1312第2课时线段垂直平分线的性质和判定.ppt

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1、13.1.213.1.2 线段的垂直平分线的性质线段的垂直平分线的性质第十三章 轴对称第第1 1课时课时 线段的垂直平分线的性质和判定线段的垂直平分线的性质和判定学习目标 1. 1.理解并掌握线段的垂直平分线的性质和判理解并掌握线段的垂直平分线的性质和判定方法定方法( (重点）重点） 2. 2.会用尺规过一点会用尺规过一点作作已知直线的垂线已知直线的垂线. . 3. 3.能够运用线段的垂直平分线的性质和判定能够运用线段的垂直平分线的性质和判定解决实际问题（难点）解决实际问题（难点）讲授新课讲授新课线段垂直平分线的性质一如图，直线如图，直线l l垂直平分线段垂直平分线段ABAB，P P1 1，P

2、 P2 2，P P3 3，是是l l 上的点，请你量一量线段上的点，请你量一量线段P P1 1A A，P P1 1B B，P P2 2A A，P P2 2B B，P P3 3A A，P P3 3B B的长，你能发现什么？请猜想点的长，你能发现什么？请猜想点P P1 1，P P2 2，P P3 3， 到点到点A A 与点与点B B 的距离之间的数量关系的距离之间的数量关系探究发现P P1 1A _A _P P1 1B BP P2 2A _ A _ P P2 2B BP P3 3A _ A _ P P3 3B BA AB Bl lP P1 1P P2 2P P3 3猜想：猜想：点点P P1 1，P

3、 P2 2，P P3 3， 到点到点A A 与点与点B B 的距离分别的距离分别相等相等 命题命题：线段垂直平分线上的点与这条线段两个：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等端点的距离相等. .由此你能得到什么结论？由此你能得到什么结论？你能验证这一结论吗？你能验证这一结论吗？A AB Bl lP P1 1P P2 2P P3 3 已知：如图，直线已知：如图，直线l lABAB，垂足为，垂足为C C，AC =CBAC =CB，点点P P 在在l l 上求证：上求证：PA =PBPA =PB证明：证明：l lABAB于于C C PCA PCA =PCBPCB=90=90在在PCAPCA

4、和和 PCBPCB中中 AC AC = =BCBC PCA PCA =PCBPCB PC PC = =PCPC， PCAPCA PCBPCB（SASSAS） PA =PBPA =PBP PA AB Bl lC C验证结论A AB BP PN Nu应用格式：应用格式： PA=PB PA=PB直线直线PNPN是线段是线段ABAB的垂直平分线的垂直平分线( (已知已知) )( (线段垂直平分线上的点与这条线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点点距离相等线段两个端点点距离相等) )E EF FM MN N直线直线MNMN是线段是线段EFEF的垂直平分线的垂直平分线 有线段垂直平分线上，问题不好解决，常

5、有线段垂直平分线上，问题不好解决，常连接线段垂直平分线上的点和线段的端点。连接线段垂直平分线上的点和线段的端点。例例1 1 已知已知: :如图如图, ,在在ABCABC中中, ,边边ABAB，BCBC的垂直平的垂直平分线交于分线交于P.P.求证：求证：PA=PB=PC.PA=PB=PC.PA=PB=PCPA=PB=PCPB=PCPB=PC点点P P在线段在线段BCBC的垂的垂直平分线上直平分线上PA=PBPA=PB点点P P在线段在线段ABAB的垂的垂直平分线上直平分线上解析：解析：典例精析B BA AC CM MN NMMNNP P证明：证明：点点P P在线段在线段ABAB的垂直平分线的垂直

