， ） ，即 DM=2，故 AN=2，N1（2，0） ，N2（6，0） ； 当点 M 在 x 轴下方时，如答图 2 所示：过点 D 作 DQx 轴于点 Q，过点 M 作 MPx 轴于点 P，可得ADQNMP，MP=DQ= ，NP=AQ=3，将 yM

13、= 代入抛物线解析式得： = x2+3x，解得：xM=2或 xM=2+，xN=xM3=1 或1， N3（1，0） ，N4（1，0） 综上所述，满足条件的点 N 有四个：N1（2，0） ，N2（6，0） ，N3（1，0） ， N4（1，0） 点评： 此题考查了二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定抛物线解析式，一次 函数与二次函数的交点，平行四边形的性质，以及坐标与图形性质，是一道多知识 点的探究型试题4、（2013 陕西）在平面直角坐标系中，一个二次函灵敏的图象经过点 A（1，0）、 B（3，0）两点 （1）写出这个二次函数的对称轴； （2）设这个二次函数的顶点为 D，与 y 轴交于点

14、C， 它的对称轴与 x 轴交于点 E，连接 AD、DE 和 DB， 当AOC 与DEB 相似时，求这个二次函数的表达式。 提示：如果一个二次函数的图象与提示：如果一个二次函数的图象与 x x 轴的交点轴的交点（第 24 题图）y-1Ox2-11123-237为为)0 ,(),0 ,(21xBxAA A，那么它的表达式可表示，那么它的表达式可表示为：为：)(21xxxxay 考点：此题在陕西的中考中也较固定，第（考点：此题在陕西的中考中也较固定，第（1 1）问主要考查待定）问主要考查待定 系数法求二次函数的解析式，二次函数与坐标轴的交点坐标，系数法求二次函数的解析式，二次函数与坐标轴的交点坐标，

15、 抛物线的对称性等简单问题。第二问主要考查二次函数综合应用之点的存在性问题；包括抛物线的对称性等简单问题。第二问主要考查二次函数综合应用之点的存在性问题；包括 最短距离与面积的最值等（等腰三角形，平行四边形，正方形，相似三角形，相似，全等最短距离与面积的最值等（等腰三角形，平行四边形，正方形，相似三角形，相似，全等 等问题。考查问题的综合能力要求较高，基本上都是转化为求点的坐标的过程。等问题。考查问题的综合能力要求较高，基本上都是转化为求点的坐标的过程。 解析：本题中（解析：本题中（1 1）由抛物线的轴对称性可知，与）由抛物线的轴对称性可知，与 x x 轴的两个交点关于对称轴对称，易求出轴的两

16、个交点关于对称轴对称，易求出 对称轴；对称轴； （2 2）由提示中可以设出函数的解析式，将顶点）由提示中可以设出函数的解析式，将顶点 D D 与与 E E 的坐标表示出来，从而将两个三角形的坐标表示出来，从而将两个三角形 的边长表示出来，而相似的确定过程中充分考虑到分类即可解决此题；的边长表示出来，而相似的确定过程中充分考虑到分类即可解决此题； 解：（解：（1 1）对称轴为直线：）对称轴为直线：x=2x=2。（2 2）AA（1 1，0 0）、）、B B（3 3，0 0），所以设），所以设)3)(1(xxay即即aaxaxy342当当 x=0x=0 时，时，y=3ay=3a，当，当 x=2x=2

17、 时，时，y=y=a CC（0 0，3a3a），），D(2,-a)D(2,-a) OC=|3a|,OC=|3a|, AA（1 1，0 0）、）、E E（2 2，0 0），），OA=1,EB=1,DE=-a|=|a|OA=1,EB=1,DE=-a|=|a| 在在AOC 与DEB 中，AOC=DEB=90AOC=DEB=90当当EBDE OCAO时，时，AOCDEB1| |3|1a a时，解得时，解得33a或或33a当当DEEB OCAO时，时，AOCBED|1 |3|1 aa时，此方程无解，时，此方程无解，综上所得：所求二次函数的表达式为：综上所得：所求二次函数的表达式为：3334 332xxy

