席位的公平分配(共15页).doc

《席位的公平分配(共15页).doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《席位的公平分配(共15页).doc（15页珍藏版）》请在得力文库 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业目录精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业摘要约两个世纪以来，出于美国和欧洲诸如会议席位分配等社会政治活动的需要，一些人包括数学家们先后提出了许多分配方法，这些方法对同一个问题常常给出了不同的答案，还会违背人们意愿甚至违背常识现象，这更引起数学家们的深入研究的兴趣。本文从最简单的最大剩余法开始研究，一步步的优化方案。我主要根据了各系人数因素对席位获得的影响，首先定义了不公平指标及相对不公平度的定义，采用了最大剩余法，Q 值法和 DHondt法对模型进行比较，制定出更合理的方案。开始，我采用了最大剩余法对问题进行研究.然后，我对相关资料进行了查阅，则

2、定义了不公平度指标和相对不公平度用来检查方案的公平性程度。确定了衡量公平的数量指标后，再优化模型采用 Q 值法进行分配，最后采用了 DHondt 法对模型进行了分析，几种方法的比较得出结论。关键字：席位分配;Q 值法;DHondt 法精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业ABSTRACTAbout two of a century, the need for American and Europe such as meetingseat allocation of social political activities, including some mathematicians have

3、put forward many distribution methods, these methods to the same problem oftengive different answers, but also goes against the crowd even contrary to commonsense, this caused more in-depth research mathematicians the interest. This paperstudies the maximum residual method is the most simple, optimi

4、zation step by step.I mainly according to the number of seats available on line, first defines unfairindex and relative unfair degree, adopt the maximum residual method, Q methodand D Hondt method to compare the model, to develop a more reasonable scheme.To start, I adopt the maximum residual method

5、 to research the problem. Then, Icarried out the inspection of the relevant information, define the unfair degreeindex and relative unfair degree used to check the program fairness degree. Todetermine the quantitative index to measure the fair, then optimization model witha Q value method is used, t

6、he D Hondt method for model analysis, compareseveral methods of conclusion.Keywords: seat allocation; Q value method; dhondt method精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业绪论起初，对于出现在社会政治领域中的席位分配，人们认为是一个简单的数学问题，用初等的办法解决，但是在应用中这样的办法得出许多难以接受的结果，人们发现所有的方法都有不合理之处。文章中提到的最大分数法就是 A.Hamilton 提出的，也曾多次在美国国会 1850-1900 年众议员席位分配中采用，

7、但是同时也被质疑。从而继续寻找更合理的方法，于 20 世纪 20 年代由哈佛大学数学家 E.V.Huntington 提出和推荐的一系列分配方法中的一种-Q值法。Q 值法克服了最大分数法的缺陷，但是也有不少缺点。最后就是简单的介绍了一下 DHondt 法，通过对这三种方法的比较来寻找更合理的办法。文章主要参考的是姜启源、谢金星、叶俊等编写的数学模型第四版。通过本论文的学习我们可以学习到没有绝对的公平，只有相对的公平。我们只能尽量避免不公平的事件发生，却不能杜绝它的发生。 如果发现文章有什么不足之处请指出改正，欢迎来指正错误1。1.席位分配问题贵州师范学院有 3 个学院参加会议。有 200 名学

8、生，其中数计学院 100名，物电学院 60 名，化生学院 40 名。如果学生代表会议设有 20 个席位，怎样去分配？但是现在化生学院有 3 名学生转入数计学院，3 名学生转入物电学院，那又将怎么分配呢？如果席位变成 21 个则怎么样分配？2.各种分配方法2 2.1.1 最大分数法最大分数法公平而简单的方法就是按照学生人数的比例进行分配，这种按照惯例的分配方案是由 A.Hamilton 提出的。 这种方案在美国国会 18501900 年的众议员席位分配（按照人口比例每个州应分得几个席位）中就多次被采用，也同时被质疑，称之为最大剩余法（GR:Greatest Remainders）或最大分数法精选

