三角函数图像与性.ppt

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1、三角函数图像与性质 正弦、余弦函数的图象正弦、余弦函数的图象X 三角函数三角函数三角函数线三角函数线正弦函数正弦函数余弦函数余弦函数正切函数正切函数正切线正切线AT 正弦、余弦函数的图象正弦、余弦函数的图象 yx xO-1PMA(1,0)Tsin =MPcos =OMtan =AT注意：注意：三角三角函数线是函数线是有有向线段向线段！正弦线正弦线MP余弦线余弦线OM 正弦、余弦函数的图象正弦、余弦函数的图象 问题：问题：如何作出正弦、余弦函数的图象？如何作出正弦、余弦函数的图象？途径：途径：利用单位圆中正弦、余弦线来解决。利用单位圆中正弦、余弦线来解决。 y=sinx x0,2O1 O yx3

2、3234352-11y=sinx xR终边相同角的三角函数值相等 即： sin(x+2k)=sinx, kZ )()2(xfkxf描图：用光滑曲线描图：用光滑曲线 将这些正弦线的将这些正弦线的终点终点连结起来连结起来利用图象平移利用图象平移AB 正弦、余弦函数的图象正弦、余弦函数的图象 x6yo-12345-2-3-41y=sinx x0,2y=sinx xR正弦曲正弦曲线线yxo1-122322 正弦、余弦函数的图象正弦、余弦函数的图象 yxo1-122322如何作出如何作出正弦函数正弦函数的图象（在精确度要求不太高时）？的图象（在精确度要求不太高时）？(0,0)( ,1)2( ,0)( ,

3、-1)23( 2 ,0)五点画图法五点画图法五点法五点法(0,0)( ,1)2( ,0)( ,1)23( 2 ,0)(0,0)( ,1)2( ,0)( ,1)23( 2 ,0)(0,0)( ,1)2( ,0)( ,1)23( 2 ,0)(0,0)( ,1)2( ,0)( ,1)23( 2 ,0)(0,0)( ,1)2( ,0)( ,-1)23( 2 ,0)(0,0)( ,1)2( ,0)( ,-1)23( 2 ,0)(0,0)( ,1)2( ,0)( ,-1)23( 2 ,0)(0,0)( ,1)2( ,0)( ,-1)23( 2 ,0)x6yo-12345-2-3-41 定义域定义域(1)

4、值域值域x R 1, 1 二、二、正弦函数的性质正弦函数的性质)(22Zkkx时，取最小值时，取最小值1；时，取最大值时，取最大值1；)(22Zkkx观察正弦曲线，得出正弦函数的性质：观察正弦曲线，得出正弦函数的性质：周周 期期 的的 概概 念念一般地，对于函数一般地，对于函数 f (x)，如果存在一个非零，如果存在一个非零常数常数 T ，使得当，使得当 x 取定义域内的每一个值时，都取定义域内的每一个值时，都有有 f ( xT ) f (x)，那么函数，那么函数 f (x) 就叫做就叫做周期周期函数函数，非零常数，非零常数 T 叫做这个函数的叫做这个函数的周期周期对于一个周期函数，如果在它的

5、所有周期中对于一个周期函数，如果在它的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做它的它的最小正周期最小正周期 由公式由公式 sin (xk 2 )sin x (k Z) 可知：可知： 正弦函数是一个周期函数，正弦函数是一个周期函数，2 ，4 ， ，2 ，4 ， ， 2k (k Z 且且 k0)都是正弦函数的周期都是正弦函数的周期 2 是其最小正周期是其最小正周期 . (2) 正弦函数的周期性正弦函数的周期性 (3) 正弦函数的奇偶性正弦函数的奇偶性由公式由公式 sin(x)sin x图象关于原点成中心对称图象关于原点成中心对称 .正弦函数是奇

6、函数正弦函数是奇函数xyo-1234-2-31223252722325在闭区间在闭区间 上上, 是增函数；是增函数；22， (4) 正弦函数的单调性正弦函数的单调性xyo-1234-2-31223252722325 xsinx2223 0 -1 0 1 0 -1在闭区间在闭区间 上，是减函数上，是减函数.232，Zkkk,22,22观察正弦函数图象观察正弦函数图象Zkkk,223,221. 诱导公式诱导公式 2. 正弦曲线的五点作图法正弦曲线的五点作图法 3. 填表：填表：xcos x210-1010一、余弦函数的图象一、余弦函数的图象 余弦函数图象的五个关键点：余弦函数图象的五个关键点：与与