18、或或3334 332xxy5、（2013 成都市压轴题）在平面直角坐标系中，已知抛物线21y2xbxc （b,c 为常数）的顶点为 P,等腰直角三角形 ABC 的顶点 A 的坐标为（0，-1），C 的坐标为（4,3）， 直角顶点 B 在第四象限。 （1）如图，若该抛物线过 A,B 两点，求抛物线的函数表达式； （2）平（1）中的抛物线，使顶点 P 在直线 AC 上滑动，且与 AC 交于另一点 Q. i）若点 M 在直线 AC 下方，且为平移前（1）中的抛物线上点，当以 M,P,Q 三点为8顶点的三角形是等腰三角形时，求出所有符合条件的 M 的坐标；ii）取 BC 的中点 N,连接 NP,BQ。

19、试探究PQ NPBQ是否存在最大值？若存在，求出该最大值；所不存在，请说明理由。解析：（1）A(0,-1) C(4,3) 则AC=22(40)( 1 3)4 2 ABC 为等腰直角三角形 AB=BC=4 B 点(4,-1)将 A,B 代入抛物线方程有1 116412cbc 1 2c b 21212yxx （2）当顶点 P 在直线 AC 上滑动时，平移后抛物线与 AC 另一交点 Q 就是 A 点沿直线 AC 滑 动同样的单位。下面给予证明：原抛物线2211(44) 1(2)122yxxx 顶点 P 为(2,1)设平移后顶点 P 为(a,a-1),则平移后抛物线21()12yxaa 联立 y=x-

20、1(直线 AC方程) 得 Q 点为（a-2,a-3）PQ=2 2 即实际上是线段 AP 在直线 AC 上的滑动.）点 M 在直线 AC 下方，且 M,P,Q 构成等腰直角三角形，那么先考虑使 MP,Q 构成等腰直 角三角形的 M 点的轨迹，再求其轨迹与抛物线的交点以确定 M 点.若M 为直角，则 M 点轨迹即为 AC 下方距 AC 为 MH 且与 AC 平行的直线 l9又知PQ=2 2 ，则MH=2 PM=2直线 l 即为 AC 向下平移PM=2 个单位 L:y=x-3 联立21212yxx 得 x=15 M 点为（1+5，5-2）或（1-5，-5-2）若P=或Q 为直角，即 PQ 为直角边，

21、MQPQ 且，MQ=PQ=2 2或 MPPQ,且 MP=PQ=2 2,M 点轨迹是 AC 下方距 AC 为2 2且与 AC 平行直线 L直线 L 即为 AC 向下平移MP=4 个单位L:y=x-5 联立21212yxx 得 x=4 或 x=-2M 点为(4,-1)或（-2，-7）综上所有符合条件的点 M 为（1+5，5-2）（4,-1）；（1-5，-5-2）,（-2，-7）)知 PQ=2 2 PQ MPBQ有最大值，即 NP+BQ 有最小值如下图，取 AB 中点 M，连结 QM,NM,知 N 为中点MN 为 AC 边中位线，MNAC 且 MN=1 2AC=2 2=PQMN PQA MNPQ 为

22、平行四边形即 PN=QM QB+PN=BQ+MQ此时，作 B 点关于 AC 对称的点 B,连B Q,B MB M交 AC 于点 H，易知B Q=BQBQ+PN=B Q+MQB M(三角形两边之和大于第三边)仅当 Q 与 H 重合时，取等号10即 BQ+PN 最小值存在 且最小值为B M 连结A B知ABB为等腰直角三角形。A B=4，AM=1 2AB=2 由勾股定理得2 5B MPQ NPBQ最大值存在，且最大值为2 210 52 56、（2013 山西压轴题，26，14 分）（本题 14 分）综合与探究：如图,抛物线213442yxx与 x 轴交于 A,B 两点(点 B 在点 A 的右侧)与

23、 y 轴交于点 C,连接 BC,以 BC为一边,点 O 为对称中心作菱形 BDEC,点 P 是 x 轴上的一个动点,设点 P 的坐标为（m，0），过点 P 作 x 轴的垂线 l 交抛物线于点 Q（1）求点 A,B,C 的坐标。 （2）当点 P 在线段 OB 上运动时，直线 l 分别交 BD，BC 于点 M,N。试探究 m 为何值时，四 边形 CQMD 是平行四边形，此时，请判断四边形 CQBM 的形状，并说明理由。 （3）当点 P 在线段 EB 上运动时，是否存在点 Q，使BDQ 为直角三角形，若存在，请直 接写出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由。解析：（1）当 y=0 时，2134042