9、优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业(LF:Largest Fractions),也称 Hamilton 法或 Vinton 法1。表 2.1 最初的按照比例的席位分配学院学生人数学生人数的比例/%按比例分配的席位参照惯性的结果数计学院100501010物电学院603066化生学院402044总和2001002020表 2.2 按比例并参照惯例的席位分配学院学生人数学生人数的比例/%20 个席位的分配21 个席位的分配按比例分配的席位参照惯性的结果按比例分配的席位参照惯性的结果数计学院10351.510.31010.85111物电学院6331.56.366.6157化生学院3417.03.4

10、43.5703总和20010020202121很明显数计学院，物电学院，化生学院三个学院分别应占有 10,6,4 个席位（表 2.1） 。但是现有化生学院 3 名学生转入数计学院，3 名学生转入物电学院（表 2.2 第 2 列所示） ，继续按比例（表 2.2 第 3 列所示）分配席位时出现了小数（表 2.2 第 4 列） 。于是按照最大分数法分配三个学院分别占 10,6,4 席（表 3.2 第 5 列所示） 。但是 20 席位的代表会议在表决大会时可能出现 10:10的局面，因此增加一个席位变成 21 席，同样按照上述办法重新分配席位，计精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业算结果见表 2

11、.2 的 6,7 列。2 2.2.2 最大分数法的优缺点最大分数法的优缺点我们看到席位从 20 席增加到 21 席，但是化生学院却从分得的 4 席变为了3 席，即总席位增加反而导致某个学院分得的席位减少，我们把这种现象称之为席位悖论，这是最大分数法的一个缺陷。如上例若三个学院学生人数变为114,64,34 名，按照最大分数法 21 席的分配结果将是 11,6,4 席我们观察可得，物电学院学生人数增加却比原来的少了 1 席，化生学院人数没有变反而增加了 1 席，即某个学院的人数增加较多反而可能导致这个学院席位的减少，我们把这种现象称之为人口悖论，这又是最大分数法的一大缺陷。2.32.3 不公平度

12、指标不公平度指标2.3.1 定义不公平度为了寻找更公平的席位分配的方法，我们先来研讨一下衡量公平的数量指标。为了简便我们首先只考虑甲，乙两方分配席位的情况。设甲，乙两方人数分别为21, pp，且已占有席位分别为21,nn，则比值2211,npnp为甲，乙两方每个席位所代表的人数。显然当且仅当2211npnp时分配才是完全公平的，但是因为人数和席位都是整数，所以通常2211npnp，那么一般都是分配不公平的，并且是对于比值较大的一方不公平。2.3.2 定义不公平程度不妨设2211npnp，那么不公平程度就可以用数值2211npnp来衡量。那么我们可以举两个例子来练习一下不公平程度。例 1：设10

13、,100,1202121nnpp2211npnp，则210122211npnp；例 2：设1000,102021pp，而21,nn不变时，则21001022211npnp；利用上述定义的来衡量不公平程度，那么上述两个例子的不公平程度是一样的， 但是常识告诉我们， 例 2 的这种情况的2211npnp相对不公平程度比精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业例 1 的不公平程度已经大为改善了。所以我们发现用来衡量不公平程度，常常无法区分不公平程度明显不同的情况。2.3.3 定义相对不公平度为了改善上述的衡量标准，我们想到了相对标准，当2211npnp，定义22221121),(npnpnpnnr

14、A(1)为对甲的相对不公平度。当2211npnp，定义11112221),(npnpnpnnrB(2)为对乙的相对不公平度。2.42.4 Q Q 值法值法假设甲，乙两方已占有的席位21,nn，利用相对不公平度BArr ,讨论当总席位增加 1 席时，应该是分给甲还是乙2。一般地，可先讨论2211npnp，当大于号成立时表示对甲不公平。如把增加的 1 席给甲，则甲的席位从1n变成11n，若把它分给乙，则乙的席位从2n变成11n，则原不等式可能出现下列几种情况：1.22111npnp，说明即使把增加的这一个席位分给甲依旧对甲不公平，因此这增加的这一席位应该分给甲。2.22111npnp，说明把这增加

