反证法(课件).ppt

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1、复习复习1.1.直接证明的两种基本证法：直接证明的两种基本证法： 综合法和分析法综合法和分析法2.2.这两种基本证法的推证过程和特点：这两种基本证法的推证过程和特点：由因导果由因导果执果索因执果索因3 3、在实际解题时，两种方法如何运用？、在实际解题时，两种方法如何运用？通常用分析法通常用分析法寻求思路寻求思路，再由综合法，再由综合法书写过程书写过程综合法综合法已知条件已知条件结论结论分析法分析法结论结论 已知条件已知条件 名家情系反证法名家情系反证法 反证法常常是解决某些反证法常常是解决某些“疑难疑难”问问题的有力工具。题的有力工具。 牛顿说：牛顿说：“反证法是数学家最精当反证法是数学家最精

2、当的武器之一的武器之一”。 英国数学家哈代也曾这样称赞它：英国数学家哈代也曾这样称赞它：“反证法是数学家最有力的一件武器，反证法是数学家最有力的一件武器，比起象棋开局时牺牲一子以取得优势的比起象棋开局时牺牲一子以取得优势的让棋法，它还要高明。象棋对弈者不外让棋法，它还要高明。象棋对弈者不外乎牺牲一卒或顶多一子，数学家索性把乎牺牲一卒或顶多一子，数学家索性把全局拱手让给对方！全局拱手让给对方！”探究探究1：掀起你的盖头来：掀起你的盖头来认识反证法认识反证法反证法的定义：反证法的定义： 在证明数学问题时，先在证明数学问题时，先假定命题结论的反面假定命题结论的反面成立，成立，在这个前提下，若推出的结

3、果与在这个前提下，若推出的结果与定义、公理、定理定义、公理、定理相相矛盾，或与命题中的矛盾，或与命题中的已知条件已知条件相矛盾，或与相矛盾，或与假定假定相矛相矛盾，从而说明盾，从而说明命题结论的反面命题结论的反面不可能成立，由此断定不可能成立，由此断定命题的结论命题的结论成立，这种证明方法叫作反证法。成立，这种证明方法叫作反证法。反证法的证题步骤：反证法的证题步骤：（1 1）假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立；）假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立；-（2 2）从这个）从这个假设出发假设出发，经过推理论证，得出，经过推理论证，得出矛盾矛盾； （3 3）从矛盾判定假设不正确，从而肯

4、定命题的结论成立）从矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论成立一、你能用更简洁的文字概括反证法的基本步骤吗？一、你能用更简洁的文字概括反证法的基本步骤吗？二、反证法在推理中可能得出哪几类矛盾？二、反证法在推理中可能得出哪几类矛盾？探究探究2 2：深度挖掘：深度挖掘了解反证法了解反证法原词语原词语 否定词否定词 原词语原词语 否定词否定词 等于等于任意的任意的是是 至少有一个至少有一个 都是都是 至多有一个至多有一个 大于大于 至少有至少有n n个个 小于小于 至多有至多有n n个个 对所有对所有x x成立成立对任何对任何x x不成立不成立准确地作出反设准确地作出反设( (即否定结论即否定结论)

5、 )是非常重要的，是非常重要的，下面是一些常见的关键词的否定形式下面是一些常见的关键词的否定形式. . 不是不是不都是不都是不大于不大于 不小于不小于一个也没有一个也没有至少有两个至少有两个至多有（至多有（n-1)个个至少有（至少有（n+1)个个存在某个存在某个x不成立不成立存在某个存在某个x,成立成立不等于不等于某个某个道道旁旁苦苦李李 王戎七岁时，爱和小朋友结伴玩耍。一王戎七岁时，爱和小朋友结伴玩耍。一天，他们发现路边的一棵树上结满了李子，天，他们发现路边的一棵树上结满了李子，小朋友一哄而上去摘李子，独有王戎没动。小朋友一哄而上去摘李子，独有王戎没动。等到小朋友们摘了李子一尝，原来是苦的！

6、等到小朋友们摘了李子一尝，原来是苦的！他们都问王戎：他们都问王戎：“你怎么知道李子是苦的你怎么知道李子是苦的呢？呢？” 王戎回答说王戎回答说: :“假如李子不苦的话，早被假如李子不苦的话，早被路人摘光了，而这树上却结满了李子，所路人摘光了，而这树上却结满了李子，所以李子一定是苦的。以李子一定是苦的。”小伙伴摘取一个尝小伙伴摘取一个尝了一下了一下, ,果然是苦李果然是苦李. . 王戎是怎么知王戎是怎么知道李子是苦的呢道李子是苦的呢? ?他运用了怎样的他运用了怎样的推理方法推理方法? ?牛刀小试牛刀小试 证明：假设所求的结论不成立，即证明：假设所求的结论不成立，即 A_ 60 , B_60 , C