6、平分线MNMN上，上，PA=PB.PA=PB.同理：同理： PB=PC.PB=PC.PA=PB=PC.PA=PB=PC.结论：结论： 三角形三边垂直平分线交于一点，这一三角形三边垂直平分线交于一点，这一点到三角形三个顶点的距离相等点到三角形三个顶点的距离相等. .B BA AC CM MN NMMNNP P ( (线段垂直平分线上的线段垂直平分线上的点点与这与这条线段两个端点点距离相等条线段两个端点点距离相等) )例例2 2 如图，在如图，在ABCABC中，中，ABABACAC20cm20cm，DEDE垂垂直平分直平分ABAB，垂足为，垂足为E E，交，交ACAC于于D D，若，若DBCDBC

7、的周长的周长为为35cm35cm，求，求BCBC的长。的长。B BA AC CE ED D? ?解：解：DEDE垂直平分垂直平分ABAB，DADADBDBBCBCDBDBDCDC3535 BCBCDADADCDC3535DADADCDCACAC2020BCBC353520201515( (cmcm) )( (线段垂直平分线上的点与这线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点点距离相等条线段两个端点点距离相等) )练习练习1 1. .如图所示，在如图所示，在ABCABC中，中，BCBC=8cm,=8cm,边边ABAB的垂的垂直平分线交直平分线交ABAB于点于点D D，交边，交边ACAC于点于点E E

8、, , BCEBCE的周长的周长等于等于18cm,18cm,则则ACAC的长是的长是 _._.10cmA AB BC CD DE E图图练习练习2. P62 1 2. P62 1 A AB BC CE ED D? ? ? ?练习练习3 3 如图，在如图，在ABCABC中，中，ABABACAC，BACBAC的平分的平分线与线与BCBC的的垂直平分垂直平分线线DPDP相交于点相交于点P,PEP,PEABAB于于E,PFE,PFACAC于于F F。求证。求证:(1)BE=CF;:(1)BE=CF;(2)AE= (AB+AC)(2)AE= (AB+AC)B BA AC CE ED D? ?( (线段线

9、段点距离相等点距离相等) )1 12 2F FP P? ?APAP平分平分BACBACPEPEABAB于于E, PFE, PFAAC C于于F FPE=PFPE=PF( (角角的距离相等的距离相等) )证明：证明：(1)(1)连接连接PBPB、PCPCDPDP是是BCBC的垂直平分线的垂直平分线PB=PCPB=PCPEPEABAB于于E, PFE, PFAAC C于于F FPEB=PEB=F=90F=90 PB=PC PB=PC 在在 RtRtPEBPEB和和RtRtPFCPFC中中 Rt RtPEBPEBRtRtPFC(PFC(HL).HL).PE=PF PE=PF BE=CFBE=CF练习

10、练习3 3 如图，在如图，在ABCABC中，中，ABABACAC，BACBAC的平分的平分线与线与BCBC的的垂直平分垂直平分线线DPDP相交于点相交于点P,PEP,PEABAB于于E,PFE,PFACAC于于F F。求证。求证:(1)BE=CF;:(1)BE=CF;(2)AE= (AB+AC)(2)AE= (AB+AC)B BA AC CE ED D? ?1 12 2F FP P? ?(2)(2)PEABPEAB于于E, PFACE, PFAC于于F FPEA=PEA=F=90F=90 PA=PA PA=PA 在在 RtRtPEAPEA和和RtRtPFAPFA中中 Rt RtPEAPEARt

11、RtPFA(PFA(HL).HL).PE=PF PE=PF AE=AFAE=AFAE= (AE+AF)AE= (AE+AF)1 12 2AE= (AB-BE+AC+CF)AE= (AB-BE+AC+CF)1 12 2BE=CFBE=CFAE= (AB+AC)AE= (AB+AC)1 12 2例例3 3 尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线. .ABCDEK已知：直线已知：直线ABAB和和ABAB外一点外一点C C . .求作：求作：ABAB的垂线，使它经过点的垂线，使它经过点C C . .作法作法：（：（1 1）任意取一点）任意取一点K K，