15、的一个席位分给甲后对乙不公平了，故参照公式(2)计算出对乙的相对不公平度为精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业1) 1(), 1(211221npnpnnrB(3)3.22111npnp，说明把这增加的一个席位分给甲后对甲，乙两方是一样的，因此这增加的一个席位应该分给甲。4.12211npnp，说明把增加的这个席位分给乙后对甲不公平了，参照公式(1)计算出对甲的相对不公平度为1) 1() 1,(122121npnpnnrA(4)5.12211npnp,说明把这增加的一个席位分给乙后还对乙不公平。但是前面我们已经设了2211npnp，1212211npnpnp，所以这种结果是不可能出现的。

16、6.12211npnp，说明把这增加的一个席位分给乙后对甲，乙是一样的，同样因为1212211npnpnp，所以这种结果也不可能出现。对于建立的衡量分配不公平的指标BArr ,， 它们的原则是尽可能的使它们小。所以在这种分配原则下进行分配，对BArr ,进行比较将这增加的一个席位分给相对不公平度大的一方。即当) 1,(), 1(2121nnrnnrAB(5)则增加的这个席位要分给甲，反之则分给乙，如果相等则可以任意分给甲或乙.对(5)式进行化简，得) 1() 1(11212222nnpnnp(6)所以当(6)式成立时增加的这个席位应该分给甲，反之则分给乙，相等则可以任意分给甲或乙。同理，假设2

17、211npnp成立时，也可以得到(6)式。精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业综上所述，只要(6)式成立，则增加的一席分给甲，反之则分给乙，相等则可以任意分给甲或乙。上述讨论的是两方的分配方案，现在将这种方法推广到有 m 方分配席位的情况，设第 i 方人数为1p，已占有1n个席位，mi.,3 , 2 , 1，当总席位增加一席时，计算minnpQiiii,.,3 , 2 , 1, 1) 1(2(7)将增加的这一席位分给 Q 值大的一方，这个方法我们称之为 Q 值法。2 2.5.5 用用 Q Q 值法解决问题值法解决问题用 Q 值法重新讨论提出的数计学院，物电学院，化生学院三个学院分配21

18、席位的方案。已知：数计学院，物电学院，化生学院三个学院分配 21 席位，其中)3 , 2 , 1( ipi表示数计学院，物电学院，化生学院的人数，则,34,63,103321ppp求：用 Q 值法分配数计学院，物电学院，化生学院三个学院各分得多少席位？解：设)3 , 2 , 1( ini）表示数计学院，物电学院，化生学院三个学院已占有的席位。则可设1321nnn开始每增加 1 席应该分给谁来计算。但是最大分数法已经计算出3, 6,10321nnn，分配了 19 席的结果，现在就是对第 20 席和第 21 席的分配了。第 20 席：33.964334,50.947663,45.961110103

19、232221QQQ，进行比较，发现1Q最大，所以第 20 席分给数计学院。则3, 6,11321nnn。第 21 席：37.80121110321Q，因为物电学院，化生学院两系的已占有席位没有变化所以32,QQ同上，经过比较发现3Q最大，所以第 21 席应该分给化生学院。精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业综上所述： 数计学院， 物电学院， 化生学院三个学院分别获得席位为 11,6,4席。2.62.6 分析分析 Q Q 值法的优缺点值法的优缺点Q 值法不仅有明确的不公平指标， 而且由于它是每增加 1 个席位来计算 Q值的，所以不会出现席位悖论（也可证明不会出现人口悖论）3。它的优点就是在

20、每个席位所代表的人数不同的情况下将不公平度减到最小。不过 Q 值法也存在很大的缺点，我们稍微注意一下就会发现开始分配时我们设了各方已占有席位为 1 位，即各方必须分得 1 席或者大于 1 席位，Q 值才有意义。Q值法要求参加分配席位的几个学院至少可以获得一个席位，因而当分配的总席位比较少或者参与分配的各个学院的人数相差很大时可能出现较大的不公平4。2 2.7.7 D DHondtHondt 法法把mAAA,.,2, 1个学院的人数用,.3 , 2 , 1正整数相除,把所得的商从大到小进行排列。若席位总数为 N,则取前面 N 个商,并将各学院被选取的最小商的除数作为这个学院被分配的席位数。其原理

