课件——杨辉三角与二项式系数的性质.ppt

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1、 1.3.2 “ 1.3.2 “杨辉三角杨辉三角”与二项式系数的性质与二项式系数的性质011222()nnnnnnnrnrrnnnnabC aC abC abC abC b 一般地，对于一般地，对于n N*有有二项式定理二项式定理: 二项展开式中的二项式系数指的是哪些？二项展开式中的二项式系数指的是哪些？共有多少个？共有多少个？ 下面我们来研究二项式系数有些什么性质？我下面我们来研究二项式系数有些什么性质？我们先通过观察们先通过观察n为特殊值时，二项式系数有什么特为特殊值时，二项式系数有什么特点？点？二项式定理二项式定理:计算计算(a+b)n展开式的二项式系数并填入下表展开式的二项式系数并填入

2、下表 n(a+b)n展开式的二项式系数展开式的二项式系数12345616152015611510105114641133112111.些规律些规律发现某发现某助我们助我们也能帮也能帮化有时化有时式的变式的变表示形表示形1615201561ba15101051ba14641ba1331ba121ba11ba654321十十五五一一一一一一一一一一一一一一二二十十六六六六十十五五一一一一一一一一一一一一二二三三 三三四四四四六六五五十十十十五五本本积积商商除除平平方方立立方方三三乘乘四四乘乘五五乘乘左左积积右右积积之之除除而而实实命命方方商商乘乘廉廉以以廉廉皆皆者者藏藏中中算算隅隅乃乃裘裘右右数数

3、积积乃乃裘裘左左13.1图图1615201561ba15101051ba14641ba1331ba121ba11ba654321(a+b)1(a+b)2(a+b)3(a+b)4(a+b)5(a+b)6观察杨辉三角观察杨辉三角1 1）请看系数有没有明显的规律？）请看系数有没有明显的规律？2 2）上下两行有什么关系吗？上下两行有什么关系吗？每行两端都是每行两端都是1 1从第二行起，每行除从第二行起，每行除1 1以外的每一个数都等于它肩以外的每一个数都等于它肩上的两个数的和上的两个数的和(a+b)1(a+b)2(a+b)3(a+b)4(a+b)5(a+b)6+rr 1r1nnnCCCCn0= Cnn

4、=1 展开式的二项式展开式的二项式系数依次是：系数依次是： nba)( 012C ,C ,C ,Cnnnnn 从函数角度看，从函数角度看， 可看可看成是以成是以r为自变量的函数为自变量的函数 , ,其定义域是：其定义域是： rnC)(rfn, 2 , 1 , 0 当当 时，其图象是右时，其图象是右图中的图中的7个孤立点个孤立点6n（1 1）对称性）对称性 与首末两端与首末两端“等距离等距离”的两的两个二项式系数相等个二项式系数相等这一性质可直接由公式这一性质可直接由公式 得到得到mnnmn CC图象的对称轴图象的对称轴：2nr （2 2）增减性与最大值）增减性与最大值 1(1)(2)(1)1C

5、C(1)!kknnn nnnknkkkk由于由于：所以所以 相对于相对于 的增减情况由的增减情况由 决定决定 knC1Cknkkn1由由：2111nkkkn21nk 可知，当可知，当 时，时，二项式系数是逐渐增大的，由对称性可知它的二项式系数是逐渐增大的，由对称性可知它的后半部分是逐渐减小的，且中间项取得最大值后半部分是逐渐减小的，且中间项取得最大值. . 因此，因此，当当n为偶数时为偶数时，中间一项的二项式，中间一项的二项式2Cnn系数系数 取得最大值；取得最大值； 当当n为奇数时为奇数时，中间两项的二项式系数，中间两项的二项式系数 、21Cnn21Cnn相等，且同时取得最大值相等，且同时取