24、xx，解得，122,8xx 点 B 在点 A 的右侧， 点 A,B 的坐标分别为：（-2，0），（8，0） 当 x=0 时，y=-4 点 C 的坐标为（0，-4），11（2）由菱形的对称性可知，点 D 的坐标为（0，4）.设直线 BD 的解析式为ykxb，则480bkb.解得，k=1 2，b=4. 直线 BD 的解析式为142yx .lx 轴，点 M，Q 的坐标分别是（m，142m），（m，213442mm）如图，当 MQ=DC 时，四边形 CQMD 是平行四边形.（142m）-(213442mm)=4-(-4)化简得：240mm.解得，m1=0，（舍去）m2=4.当 m=4 时，四边形 CQ

25、MD 是平行四边形. 此时，四边形 CQBM 是平行四边形. 解法一：m=4，点 P 是 OB 中点.lx 轴，ly 轴.BPMBOD.1 2BPBM BOBD.BM=DM.四边形 CQMD 是平行四边形，DMCQBMCQ.四边形 CQBM 为平行四边形.解法二：设直线 BC 的解析式为 y=k1x+b1，则111480bkb .解得，k1=1 2，b1=-4直线 BC 的解析式为 y=1 2x-4又lx 轴交 BC 于点 N.x=4 时，y=-2. 点 N 的坐标为（4，-2）由上面可知，点 M,Q 的坐标分别为：（4，2），Q(4,-6). MN=2-（-2）=4，NQ=-2-（-6）=4

26、.MN=QN. 又四边形 CQMD 是平行四边形.DBCQ，3=4， 又1=2，BMNCQN.BN=CN. 四边形 CQBM 为平行四边形. （3）抛物线上存在两个这样的点 Q，分别是 Q1（-2，0），Q2（6，-4）.7、（2013内江）如图，在等边ABC 中，AB=3，D、E 分别是 AB、AC 上的点，且 DEBC，将ADE 沿 DE 翻折，与梯形 BCED 重叠的部分记作图形 L （1）求ABC 的面积； （2）设 AD=x，图形 L 的面积为 y，求 y 关于 x 的函数解析式； （3）已知图形 L 的顶点均在O 上，当图形 L 的面积最大时，求O 的面积12考点： 相似形综合题分

27、析： （1）作 AHBC 于 H，根据勾股定理就可以求出 AH，由三角形的面积公式就可以求 出其值； （2）如图 1，当 0x1.5 时，由三角形的面积公式就可以表示出 y 与 x 之间的函 数关系式，如图 2，当 1.5x3 时，重叠部分的面积为梯形 DMNE 的面积，由梯形 的面积公式就可以求出其关系式； （3）如图 4，根据（2）的结论可以求出 y 的最大值从而求出 x 的值，作 FODE 于 O，连接 MO，ME，求得DME=90，就可以求出O 的直径，由圆的面积公式就可以 求出其值 解答： 解：（1）如图 3，作 AHBC 于 H， AHB=90 ABC 是等边三角形， AB=BC=

28、AC=3 AHB=90，BH=BC= 在 RtABC 中，由勾股定理，得AH=SABC=；（2）如图 1，当 0x1.5 时，y=SADE 作 AGDE 于 G， AGD=90，DAG=30，DG=x，AG=x，y=x2，a=0，开口向上，在对称轴的右侧 y 随 x 的增大而增大，x=1.5 时，y最大=，如图 2，当 1.5x3 时，作 MGDE 于 G， AD=x， BD=DM=3x， DG=（3x） ，MF=MN=2x3，MG=（3x） ，y=，14=；（3） ，如图 4，y=；y=（x24x），y=（x2）2+，a=0，开口向下，x=2 时，y最大=，y 最大时，x=2， DE=2，B