7、 x 轴的轴的交点交点，)0()0(，图象的图象的最高点最高点， )10() 12(，图象的图象的最低点最低点) 1(，oxy-11-13232656734233561126五点五点作图法作图法 由诱导公式由诱导公式 cos( x+2k )cos x，将，将 ycos x ，x 0，2 的图象的图象沿沿 x 轴向左、右平移轴向左、右平移2 ， 4 ， 就可得到就可得到 ycos x的图象的图象.2o46246xy-1-1 余余 弦弦 曲曲 线线 二、余弦函数的性质二、余弦函数的性质 定义域定义域x R ，值值 域域y - - 1， 1.当当 x2 k ，k Z 时，时， ycos x 取得最大

8、值取得最大值1，即，即 ymax1；当当 x (2 k+1) ， k Z 时，时， ycos x 取得最小值取得最小值 - -1，即，即 ymin- -1 观察余弦曲线观察余弦曲线(1) 余弦函数的值域余弦函数的值域 由公式由公式 cos(xk 2 )cos x ( k Z ) 可知：可知：余弦函数是一个周期函数余弦函数是一个周期函数，2 ，4 ，2 ，4 ， ， 2k ( k Z 且且 k0 )都是余弦函数的周期；都是余弦函数的周期； 2 是其最小正周期是其最小正周期 (2) 余弦函数的周期余弦函数的周期 余弦函数的图象每隔余弦函数的图象每隔 2 重复出现重复出现 (3) 余弦函数的奇偶性余

9、弦函数的奇偶性 由公式由公式 cos(x)cos x 余弦函数是偶函数余弦函数是偶函数图象关于图象关于 y 轴成轴对称轴成轴对称 xo-1234-2-3-41y(4) 余弦函数的单调性余弦函数的单调性 观察余弦曲线观察余弦曲线 xcosx1 0 1 0 1在在 (2 k1) , 2 k (k Z)上，是增函数；上，是增函数； 在在 2 k ，(2 k1) (k Z)上，是减函数上，是减函数 yxo-12-2-312232522325 0 22 正弦、余弦函数的图象正弦、余弦函数的图象 例例1 画出函数画出函数y=1+sinx，x 0, 2 的简图：的简图： x sinx 1+sinx2 23

10、0 2 010-10 1 2 1 0 1 o1yx22322-12y=sinx，x 0, 2 y=1+sinx，x 0, 2 步骤：步骤：1.列表列表2.描点描点3.连线连线例例 2 求使函数求使函数 y2sin x 取最大值、最小值取最大值、最小值 的的 x 的集合，并求出这个函数的集合，并求出这个函数的最大值，的最大值， 最小值和周期最小值和周期 T .-2223211-xyo-20sin2， xxy20sin， xxy, 312)(sin2y,22maxmaxxZkkxxx时，. 112)(sin2y,22minminxZkkxxx时，解解. 2T 正弦、余弦函数的图象正弦、余弦函数的图

11、象 x sinx2 23 0 2 10-101 练习：在同一坐标系内，用五点法分别画出函数练习：在同一坐标系内，用五点法分别画出函数 y= sinx，x 0, 2 和和 y= cosx，x , 的简图：的简图：2 23 o1yx22322-12y=sinx，x 0, 2 y= cosx，x , 2 23 向左平移向左平移 个单位长度个单位长度2 x cosx100-102 23 0 2 正弦、余弦函数的图象正弦、余弦函数的图象 正弦、余弦函数的图象正弦、余弦函数的图象 小小结结1. 正弦曲线、余弦曲线正弦曲线、余弦曲线几何画法几何画法 五点法五点法2.注意与诱导公式、三角函数线等知识的联系注意与诱导公式、三角函数线等知识的联系yxo1-122322y=sinx，x 0, 2 y=cosx，x 0, 2 x6yo-12345-2-3-41 正弦、余弦函数的图象正弦、余弦函数的图象 余弦函数余弦函数的图象的图象 正弦函数正弦函数的图象的图象 x6yo-12345-2-3-41y=cosx=sin(x+ ), xR2 余弦曲余弦曲线线(0,1)( ,0)2( ,-1)( ,0)23( 2 ,1)正弦曲正弦曲线线形状完全一样形状完全一样只是位置不同只是位置不同