7、 _60 则则A+ B+ C180 这与这与_相矛盾相矛盾 所以所以_不成立，不成立， 所求证的结论成立所求证的结论成立 三角形的三个内角之和等于三角形的三个内角之和等于180 假设假设ABC用反证法证明用反证法证明(填空填空):在三角形的内角中在三角形的内角中,至少有一个角大于或等于至少有一个角大于或等于60 已知已知:A ,B ,C是是ABC的内角（如图）的内角（如图）求证求证:A , B , C中至少有一个角中至少有一个角大于或等于大于或等于60 例例1 1：已知：已知：a a是整数，是整数，2 2能整除能整除a a2 2 求证：求证：2 2能整除能整除a a。证明：假设命题的结论不成立

8、，即证明：假设命题的结论不成立，即“2 2不能整不能整除除a”,a”,因为因为a a是整数，故是整数，故a a是奇数是奇数 不妨设不妨设a=2n+1(na=2n+1(n是整数是整数) ) a a2 2=(2n+1)=(2n+1)2 2=4n=4n2 2+4n+1=2(2n+4n+1=2(2n2 2+2n)+2n)+1 1 a a2 2是奇数，则是奇数，则2 2不能整除不能整除a a2 2 ，这与已，这与已知矛盾。知矛盾。假设不成立，故假设不成立，故2 2能整除能整除a a。例例2 2：在同一平面内，两条直线在同一平面内，两条直线a,ba,b都和直线都和直线c c垂直，求证：垂直，求证：a a与

9、与b b平行平行解题反思：解题反思：v证明该问题的难点是哪一步？证明该问题的难点是哪一步？v你怎么看待反证法题目中的已知条件？你怎么看待反证法题目中的已知条件？1.命题命题”三角形中最多只有一个内角是直角三角形中最多只有一个内角是直角“的结的结论的否定是（论的否定是（ ） A、有两个内角是直角、有两个内角是直角 B、有三个内角是直角、有三个内角是直角 C、至少有两个内角是直角、至少有两个内角是直角 D、没有一个内角是直角、没有一个内角是直角2.否定否定“自然数自然数a、b、c中恰有一个偶数中恰有一个偶数”时，正时，正确的反设为（确的反设为（ ） A.a、b、c都是奇数都是奇数 B. a、b、c

10、都是偶数都是偶数 C. a、b、c中至少有两个偶数中至少有两个偶数 D. a、b、c中都是奇数或至少有两个偶数中都是奇数或至少有两个偶数CD所以假设错误，故原命题所以假设错误，故原命题成立成立ba 证明证明: 假设假设a不大于不大于b则则a 0,b0所以所以(1)若 a b0，那么，那么a a b b注：当结论的反面不止一种情况时，该怎么办？注：当结论的反面不止一种情况时，该怎么办？反证法的概念反证法的概念反证法的证题步骤反证法的证题步骤如何正确使用反证法如何正确使用反证法注意注意:用反证法证题时用反证法证题时,应注意的事项应注意的事项 : （1）周密考察原命题结论的否定，防止否定）周密考察原

11、命题结论的否定，防止否定不当或有所遗漏；不当或有所遗漏； （2）推理过程必须完整准确，否则不能说明）推理过程必须完整准确，否则不能说明命题的真伪性；命题的真伪性； （3）在推理过程中，要充分使用已知条件，）在推理过程中，要充分使用已知条件，否则推不出矛盾，或者不能断定推出的结果是否则推不出矛盾，或者不能断定推出的结果是错误的。错误的。探究4：我来告诉你（我来告诉你（经验之谈经验之谈） 1.存在性问题存在性问题2.否定性问题否定性问题3.唯一性问题唯一性问题4.至多、至少类问题至多、至少类问题5.一些基本命题、基本定一些基本命题、基本定理理哪些问题适宜用反证法总之，直接证明比较困难的命题总之，直接证明比较困难的命题大家议一议！ -德国数学家希尔伯特说， 禁止数学家使用反证法反证法，就象禁止拳击家使用拳头。 同学们，学了这节课，你们有何体会？ 反思反思与与收获收获你能谈谈举反例与反证法你能谈谈举反例与反证法 的联系和区别吗？的联系和区别吗？P67 习题3-4 1 , 2