29、D=DM=1作 FODE 于 O，连接 MO，ME DO=OE=1， DM=DO MDO=60， MDO 是等边三角形， DMO=DOM=60，MO=DO=1 MO=OE，MOE=120， OME=30， DME=90， DE 是直径， SO=12=15点评： 本题考查了等边三角形的面积公式的运用，梯形的面积公式的运用，勾股定理的运 用，圆周角定理的运用，圆的面积公式的运用，等边三角形的性质的运用，二次函 数的性质的运用，解答时灵活运用等边三角形的性质是关键8、 （2013新疆压轴题）如图，已知抛物线 y=ax2+bx+3 与 x 轴交于 A、B 两点，过点 A 的直 线 l 与抛物线交于点

30、C，其中 A 点的坐标是（1，0） ，C 点坐标是（4，3） （1）求抛物线的解析式； （2）在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点 D，使BCD 的周长最小？若存在，求出点 D 的坐标，若不存在，请说明理由； （3）若点 E 是（1）中抛物线上的一个动点，且位于直线 AC 的下方，试求ACE 的最大面 积及 E 点的坐标16考点： 二次函数综合题专题： 代数几何综合题分析： （1）利用待定系数法求二次函数解析式解答即可； （2）利用待定系数法求出直线 AC 的解析式，然后根据轴对称确定最短路线问题， 直线 AC 与对称轴的交点即为所求点 D； （3）根据直线 AC 的解析式，设出过点 E 与

31、AC 平行的直线，然后与抛物线解析式联 立消掉 y 得到关于 x 的一元二次方程，利用根的判别式=0 时，ACE 的面积最大， 然后求出此时与 AC 平行的直线，然后求出点 E 的坐标，并求出该直线与 x 轴的交点 F 的坐标，再求出 AF，再根据直线 l 与 x 轴的夹角为 45求出两直线间的距离，再 求出 AC 间的距离，然后利用三角形的面积公式列式计算即可得解 解答： 解：（1）抛物线 y=ax2+bx+3 经过点 A（1，0） ，点 C（4，3） ，解得，所以，抛物线的解析式为 y=x24x+3；（2）点 A、B 关于对称轴对称， 点 D 为 AC 与对称轴的交点时BCD 的周长最小，

32、 设直线 AC 的解析式为 y=kx+b（k0） ，则，解得，所以，直线 AC 的解析式为 y=x1， y=x24x+3=（x2）21， 抛物线的对称轴为直线 x=2， 当 x=2 时，y=21=1， 抛物线对称轴上存在点 D（2，1） ，使BCD 的周长最小；（3）如图，设过点 E 与直线 AC 平行线的直线为 y=x+m，17联立， 消掉 y 得，x25x+3m=0， =（5）241（3m）=0，即 m=时，点 E 到 AC 的距离最大，ACE 的面积最大，此时 x=5 2，y=3 4，点 E 的坐标为（5 2，3 4） ，设过点 E 的直线与 x 轴交点为 F，则 F（，0） ，AF=1

33、=9 4，直线 AC 的解析式为 y=x1， CAB=45，点 F 到 AC 的距离为9 4=，又AC=3，ACE 的最大面积=3=，此时 E 点坐标为（5 2，3 4） 点评： 本题考查了二次函数综合题型，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，待定系 数法求一次函数解析式，利用轴对称确定最短路线问题，联立两函数解析式求交点 坐标，利用平行线确定点到直线的最大距离问题9、 （2013 凉山州压轴题）如图，抛物线 y=ax22ax+c（a0）交 x 轴于 A、B 两点，A 点 坐标为（3，0） ，与 y 轴交于点 C（0，4） ，以 OC、OA 为边作矩形 OADC 交抛物线于点 G （1）求抛

34、物线的解析式； （2）抛物线的对称轴 l 在边 OA（不包括 O、A 两点）上平行移动，分别交 x 轴于点 E，交 CD 于点 F，交 AC 于点 M，交抛物线于点 P，若点 M 的横坐标为 m，请用含 m 的代数式表示 PM 的长；18（3）在（2）的条件下，连结 PC，则在 CD 上方的抛物线部分是否存在这样的点 P，使得以 P、C、F 为顶点的三角形和AEM 相似？若存在，求出此时 m 的值，并直接判断PCM 的形 状；若不存在，请说明理由考点：二次函数综合题 分析：（1）将 A（3，0） ，C（0，4）代入 y=ax22ax+c，运用待定系数法即可求出抛物线 的解析式； （2）先根据