12、使点使点K K和点和点C C在在ABAB的两旁的两旁. .（2 2）以点）以点C C 为圆心，为圆心，CKCK长为半径长为半径作弧，交作弧，交ABAB于点于点D D和点和点E E. .（4 4）作直线）作直线CFCF. .直线直线CFCF就是所求作的垂线就是所求作的垂线. .（3 3）分别以点）分别以点D D和点和点E E为圆心，大于为圆心，大于 DEDE的长为半径作弧，两弧相交于点的长为半径作弧，两弧相交于点F F. .12F F（1 1）为什么任意取一点）为什么任意取一点K K ，使点使点K K与点与点C C 在直线两旁？在直线两旁？12DE（2 2）为什么要以大于）为什么要以大于 的长为

13、半径作弧？的长为半径作弧？ （3 3）为什么直线）为什么直线CF CF 就是所就是所求作的垂线？求作的垂线？想一想：想一想：A AB BC CD DE EK KF F线段垂直平分线的判定二想一想：想一想：如果如果PAPA= =PBPB, ,那么点那么点P P是否在线段是否在线段ABAB的垂的垂直平分线上呢？直平分线上呢？PAB合作探究已知：如图，已知：如图，PAPA = =PBPB求证：点求证：点P P 在线段在线段ABAB 的垂的垂直平分线上直平分线上证明：作证明：作 PC PCABAB于于C CPCA =PCA =PCB =90PCB =90 在在RtRtPCA PCA 和和RtRtPCB

14、 PCB 中中 PA =PB PA =PB PC =PC PC =PC RtRtPCA RtPCA RtPCBPCB（HLHL） AC =BCAC =BCPCABPCABPCPC是线段是线段ABAB的垂直平分线的垂直平分线 点点P P 在线段在线段AB AB 的垂直平分线上的垂直平分线上P PA AB BC C知识要点线段垂直平分线的判定 与线段两个端点距离相等的点在这条线段的与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上垂直平分线上u应用格式：应用格式：PA =PBPA =PB，点点P P 在在AB AB 的垂直平分线上的垂直平分线上P PA AB B作用：作用：判断一个点是否在线段的垂

15、直平分线上判断一个点是否在线段的垂直平分线上. . ( (与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上) )这些点能组成什么几何图形？这些点能组成什么几何图形？ 你能再找一些到线段你能再找一些到线段AB AB 两端点的距离相等的点两端点的距离相等的点吗？能找到多少个到线段吗？能找到多少个到线段AB AB 两端点距离相等的点？两端点距离相等的点？ 与与A A，B B 的距离相等的的距离相等的点都在直线点都在直线l l上，所以直上，所以直线线l l 可以看成与可以看成与A A、B B两两点点 的距离相等的所有点的距离相等的所有点的集合的集合.

16、 .P PA AB BC Cl例例4. 4. 已知：如图，点已知：如图，点E E是是AOBAOB的平分线上一点，的平分线上一点，ECECOA,EDOA,EDOBOB, ,垂足分别为垂足分别为C,DC,D，连接，连接CDCD. .求证：求证：OEOE是是CDCD的垂直平分线的垂直平分线. .A AB BO OE ED DC C证明：证明：OEOE平分平分AOBAOB EC ECOAOA于于C,EDC,EDOBOB于于D DEDED= =ECEC. . OEOE是是CDCD的垂直平分线的垂直平分线RtRtOEDOEDRtRtOECOEC（HLHL）ODOD= =OCOC OE=OE OE=OE 在

17、在 RtRtOEDOED和和RtRtOECOEC中中 ED=ECED=EC点点O O在在CD CD 的垂直平分线上的垂直平分线上 ( (与线段与线段上上) )EDED= =ECEC点点E E在在CD CD 的垂直平分线上的垂直平分线上 ( (与线段与线段上上) ) ( (角角等等) )ODE=ODE=OCEOCE1.1.下列说法：下列说法：若点若点P P、E E是线段是线段ABAB的垂直平分线上两点，则的垂直平分线上两点，则EAEAEBEB，PAPAPBPB；若若PAPAPBPB，EAEAEBEB，则直线，则直线PEPE垂直平分线段垂直平分线段ABAB；若若PAPAPBPB，则点，则点P P必

