281锐角三角函数第一课时.pptx

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1、人教版九年级下册28.1 28.1 锐角三角函数（锐角三角函数（1 1）意大利比萨斜塔意大利比萨斜塔1350年落成时就已倾斜，其塔顶年落成时就已倾斜，其塔顶中心点偏离垂直中心点中心点偏离垂直中心点2.1 m1972年比萨地区发生年比萨地区发生地震，这座高地震，这座高54.5 m的斜塔在大幅度摇摆后仍魏然屹的斜塔在大幅度摇摆后仍魏然屹立，但塔顶中心点偏离垂直中心线立，但塔顶中心点偏离垂直中心线5.2 m，而且还在，而且还在继续倾斜，有倒塌的危险当地从继续倾斜，有倒塌的危险当地从1990年对斜塔进行年对斜塔进行维修纠偏，维修纠偏，2001年竣工，此时塔顶中心点偏离垂直中年竣工，此时塔顶中心点偏离垂

2、直中心的距离减少了心的距离减少了43.8 cm 导入导入新课新课问题问题1 我们用我们用“塔身中心线与垂塔身中心线与垂直中心线所成的角直中心线所成的角”来描述比萨斜来描述比萨斜塔的程度，根据已测量的数据你能求塔的程度，根据已测量的数据你能求角角的度数吗？的度数吗？ 导入导入新课新课在上述问题中，可以抽象出什么几何图形？上述在上述问题中，可以抽象出什么几何图形？上述问题可以抽象成什么数学问题？问题可以抽象成什么数学问题？答：这个问题可以抽象出一个直角三角形，实答：这个问题可以抽象出一个直角三角形，实际是际是“已知直角三角形的一条直角边和斜边，求这已知直角三角形的一条直角边和斜边，求这条直角边所对

3、锐角的度数条直角边所对锐角的度数” 导入导入新课新课对直角三角形的边角关系，已经研究了什么？对直角三角形的边角关系，已经研究了什么？还可以研究什么？还可以研究什么？答：我们前面研究了直角三角形中角与角之间答：我们前面研究了直角三角形中角与角之间的关系（两锐角互余）、三边之间的关系（勾股定的关系（两锐角互余）、三边之间的关系（勾股定理），还可以研究边与角之间的关系理），还可以研究边与角之间的关系 导入导入新课新课从实际需要看，要描述比萨斜塔的倾斜程度，我从实际需要看，要描述比萨斜塔的倾斜程度，我们需要研究直角三角形中边与角之间的关系：从数学们需要研究直角三角形中边与角之间的关系：从数学内部看，我

4、们已经研究了直角三角形的边与边的关内部看，我们已经研究了直角三角形的边与边的关系、角与角的关系，边与角之间有什么关系呢？本节系、角与角的关系，边与角之间有什么关系呢？本节课我们一起来学习课我们一起来学习“锐角三角函数锐角三角函数”锐角的正锐角的正弦、余弦、正切弦、余弦、正切 导入导入新课新课我们先研究有一个锐角为我们先研究有一个锐角为30的直角三角形问的直角三角形问题题问题问题2 为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行喷灌现测得斜坡与水平面所站，对坡面的

5、绿地进行喷灌现测得斜坡与水平面所成角的度数是成角的度数是30，为使出水口的高度为，为使出水口的高度为35 m，那么，那么需要准备多长的水管？需要准备多长的水管？ 新课讲解新课讲解你能用数学语言来表达这个实际问题吗？如何解你能用数学语言来表达这个实际问题吗？如何解决这个问题决这个问题答：把上述实际问题抽象成数学问题为：在答：把上述实际问题抽象成数学问题为：在RtABC中，中，C=90，A=30，BC=35 m，求，求AB 新课讲解新课讲解依据依据“直角三角形中，直角三角形中，30角所对的直角边是斜角所对的直角边是斜边的一半边的一半”得到答案：得到答案：“需要准备需要准备70 m长的水管长的水管”