35、A、C 的坐标，用待定系数法求出直线 AC 的解析式，进而根据抛物线和直线 AC 的解析式分别表示出点 P、点 M 的坐标，即可得到 PM 的长； （3）由于PFC 和AEM 都是直角，F 和 E 对应，则若以 P、C、F 为顶点的三角形和AEM 相似时，分两种情况进行讨论：PFCAEM，CFPAEM；可分别用含 m 的代数 式表示出 AE、EM、CF、PF 的长，根据相似三角形对应边的比相等列出比例式，求出 m 的值， 再根据相似三角形的性质，直角三角形、等腰三角形的判定判断出PCM 的形状 解答：解：（1）抛物线 y=ax22ax+c（a0）经过点 A（3，0） ，点 C（0，4） ，解得

36、，抛物线的解析式为 y=x2+x+4； （2）设直线 AC 的解析式为 y=kx+b， A（3，0） ，点 C（0，4） ，解得，直线 AC 的解析式为 y=x+4 点 M 的横坐标为 m，点 M 在 AC 上， M 点的坐标为（m， m+4） ， 点 P 的横坐标为 m，点 P 在抛物线 y=x2+x+4 上， 点 P 的坐标为（m， m2+m+4） ， PM=PEME=（m2+m+4）（m+4）=m2+4m， 即 PM=m2+4m（0m3） ； （3）在（2）的条件下，连结 PC，在 CD 上方的抛物线部分存在这样的点 P，使得以 P、C、F 为顶点的三角形和AEM 相似理由如下：由题意，

37、可得 AE=3m，EM=m+4，CF=m，PF=m2+m+44=m2+m19若以 P、C、F 为顶点的三角形和AEM 相似，分两种情况：若PFCAEM，则 PF：AE=FC：EM， 即（m2+m）：（3m）=m：（ m+4） ， m0 且 m3，m=PFCAEM，PCF=AME， AME=CMF，PCF=CMF 在直角CMF 中，CMF+MCF=90， PCF+MCF=90，即PCM=90， PCM 为直角三角形； 若CFPAEM，则 CF：AE=PF：EM， 即 m：（3m）=（m2+m）：（m+4） ， m0 且 m3， m=1 CFPAEM，CPF=AME， AME=CMF，CPF=CM

38、F CP=CM， PCM 为等腰三角形综上所述，存在这样的点 P 使PFC 与AEM 相似此时 m 的值为或 1，PCM 为直角三角形或等腰三角形点评：此题是二次函数的综合题，其中涉及到运用待定系数法求二次函数、一次函数的解 析式，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形、等腰三角形的判定，难度适 中要注意的是当相似三角形的对应边和对应角不明确时，要分类讨论，以免漏解 10、 （2013曲靖压轴题）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y=x+4 与坐标轴分别交于 A、B 两点，过 A、B 两点的抛物线为 y=x2+bx+c点 D 为线段 AB 上一动点，过点 D 作 CDx 轴于点

39、 C，交抛物线于点 E （1）求抛物线的解析式 （2）当 DE=4 时，求四边形 CAEB 的面积 （3）连接 BE，是否存在点 D，使得DBE 和DAC 相似？若存在，求此点 D 坐标；若不存 在，说明理由20考点： 二次函数综合题分析： （1）首先求出点 A、B 的坐标，然后利用待定系数法求出抛物线的解析式； （2）设点 C 坐标为（m，0） （m0） ，根据已知条件求出点 E 坐标为（m，8+m） ；由 于点 E 在抛物线上，则可以列出方程求出 m 的值在计算四边形 CAEB 面积时，利用 S四边形 CAEB=SACE+S梯形 OCEBSBCO，可以简化计算； （3）由于ACD 为等腰直

40、角三角形，而DBE 和DAC 相似，则DBE 必为等腰直角 三角形分两种情况讨论，要点是求出点 E 的坐标，由于点 E 在抛物线上，则可以 由此列出方程求出未知数 解答： 解：（1）在直线解析式 y=x+4 中，令 x=0，得 y=4；令 y=0，得 x=4， A（4，0） ，B（0，4） 点 A（4，0） ，B（0，4）在抛物线 y=x2+bx+c 上，解得：b=3，c=4， 抛物线的解析式为：y=x23x+4（2）设点 C 坐标为（m，0） （m0） ，则 OC=m，AC=4+m OA=OB=4，BAC=45， ACD 为等腰直角三角形，CD=AC=4+m， CE=CD+DE=4+m+4=