21、就是某学院人数较多,则应该分配到较多的席位数用 Dhondt 法的商的结果见附录表 2.3，我们发现用 DHondt 法计算的结果是如果分配 20 个席位，那么数计学院，物电学院，化生学院三个学院各分得 11,6,3 席，如果分配 21 个席位，则数计学院，物电学院，化生学院各分得11,7,3 席。3 3.比较分配方法从表3.1看出，无论是用哪一种分配方法，单单从最终的分配结果来看，数计学院都是分到了11个席位，而最终就是一个席位的差别，到底是分配给物电学院，还是分配给化生学院。即最终的席位利益是在物电学院还是在化精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业生学院。但是从上面的不同的方法的证明过

22、程中我们可以看出，其分配的结果不仅仅是如此。表 3.121 个席位的分配结果数计学院物电学院化生学院最大分数法1173Q 值法1164DHondt 法1173从表2.2可以看出，按“最大分数法”分配显然存在着较大缺陷，出现了人口悖论和席位悖论。而DHondt 法，从分配完的结果来看，数计学院，物电学院，化生学院分别得到的席位是11,7,3，虽然与“最大分数法”分配的最终结果一样，不过DHondt 法克服了最大分数法分配中人数席位变动而引起的名额不规则变动，但是在各学院每个席位代表的人数不等的情况下，席位代表的平均人数值较大的一方来说，就存在着不公平，而且DHondt 法不能衡量“不公平”的大小

23、5。而Q值法不仅有明确的不公平指标，而且由于它是每增加1个席位来计算Q值的，所以不会出现席位悖论（也可证明不会出现人口悖论）3。它的优点就是在每个席位所代表的人数不同的情况下将不公平度减到最小。 不过Q值法也存在很大的缺点，我们细心点就会发现开始分配时我们设了各方已占有席位为1位，即各方必须分得1席或者大于1席位，Q值才有意义。Q值法要求参精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业加分配席位的几个学院至少可以获得一个席位，因而当分配的总席位比较少或者参与分配的各个学院的人数相差很大时可能出现较大的“不公平” 。结论结论从上述的几种分配方法来看，在席位分配中很难找到一种绝对公平的分配方法，因为席

24、位的分配不仅仅要涉及到分配席位的总数的多少，而且还涉及到一个席位所代表的人数，上述的几种分配方法都是在不同的角度提出的不同观点，不同的分配方法，所以说，在公平席位分配中，如果单纯的靠一种分配方法，基本上就不存在公平的席位分配方法。实际上，如果掌握了上述分配方法的特性，我们可以根据具体情况决定采取哪一种分配方案。并且可以的话，结合掌握的分配方案，各取所需，或者继续寻找更合理的分配方法。精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业参考文献1姜启源、谢金星、叶俊.数学模型M.第四版.北京：高等教育出版社，2011.01.278-285.2易刚.数学建模范式实践与研究.J.商洛学院学报，2010.3韩文

25、斌.公平席位的分配.doc-豆丁网.DB.互联网数据.2012.09.05.4孙玉秋.“DHondt+Q”席位分配模型.J.汉江石油学院学报，2001.5赵洋.席位分配及课堂点名模型的研究 .D,西北工业大学博硕论文，2006.精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业致谢四年的大学光阴即将结束，在这期间，各科老师认真负责、兢兢业业，真挚的感谢各位老师的关怀；然后就是要感谢我的指导老师廖玉梅老师，她严肃的态度，严谨的精神，精益求精的工作作风，深深地激励着我，从课题的选择到课题的顺利完成，廖老师都始终给予我细心的指导和不懈的支持。还要感谢我们的辅导员伍玲婧老师，大学期间她给与我很多帮助和关怀。还

26、有 10 级数学与应用数学本科三班的全体同学，大学四年中，你们给我不少的帮助和支持，和你们一起生活很愉快，谢谢你们，也感谢我的室友们，在我不清楚的时候，我们一起讨论，攻坚克难。在此谨向你们致以诚挚的谢意和崇高的敬意。最后感谢含辛茹苦把我养大的家人，是你们无私的付出，才有我今天的成就，感谢你们，祝愿你们健康、幸福！精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业附录表 2.3 DHondt 商的结果123456789101112数计学院10351.534.325.820.617.214.712.911.410.39.48.6物电学院6331.521.015.812.610.59.07.97.06.3化生学院3417.011.38.55.74.94.33.8