将军饮马模型.ppt

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1、“将军饮马将军饮马”模型模型 唐朝诗人李欣的诗唐朝诗人李欣的诗古从军行古从军行开头两句说：开头两句说：“白日登山望峰火，黄昏饮马白日登山望峰火，黄昏饮马傍交河傍交河”诗中隐含着一个有趣的数学问题诗中隐含着一个有趣的数学问题 如图所示，诗中将军在观望烽火之后从山脚下的如图所示，诗中将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，走到河边饮马后点出发，走到河边饮马后 . 再到再到B点宿营请问怎样走才能使总的路程最短？点宿营请问怎样走才能使总的路程最短？ 这个问题早在古罗马时代就有了，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的这个问题早在古罗马时代就有了，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦一天，一位

2、罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得学者，名叫海伦一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题其解的问题 将军每天从军营将军每天从军营A出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的B地开会，地开会，应该怎样走才能使路程最短？应该怎样走才能使路程最短？ 从此，这个被称为从此，这个被称为“将军饮马将军饮马”的问题的问题广泛流传广泛流传 这个问题的解决并不难，据说海伦略加思索就解决了它这个问题的解决并不难，据说海伦略加思索就解决了它 起源起源 如图所示，从如图所示，从A A出发向河岸引垂线，垂足为出发向河岸引垂线，垂足为D D，在，在ADAD的

3、延长线的延长线 取取A A关于河岸的关于河岸的对称点对称点AA，连结，连结ABAB，与河岸线相交于，与河岸线相交于C C，则，则C C点就是饮马的地方，将军只要从点就是饮马的地方，将军只要从A A出发，沿直线走到出发，沿直线走到C C，饮马之后，再由，饮马之后，再由C C沿直线走到沿直线走到B B，走的路程就是最短的，走的路程就是最短的 如果将军在河边的另外任一点如果将军在河边的另外任一点CC饮马，所走的路程就是饮马，所走的路程就是AC+CBAC+CB， 但是，但是，AC+CBAC+CBAC+CBAC+CBABABAC+CBAC+CBAC+CBAC+CB 可见，在可见，在C C点外任何一点点外

4、任何一点CC饮马，所走的路程都要远一些饮马，所走的路程都要远一些 这有几点需要说明的：这有几点需要说明的：（1 1）由作法可知，河流）由作法可知，河流l l相当于线段相当于线段AAAA中垂线中垂线, ,所以所以 AD=ADAD=AD。（2 2）由上一条知：将军走的路程就是）由上一条知：将军走的路程就是AC+BCAC+BC，就等于，就等于AC+BCAC+BC， 而两点确定一线，所以而两点确定一线，所以C C点为最优。点为最优。 解决解决 如图，有如图，有A、B两个村庄，他们想在河流两个村庄，他们想在河流l的边上建立一个水泵站，已知每米的边上建立一个水泵站，已知每米的管道费用是的管道费用是100元

5、，元，A到河流的距离到河流的距离AD是是1km，B到河流的距离到河流的距离BE是是3km，DE长长3km。请问这个水泵站应该建立在哪里使得费用最少？。请问这个水泵站应该建立在哪里使得费用最少？ 解：如图所作，解：如图所作，C点为水泵站的位置。点为水泵站的位置。 应用应用1解：解：在菱形在菱形ABCD中，中，AC与与BD互相垂直平分，互相垂直平分， 点点B、D关于关于AC对称，对称，连接连接ED，则，则ED就是所求的就是所求的EF+BF的最小值的线段，的最小值的线段，AB=AD, DAB=60E为为AB的中点的中点DEAB， Rt ABC中，中， ED=6sin60=3ABC是等边三角形是等边三角形3 如图，在边长为如图，在边长为6的菱形的菱形ABCD中，中，DAB=60，E为为AB的中点，的中点，F是是AC上的一动点，则上的一动点，则EF+BF的的最小值为最小值为 多少多少? 应用应用2