41、8+m， 点 E 坐标为（m，8+m） 点 E 在抛物线 y=x23x+4 上， 8+m=m23m+4，解得 m=2 C（2，0） ，AC=OC=2，CE=6，S四边形 CAEB=SACE+S梯形 OCEBSBCO= 26+ （6+4）2 24=12（3）设点 C 坐标为（m，0） （m0） ，则 OC=m，CD=AC=4+m，BD=OC=m，则 D（m，4+m） ACD 为等腰直角三角形，DBE 和DAC 相似21xyAOCB（第 26 题图）xyAOCB（第 26 题图）NPNMHMDBE 必为等腰直角三角形 i）若BED=90，则 BE=DE， BE=OC=m， DE=BE=m， CE=

42、4+mm=4， E（m，4） 点 E 在抛物线 y=x23x+4 上， 4=m23m+4，解得 m=0（不合题意，舍去）或 m=3， D（3，1） ； ii）若EBD=90，则 BE=BD=m， 在等腰直角三角形 EBD 中，DE=BD=2m， CE=4+m2m=4m， E（m，4m） 点 E 在抛物线 y=x23x+4 上， 4m=m23m+4，解得 m=0（不合题意，舍去）或 m=2， D（2，2） 综上所述，存在点 D，使得DBE 和DAC 相似，点 D 的坐标为（3，1）或 （2，2） 点评： 本题考查了二次函数与一次函数的图象与性质、函数图象上点的坐标特征、待定系 数法、相似三角形、

43、等腰直角三角形、图象面积计算等重要知识点第（3）问需要 分类讨论，这是本题的难点11、(2013 年临沂压轴题)如图，抛物线经过5( 1,0), (5,0),(0,)2ABC三点.(1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上有一点 P，使 PA+PC 的值最小，求点 P 的坐标； (3)点 M 为 x 轴上一动点，在抛物线上是否存在一点 N，使以 A,C,M,N 四点构成的四边形为 平行四边形？若存在，求点 N 的坐标；若不存在，请说明理由.解析：解：（1）设抛物线的解析式为 2yaxbxc， 根据题意，得0, 2550, 5.2abc abcc ，22解得1,2 2, 5.2abc 抛

44、物线的解析式为：2152.22yxx (3 分)（2）由题意知，点 A 关于抛物线对称轴的对称点为点 B,连接 BC 交抛物线的对称轴于 点 P，则 P 点 即为所求.设直线 BC 的解析式为ykxb，由题意，得50, 5.2kbb 解得 1,2 5.2kb 直线 BC 的解析式为15.22yx (6 分)抛物线215222yxx的对称轴是2x ，当2x 时，153.222yx 点 P 的坐标是3(2,)2. (7 分)（3）存在 (8 分) (i)当存在的点 N 在 x 轴的下方时，如图所示，四边形 ACNM 是平行四边形，CNx 轴，点 C 与点 N 关于对称轴 x=2 对称，C 点的坐标

45、为5(0,)2，点 N 的坐标为5(4,).2 (11 分)（II）当存在的点N在 x 轴上方时，如图所示，作N Hx轴于点 H，四边形ACM N是平行四边形，,ACM NN M HCAO ,RtCAO RtN M H,N HOC.点 C 的坐标为55(0,),22N H,即 N 点的纵坐标为5 2，21552,222xx即24100xx解得12214,214.xx23点N的坐标为5(214, )2和5(214, )2.综上所述，满足题目条件的点 N 共有三个，分别为5(4,).2，5(214, )2，5(214, )2 (13 分)12、 （2013宁波压轴题）如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点 A 的坐标为 （0，4） ，点 B 的坐标为（4，0） ，点 C 的坐标为（4，0） ，点 P 在射线 AB 上运动，连结 CP 与 y 轴交于点 D，连结 BD过 P，D，B 三点作Q 与 y 轴的另一个交点为 E，延长 DQ 交 Q 于点 F，连结 EF，B