圆与椭圆.pdf

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1、椭圆与圆的类比探究椭圆与圆的类比探究我们把平面上到两定点的距离之和是常数的点的轨迹称为椭圆， 这两个定点称为椭圆的焦点。当两个焦点无限接近时，椭圆就趋近于圆。换句话说，圆也可以看成是离心率为零的特殊的椭圆。由此可见,圆与椭圆二者之间有着密不可分的联系。本文通过椭圆与圆的类比探究，帮助我们加深对圆与椭圆的理解与掌握。对于平面上任意一个圆， 按其某条直径进行伸缩变换就可以得到椭圆。 因此，只要我们选择适当的变换形式就可以实现圆与椭圆图形之间的相互转换。如：a0 x2y2圆 C：x y r在矩阵 A=rb对应的伸压变换下变为椭圆221。ab0r证明：设P0 x0,y0为圆 C 上的任意一点，在伸压变

2、换下变为另一点Px,y，则222raax xx x0 x x0 0 00 xar，所以y=rb y y ，即rb y0yy y0 0 0 0rbrx2y2又因为点P0 x0,y0在圆 C 上，故有221。abx2y2即圆 C：x y r在矩阵 A 对应的伸压变换下变为椭圆221。ab r0 x2y2222反之椭圆221在 A 的逆矩阵 ar 对应的伸压变换下可变为圆x y r。ab 0b 222由上可知， 通过矩阵变换就可以实现圆与椭圆图形之间的相互转换。 圆与椭圆的你中有我，我中有你的紧密联系也体现在实际操作问题中， 苏教版实验课本选修 2-1 的 P29 有如下一道探究拓展的操作题：准备一

3、张圆形纸片，在圆内任取不同于圆心的一点 F， 将纸片折起， 使圆周过点 F （如图 1） ，然后将纸片展开，就得到一条折痕l（为了看清楚，可把直线l画出来） 。这样继续折下去， 得到若干折痕。折许多条折痕就围成了如图 2 的一个椭圆。换个角度也可以由椭圆折出圆，如图 3，F1,F2为椭圆的两个焦点，M 是椭圆上一点，现将 MF2折起使点 F2与 F1M 延长线上的 P 点重合，则 P 的轨迹是以 F1为圆心，长轴长为半径的圆，设折痕l与 P F2的交点为 N，则 N 的轨迹是以 O 为圆心，半长轴长为半径的圆，由此可以抽象出一个圆的轨迹命题：点M 是以 F1,F2为焦点的椭圆上一点，过焦点做F

4、1MF2外角平分线的垂线，垂足为N，则点 N 的轨迹是以椭圆中心为圆心，半长轴长为半径的圆。圆与椭圆不仅仅在图形上存在着联系,事实上，圆的某些重要的性质推广到椭圆中仍然有类似的结论。性性质质 1 1:“圆x y r上一点P(x0, y0)处的切线方程为222x2y2x0y y0y r” ，类比也有结论： “椭圆221(a b 0)上一点P(x0, y0)处的切ab2线方程为x0 xy0y21” 。2ab y kxm证明：当l的斜率存在时，设l的直线方程为y kxm，x2y2消去y得221abb2a2k2x22a2k mxa2m2b2 0， 因 为l是 椭 圆 的 切 线 ， 所 以4a2b2a

5、2k2=4a4k2m2m2b2=4a2b2b2a2k2m2=02即b2a2k2m2=0，又 Mx0, y0在l上，m y0kx0，所以b2a2k2y0kx0 0即x02y02x0ak 2x0y0k y0b 0 x0 a，又a2b21，22222解得k 2x0y04x02y024x02a2y02b22x02a2x0y0b2x0= 2，22a y0 x0ab2x0b2b2x0 xy0y有m y0kx0=，所以l的方程为y 2x即221。aby0a y0y0当l的斜率不存在时，显然方程也满足上式。在折纸的实际操作中，其实折痕l就是椭圆的切线，有兴趣的读者不妨做进一步探究。由性质 1 易得：性质性质

6、2 2: :“圆中过切点与圆心的直线的斜率与该切线的斜率的乘积等于1” ，类比也有结论：b2“椭圆中过切点与椭圆中心的直线的斜率与该切线的斜率乘积等于2” 。a性质性质 3 3: “圆中过弦中点与圆心的直线的斜率与该弦的斜率的乘积等于1” , 类比也有结论：b2“椭圆中过弦中点与椭圆中心的直线的斜率与该弦的斜率乘积等于2” 。ax2y2证明：设椭圆的方程是221(ab0)。设弦为 AB，A(x1,y1),B(x2,y2)，则弦 ABaby y2y y2 x x2y1 y2,中点 M1，kOM=1，则kAB=1x1 x2x1 x22222x12y1 y222kABkOM=2，因为 Ax1,y1，

7、Bx2,y2是椭圆上的点，故y1 b12，2ax1 x2y2222 x22 y1 y2 b 1 a2 ，那么x2 x2 122222x22x12ba2a2b2= 2。22ax1 x22性质性质 4 4:“从圆x y r外一点P(x0, y0)引圆的两条切线，切点为A,B，则AB 所在的2直线方程为x0 x y0y r” ，类比也有结论：x2y2“从椭圆221(a b 0)外一点P(x0, y0)引椭圆的两条切线，切点为A,B，则 ABabx xy y所在的直线方程为02021” 。abx2y2证明：从椭圆221外一点P(x0, y0)引椭圆的两条切线，切点为A,B，设A x1,y1 ，abx

8、xy yB x2,y2 ，由性质 1 可知，以 A 为切点的切线方程为12 12 1，又因为P(x0, y0)在abx xy yx xy y切线上，所以有120 120 1，同理有220 220 1，所以A,B 两点在直线ababx0 xy0yx2y2 2 1上，故从椭圆221(a b 0)外一点P(x0, y0)引椭圆的两条切a2babx xy y线，切点为 A,B，则 AB 所在的直线方程为02021。ab特别地，当P 是椭圆右准线上一点时，AB 过右焦点(c,0)，当 P 是椭圆左准线上一点时，AB 过左焦点(c,0)。 a2 ,y证明：当 P 是椭圆右准线上一点时，设P c0 ，则 AB 所在 的直线方程为 xy0y 2 1，直线过定点(c,0)，故当 P 是椭圆右准线上一点时，AB 过右焦点（c,0） ，同cb理，当 P 是椭圆左准线上一点时，AB 过左焦点(c,0)。在教材中，椭圆与圆分属两个不同的章节。 但它们之间的紧密联系， 不允许我们将它们孤立地去看待。新课程的理念要求我们在知识的发生、 发展与运用过程中， 培养学生的思维能力、创新意识及勇于探索的精神，椭圆与圆的类比探究就是一个很好的实例。