6、在上面的问题中，如果使出水口的高度为在上面的问题中，如果使出水口的高度为50 m，那么需要准备多长的水管？那么需要准备多长的水管？答：答：依据依据“直角三角形中，直角三角形中，30角所对的直角边角所对的直角边是斜边的一半是斜边的一半”得到答案：得到答案：“需要准备需要准备100 m长的水长的水管管” 新课讲解新课讲解对于有一个锐角为对于有一个锐角为30的任意直角三角形，的任意直角三角形，30角的对边与斜边有怎样的数量关系？角的对边与斜边有怎样的数量关系？答：答：在直角三角形中，如果一个锐角等于在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么不管这个直角三角形的大小如何，这个角的对边那么不管这个直角三

7、角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比值都等于与斜边的比值都等于 12 新课讲解新课讲解问题问题3 在直角三角形中，如果锐角的大小发生了改在直角三角形中，如果锐角的大小发生了改变，其对边与斜边的比值还是变，其对边与斜边的比值还是 吗？例如，如图，任意吗？例如，如图，任意画一个画一个RtABC，使，使C=90，A=45，计算，计算A的对边与斜边的比的对边与斜边的比 由此你能得出什么结论？由此你能得出什么结论？12BCAB 新课讲解新课讲解答：答：在在RtABC中，中，C=90，因为，因为A=45，所以所以RtABC是等腰直角三角形是等腰直角三角形由勾股定理，得由勾股定理，得AB2=AC2+BC2

8、=2BC2， 因此因此 2ABBC12222BCBCABBC结论：结论：在一个直角三角形中，当一个锐角等于在一个直角三角形中，当一个锐角等于45时，无论这个直角三角形的大小如何，这个角的对角与时，无论这个直角三角形的大小如何，这个角的对角与斜边的比都等于斜边的比都等于 22 新课讲解新课讲解问题问题4 由上述两个结论可知，在由上述两个结论可知，在RtABC中，中，C=90，当，当A=30时，时，A的对边与斜边的比的对边与斜边的比都等于都等于 ，它是一个固定值；当，它是一个固定值；当A=45时，时，A的的对边与斜边的比都等于对边与斜边的比都等于 ，它也是一个固定值由，它也是一个固定值由此你能猜想

9、出什么一般的结论呢？此你能猜想出什么一般的结论呢？1222 新课讲解新课讲解答：答：在在RtABC中，当锐角中，当锐角A的度数一定时，无的度数一定时，无论这个直角三角形的大小如何，论这个直角三角形的大小如何，A的对边与斜边的的对边与斜边的比都是一个固定值比都是一个固定值问题问题5 如图，任意画如图，任意画RtABC和和RtABC，使得使得C=C=90，A=A=，那么，那么 与与 有什么关系？你能解释吗？有什么关系？你能解释吗？BCABBCAB 新课讲解新课讲解解：解： = ；因为；因为C=C=90，A=A=，所以所以RtABCRtABC所以所以 ，即，即 BCABBCABBCABBCABBCB

10、CABAB 新课讲解新课讲解在直角三角形中，当锐角在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，无论的度数一定时，无论这个直角三角形的大小如何，它的对边与斜边的比都这个直角三角形的大小如何，它的对边与斜边的比都是一个固定值这个固定值随锐角是一个固定值这个固定值随锐角A的度数的变化而的度数的变化而变化，由此我们给这个变化，由此我们给这个“固定值固定值”以专门名称以专门名称如图，在如图，在RtABC中，中，C=90，我们把锐角，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做的对边与斜边的比叫做A的的正弦正弦（sine），记作），记作sin A，即，即 新课讲解新课讲解sin A= Aac 的对边斜边当当A=30时，时，