6、得最大值. .（2 2）增减性与最大值）增减性与最大值 （3 3）各二项式系数的和）各二项式系数的和 在二项式定理中，令在二项式定理中，令 ，则：，则： 1abnnnnnn2CCCC210这就是说，这就是说， 的展开式的各二项式系数的和等于的展开式的各二项式系数的和等于：()nabn2.,ba:3n二二项项式式系系数数的的和和系系数数的的和和等等于于偶偶数数项项的的奇奇数数项项的的二二项项式式的的展展开开式式中中在在试试证证例例,CCC4n2n0n 为为奇奇数数项项二二项项式式系系数数的的和和分分析析,CCC5n3n1n 为为偶数项二项式系数的和偶数项二项式系数的和.b, a,b, abCba

7、CbaCaCbannn22n2n1n1nn0nn个系数和个系数和适当赋值来得到上述两适当赋值来得到上述两因此我们可以通过对因此我们可以通过对可以取任意实数可以取任意实数中的中的由于由于 .b, a.,b, a,的的值值要要灵灵活活选选取取的的需需我我们们可可以以根根据据具具体体问问题题还还可可以以是是别别的的项项式式也也可可以以取取任任意意多多既既可可以以取取任任意意实实数数实实际际上上,C1CCCC11, 1b, 1a,bCbaCbaCaCbannn3n2n1n0nnnnn22n2n1n1nn0nn 则得令中在展开式证明 ,CCCC03n1n2n0n 即 3n1n2n0nCCCC所以.,ba

8、n数的和等于偶数项的二项式系和奇数项的二项式系数的的展开式中即在,xCxCxCxCCx1,nnnkkn22n1n0nn 联想到联想到实际上实际上 ., 01f,xCxCxCxCCx1xf,xnnnkkn22n1n0nn的结果的结果由此很容易得到要证明由此很容易得到要证明那么那么即即的函数的函数把它看成是关于把它看成是关于 （1 1） 一般地，一般地， 展开式的二项式系数展开式的二项式系数 有如下基本性质：有如下基本性质：nba)( nnnnCCC,10mnnmnCC （2 2）mnmnmnCCC11（4 4）nnnnnCCC210 （3 3）当当n n为偶数时，为偶数时， 最大最大 当当n n

9、为奇数时，为奇数时， = = 且最大且最大 2Cnn21Cnn21Cnn（对称性）（对称性）(1)二项式系数的三个性质二项式系数的三个性质 (2) 数学思想：函数思想数学思想：函数思想 a 单调性；单调性； b 图象；图象；c 最值最值. 各各二二项项式式系系数数的的和和增增减减性性与与最最大大值值对对称称性性小小 结结中的一些秘密中的一些秘密杨辉三角杨辉三角探究与发现探究与发现第第0 0行行1第第1 1行行 1 1第第2 2行行 1 2 1第第3 3行行 1 3 3 1第第4 4行行 1 4 6 1第第5 5行行 1 5 1第第6 6行行 1 6 15 6 1第第n-1n-1行行 111 n

10、C121 nC11 rnCrnC1 21 nnC 第第n n行行 11nC12nCrnC1 nnC 第第7 7行行 1 7 21 21 7 11035+=3551520104“斜线和斜线和”=1rnC2nC3nC4nC rnrrrCCC1r2r1rC 125第第5 5行行 1 5 10 10 5 1第第6 6行行 1 6 15 20 15 6 1第第7 7行行 1 7 21 35 35 21 7 1第第1 1行行 1 1第第0 0行行1第第2 2行行 1 2 1第第3 3行行 1 3 3 1第第4 4行行 1 4 6 4 1138132134如图，写出斜线上各行数字的和，有什么规律？如图，写出斜线上各行数字的和，有什么规律？第第8 8行行 1 8 28 56 70 56 28 8 1斐波那契数列斐波那契数列斐波那契斐波那契 （11701170 12501250） 意大利商人兼意大利商人兼数学数学家家, ,他他的的著作算著作算盘书盘书中中, ,首首先引入阿拉伯先引入阿拉伯数字，数字，将将“十十进制进制”介介绍给欧洲绍给欧洲人人认识认识，对欧洲的对欧洲的数学数学发展发展有深有深远的影远的影响响. .