18、是线段必是线段ABAB的垂直平分线上的的垂直平分线上的点；点；若若EAEAEBEB，则经过点，则经过点E E的直线垂直平分线段的直线垂直平分线段ABAB其中正确的有其中正确的有 （填序号）（填序号）. . 当堂练习当堂练习2.2.如图，如图，ABCABC中，中，ABAB= =ACAC, ,ABAB的垂直平分线交的垂直平分线交ACAC于于E E, ,连接连接BEBE，ABAB+ +BCBC=16cm,=16cm,则则BCEBCE的周长是的周长是 cm.cm.A AB BC CD DE E1616 3. 3.如图所示，在如图所示，在ABCABC中，中，ADAD平分平分BACBAC，DEDEABAB

19、于点于点E E，DFDFACAC于点于点F F，试说明，试说明ADAD与与EFEF的关的关系系A AB BC CD DE EF F解：解：ADAD平分平分BACBAC DE DEABAB于于E,DFE,DFABAB于于F FDE=DFDE=DF. . ADAD是是EFEF的垂直平分线的垂直平分线RtRtADEADERtRtADFADF（HLHL）AE=AFAE=AF AD=ADAD=AD在在 RtRtAEDAED和和RtRtAFDAFD中中 DE=DFDE=DF点点A A在在EF EF 的垂直平分线上的垂直平分线上 ( (与线段与线段上上) )DE=DFDE=DF点点D D在在EF EF 的垂

20、直平分线上的垂直平分线上 ( (与线段与线段上上) ) ( (角角等等) )AED=AED=AFD=90AFD=903.3.如图，在四边形如图，在四边形ADBCADBC中，中，ABAB与与CDCD互相垂直平互相垂直平分，垂足为点分，垂足为点O O. .(1)(1)找出图中相等的线段；找出图中相等的线段；(2)OE(2)OE，OFOF分别是点分别是点O O到到CADCAD两边的垂线段，试两边的垂线段，试说明它们的大小有什么关系说明它们的大小有什么关系解析：解析：(1)(1)由垂直平分线的由垂直平分线的性质可得出相等的线段；性质可得出相等的线段；(2)(2)由条件可证明由条件可证明AOCAOCAO

21、DAOD，可得，可得AOAO平分平分DACDAC，根据角平分线的性质，根据角平分线的性质可得可得OEOEOFOF. .拓展提升：拓展提升：A AB BC CE ED DF FO O解：解：(1)(1)ABAB、CDCD互相垂直平分互相垂直平分 OCOCODOD，AOAOOBOB ACACBCBC, ,ADADBD,AC=ADBD,AC=AD ACACBCBC= =ADADBDBD (2)(2)OEOEOFOF，理由如下：，理由如下： 在在AOCAOC和和AODAOD中中 AC=AD AC=AD AO AOAOAO OC OCODOD AOCAOCAODAOD(SSS)(SSS) CAOCAOD

22、AODAO AOAO平分平分CADCAD OEOEACAC，OFOFADAD OEOEOFOF（ ）A AB BC CE ED DF FO O课堂小结课堂小结线段的垂线段的垂直平分的直平分的性质和判性质和判定定性 质性 质与线段两个端点距离相等的与线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上点在线段的垂直平分线上 内 容内 容判 定判 定内 容内 容作 用作 用线段的垂直平分线上的点与线段的垂直平分线上的点与线段的两个端点的距离相等线段的两个端点的距离相等 作 用作 用见垂直平分线，得线段相等见垂直平分线，得线段相等判断一个点是否在线段的垂判断一个点是否在线段的垂直平分线上直平分线上见学练优本课时练习课后作业课后作业