11、A的正弦为多少？的正弦为多少？A=45呢？呢？答：答：sin 30= ，sin 45= 1222注意：正弦的三种表示方式：注意：正弦的三种表示方式：sin A（省去角的符号），（省去角的符号），sin 30，sinDEF 新课讲解新课讲解问题问题6 如图，在如图，在RtABC中，中，C=90，当，当A确定时，确定时，A的对边与斜边的比随之确定此时，其的对边与斜边的比随之确定此时，其他边之间的比是否也随之确定呢？为什么？他边之间的比是否也随之确定呢？为什么？ 新课讲解新课讲解所以所以 ，即，即 ； ，即，即 答：答：当当A确定时，确定时，A的邻边与斜边的比、的邻边与斜边的比、A的对边与邻边的比都

12、是确定的的对边与邻边的比都是确定的证明：证明：如图，因为如图，因为C=C=90，A=A=，所以，所以RtABCRtABCACABACABACACABABBCACBCACBCBCACAC 新课讲解新课讲解我们把我们把A的邻边与斜边的比叫做的邻边与斜边的比叫做A的的余弦余弦（cosine），记作），记作cos A，即，即cos A= ；=Abc 的邻边斜边把把A的对边与邻边的比叫做的对边与邻边的比叫做A的的正切正切（tangent），记作），记作tan A，即，即tan A= =AaAb 的对边 的邻边A的正弦、余弦、正切都是的正弦、余弦、正切都是A的的锐角三角锐角三角函数函数（trigonome

13、tric function of acute angle） 新课讲解新课讲解例例1 如图，在如图，在RtABC中，中，C=90，求，求sin A和和sin B的值的值分析：求分析：求sin A就是要确定就是要确定A的对边与斜边的比；的对边与斜边的比；求求sin B就是要确定就是要确定B的对边与斜边的比的对边与斜边的比 新课讲解新课讲解解：解：如图（如图（1），在），在RtABC中，由勾股定理，得中，由勾股定理，得2222435ABACBC因此因此 ，3sin5BCAAB4sin5ACBAB如图（如图（2），在），在RtABC中，由勾股定理，得中，由勾股定理，得222213512ACABBC因此

14、因此5sin13BCAAB，12sin13ACBAB 新课讲解新课讲解例例2 如图，在如图，在RtABC中，中，C=90，AB=10，BC=6，求求sin A，cos A，tan A的值的值解：解：由勾股定理，得由勾股定理，得22221068ACABBC因此因此 ， ，63sin105BCAAB84cos105ACAAB63tan84BCAAC 新课讲解新课讲解1在在ABC中，若三边中，若三边BC、CA、AB满足满足BCCAAB=51213，则，则cos B=（ ）A B C D5121255131213C 巩固练习巩固练习2在在RtABC中，中，C=90，a=3，c=5，求，求sin A和和

15、tan A的值的值解：在解：在RtABC中，中，a=3，c=5， 2222534bcasin A= ，tan A= 35ac34ab 巩固练习巩固练习1正弦、余弦、正切的定义正弦、余弦、正切的定义如图，在如图，在RtABC中，中，C=90，A，B，C的对边分别为的对边分别为a，b，c（1）正弦：锐角）正弦：锐角A的对边与斜边的比叫做的对边与斜边的比叫做A的正弦，的正弦，记作记作sin A，即，即sin A= Aac 的对边斜边课堂小结课堂小结（2）余弦：锐角）余弦：锐角A的邻边与斜边的比叫做的邻边与斜边的比叫做A的余弦，的余弦，记作记作cos A，即，即cos A= ；=Abc 的邻边斜边（3）正切：锐角）正切：锐角A的对边与邻边的比叫做的对边与邻边的比叫做A的正切，的正切，记作记作tan A，即，即tan A= =AaAb 的对边 的邻边2锐角三角函数的定义锐角三角函数的定义A的正弦、余弦、正切都是的正弦、余弦、正切都是A的锐角三角函数，即的锐角三角函数，即sin A，cos A，tan A都叫做锐角都叫做锐角A的三角函数的三角函数课堂小结课堂小结