2013中考数学精选例题解析：函数与一元二次方程.doc

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1、12 013 中考数学精选例题解析函数与一元二次方程知识考点：1、理解二次函数与一元二次方程之间的关系；2、会结合方程根的性质、一元二次方程根的判别式，判定抛物线与x轴的交点情况；3、会利用韦达定理解决有关二次函数的问题。精典例题：【例 1】已抛物线1)2() 1(2xmxmy（m为实数）。（1）m为何值时，抛物线与x轴有两个交点？（2）如果抛物线与x轴相交于 A、B 两点，与y轴交于点 C，且ABC 的面积为2，求该抛物线的解析式。分析：抛物线与x轴有两个交点，则对应的一元二次方程有两个不相等的实数根，将问题转化为求一元二次方程有两个不相等的实数根m应满足的条件。略解：（1）由已知有 001

2、2mm，解得0m且1m（2）由0x得 C（0，1）又1mm aAB21121 21mmOCABSABC34m或54m132 312xxy或156 512xxy2【例 2】已知抛物线)6(2)8(222mxmxy。（1）求证：不论m为任何实数，抛物线与x轴有两个不同的交点，且这两个点都在x轴的正半轴上；（2）设抛物线与y轴交于点 A，与x轴交于 B、C 两点，当ABC 的面积为 48 平方单位时，求m的值。（3）在（2）的条件下，以 BC 为直径作M，问M 是否经过抛物线的顶点 P？解析：（1）0)4(22m，由082 21mxx，0)6(22 21mxx可得证。（2）)6(8)8(4)(222

3、 212 2121mmxxxxxxBC42m)6(22mOA又48ABCS48)6(2)4(2122mm解得22m或122m（舍去）2m（3）16102xxy，顶点（5，9），6BC69 M 不经过抛物线的顶点 P。评注：二次函数与二次方程有着深刻的内在联系，因此，善于促成二次函数问题与二次方程问题的相互转化，是解相关问题的常用技巧。探索与创新：3【问题】如图，抛物线4)(2 2cxbaxy，其中a、b、c分别是ABC 的A、B、C 的对边。（1）求证：该抛物线与x轴必有两个交点；（2）设有直线bcaxy与抛物线交于点 E、F，与y轴交于点 M，抛物线与y轴交于点 N，若抛物线的对称轴为 ax

4、 ，MNE 与MNF 的面积之比为 51，求证：ABC是等边三角形；（2）当3ABCS时，设抛物线与x轴交于点 P、Q，问是否存在过 P、Q 两点且与y轴相切的圆？若存在这样的圆，求出圆心的坐标；若不存在，请说明理由。解析：（1）)()(22cbacbacba0cba，0cba0（2）由aba 2得ba 由 bcaxycxbaxy4)(2 2 得：0432 accaxx设 E（1x，1y），F（2x，2y），那么：axx321，accxx4221由MNESMNFS51 得：215xx 215xx 或215xx由021 xx知215xx应舍去。yx问题图 EQ FPMONyx问题图 EQ FPM

5、ON4由 2121 53xxaxx解得22ax acca 42522 ，即04522caca ca 或05 ca（舍去） cbaABC 是等边三角形。（3）3ABCS，即3432a2a或2a（舍去）2cba，此时抛物线142xxy的对称轴是2x，与x轴的两交点坐标为 P（32，0），Q（32，0）设过 P、Q 两点的圆与y轴的切点坐标为（0，t），由切割线定理有：OQOPt21t故所求圆的圆心坐标为（2，1）或（2，1）评注：本题（1）（2）问与函数图像无关，而第（3）问需要用前两问的结论，解题时千万要认真分析前因后果。同时，如果后一问的解答需要前一问的结论时，尽管前一问没有解答出来，倘能会用

6、前一题的结论来解答后一问题，也是得分的一种策略。跟踪训练：一、选择题：51、已知抛物线mxmxy) 1(52与x轴两交点在y轴同侧，它们的距离的平方等于2549，则m的值为（ ）A、2 B、12 C、24 D、2 或 242、已知二次函数cbxaxy2 1（a0）与一次函数mkxy2（k0）的图像交于点 A（2，4），B（8，2），如图所示，则能使21yy 成立的x的取值范围是（ ）A、2x B、8x C、82x D、2x或8xyx第 2 题图 BAOyx第 3 题图 EBAOyx第 4 题图 BAO3、如图，抛物线cbxaxy2与两坐标轴的交点分别是 A、B、E，且ABE 是等腰直角三角形，

7、AEBE，则下列关系：0 ca；0b；1ac；2cSABE其中正确的有（ ）A、4 个 B、3 个 C、2 个 D、1 个4、设函数1) 1(22mxmxy的图像如图所示，它与x轴交于 A、B 两点，线段 OA 与 OB 的比为 13，则m的值为（ ）A、31或 2 B、31C、1 D、2二、填空题：1、已知抛物线23) 1(2kxkxy与x轴交于两点 A（，0），B（，0），且1722，则k 。62、抛物线mxmxy2) 12(2与x轴的两交点坐标分别是 A（1x，0），B（2x，0），且121xx，则m的值为 。3、若抛物线1212mmxxy交x轴于 A、B 两点，交y轴于点 C，且ACB

8、900，则m 。4、已知二次函数1) 12(2xkkxy与x轴交点的横坐标为1x、2x)(21xx ，则对于下列结论：当2x时，1y；当2xx 时，0y；方程1) 12(2xkkx0 有两个不相等的实数根1x、2x；11x，12x；kkxx21241，其中所有正确的结论是 （只填写顺号）。三、解答题：1、已知二次函数cbxaxy2（a0）的图像过点 E（2，3），对称轴为1x，它的图像与x轴交于两点 A（1x，0），B（2x，0），且21xx ，102 22 1 xx。（1）求这个二次函数的解析式；（2）在（1）中抛物线上是否存在点 P，使POA 的面积等于EOB 的面积？若存在，求出点 P

9、的坐标；若不存在，请说明理由。2、已知抛物线42)4(2mxmxy与x轴交于点 A（1x，0），B（2x，0）两点，与y轴交于点 C，且21xx ，0221 xx，若点 A 关于y轴的对称点是点 D。（1）求过点 C、B、D 的抛物线解析式；（2）若 P 是（1）中所求抛物线的顶点，H 是这条抛物线上异于点 C 的另一点，且HBD 与CBD 的面积相等，求直线 PH 的解析式；73、已知抛物线mmxxy223 212交x轴于点 A（1x，0），B（2x，0）两点，交y轴于点 C，且210xx，112)(2COBOAO。（1）求抛物线的解析式；（2）在x轴的下方是否存在着抛物线上的点，使APB 为锐角、钝角，若存在，求出 P 点的横坐标的范围；若不存在，请说明理由。参考答案一、选择题：CDBD二、填空题：1、2；2、21；3、3；4、三、解答题：1、（1）322xxy；（2）存在，P（131，9）或（131，9）2、（1）862xxy；（2）103 xy3、（1）223 212xxy；（2）当30Px时APB 为锐角，当01Px或43Px时APB 为钝角。