第3讲 平面向量中的范围、 最值问题（解析版）.docx

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1、第 3 讲 平面向量中的范围、 最值问题一选择题 (共 17 小题)1 如 图 ， 四边形 OABC 是边长为 1 的 正方形 ， OD 3 ， 点 P 为 BCD 内 (含边 界 ) 的动 点 ， 设OP OC OD( , R) ，则 的最大值等于 ( ) A B C D 1【解析】解： 以 O 为原点， 以 OD 所在直线为x 轴建立直角坐标系， 设点 P(x, y) ， OP OC OD ，则 (x ， y) (0 ， 1) (3 ， 0) (3 ， ) 所以， x 3 y x y 由于点P 在 BCD 内 (包含边界)， 目标函数为 x y ，如图所示，当点 P 为点 B(1, 1)

2、时， x y 取得最大值，其最大值为 1 ，故选： B 2 已知 , | | , | | t ，若 P 点是 ABC 所在平面内一点，且 | | | ，则 的 最大值等于 ( )A 13 B 15 C 19 D 21【解析】解： 由题意建立如图所示的坐标系，可得 A(0, 0) ， B( ， 0) ， C(0, t) ， AB 4AC AP | | | | ， P(1, 4) ， ( 1 ， 4) ， (1, t 4) ， ( 1) 4(t 4) 17 (4t ) ，由基本不等式可得 4t2 4 ， 17 (4t ) 17 4 13 ，当且仅当4t 即 t 时取等号， 的最大值为 13，故选：

3、 A 3 已知 ，| | ，| | t ，t ，4 ；若P 是 ABC 所在平面内一点，且 | | | ， 则 的取值范围是 ( )A 13 ， 17 B 12 ， 13 C ， 12 D ， 13【解析】解： 由题意建立如图所示的坐标系，可得 A(0, 0) ， B( ， 0) ， C(0, t) ， | | | (1 ， 0) (0 ， 4) (1 ， 4) ， P(1, 4) ， ( 1 ， 4) ， (1, t 4) ， ( 1) 4(t 4) 17 ( 4t) 17 2 13 ，当且仅当 4t ，即 t ， 4 ，时，取等号，由t 4 可得17 (16 ) ，由 t 可得17 (1

4、4) 12 ， 的最大值为 13 ，最小值为 则PB PC 的范围是 ， 13 34故选： D 4 已知a ， 是平面内互不相等的两个非零向量，且 |a | 1 ， a 与 的夹角为150 ，则 | | 的取值范围 是 ( )A (0 ， B 1 ， C (0 ， 2 D ， 2【解析】解：如图所示，设 a ， ，则 a 由于 | a | 1 ， a 与 的夹角为150 ，可得 OAB 中， OA 1 ， OBA 30 由正弦定理可得： OAB 的外接圆的半径 r 1 则点B 为圆上的动点由图可令b OB (1 cos, sin ) ， 则| | | | (0, 2 故选： C 5设向量 ，的

5、夹角 定义： | | sin 若平面内互不相等的两个非零向量a ， 满足：| a | 1， (a ) 与 的夹角为150 ， a 的最大值为 ( )A 2 B C D 【解析】解：设 a ， ，则 a ，| a | 1 ， a 与 的夹角为150 ，OAB 中， OA 1 ， OBA 30 ，由正弦定理可得： OAB 的半径为 1，则B 点为圆上与 OA 不重合的动点，设 AOB (0 150) ，由正弦定理可得， AB 2sin ， OB 2sin(150 ) ，则 a OA OB sin 2SOAB AB OBsin 30 2sin sin(150 ) cos150 cos(2 150)

6、cos(2 150) ，当 75 时， a 取得最大值，且为1 故选： C 6 已知平面内互不相等的非零向量a ， 满足 |a | 1 ， a 与 的夹角为150 ，则 a 的最大值为 ( )A 2 B C D 【解析】解：如图所示，设 a ， 则 a | a | 1 ， a 与 的夹角为150 ， OAB 中， OA 1 ， OBA 180 150 30 由正弦定理可得： OAB 的外接圆的半径 r 1 则点B 为圆上与 A 点重合的动点由图可令： a ( , ) ， (1 cos, sin ) a cos sin sin( ) ，当 sin( ) 1 时取等号 a 的最大值为 故选： C

7、7 已知向量 与 的夹角为 ，| | 2 ，| | 1 ， t ， (1 t) ，| | 在 t0 时取最小值， 当 0 t0 时， cos 的取值范围为 ( ) A ( ， 0) B ( ， ) C ( ， 1) D ( ， )【解析】解： 由题意得：OA OB 2 1 cos 2cos， PQ OQ OP (1 t )OB tOA ， 2 (1 t)2 2 t2 2 2t(1 t) (1 t)2 4t2 4t(1 t)cos (5 4cos)t2 (2 4cos)t 1，由二次函数知，当上式取最小值时， t0 ， 0 t0 ， 0 ，解得 cos cos 的取值范围为 ( , ) 故选：

8、D 8 已知向量 与 的夹角为 ，| | 2 ，| | 1 ， t ， (1 t) ，| | 在 t0 时取得最小 值当 0 t0 时，夹角 的取值范围为 ( )A (0, ) B ( ， ) C ( ， ) D (0, )【解析】解： 由题意可得 2 1 cos 2cos ， PQ OQ OP (1 t )OB tOA ， 2 (1 t)2 2 t2 2 2t(1 t) (1 t)2 4t2 4t(1 t)cos (5 4cos)t2 (2 4cos)t 1 ，由二次函数知，当上式取最小值时， t0 ，由题意可得 0 ，求得 cos 0 ， ，故选： C 9 设向量 e1 、 e2 满足：

9、| e1 | 2, | e2 | 1 ， e1 ， e2 的夹角是90 ，若 2te1 7e2 与 e1 te2 的夹角为钝角，则t 的 取值范围是 ( ) A ( , 0) B ( , ) ( , 0)C ( , ) D ( , 0)【解析】解： 向量 e1 、 e2 满足： | e1 | 2, | e2 | 1 ， e1 ， e2 的夹角是 90 ， e1 e2 0 若 2te1 7e2 与 e1 te2 的夹角为钝角， 则 (2te1 7e2 ) (e1 te2 ) 0 ，且 (2te1 7e2 ) 与 (e1 te2 ) 不共线，即 2t 2 0 7t 2 0 ，且 ，2即8t 7t

10、0 ，且 t 求得 t 0 ， t ，即 t ( ， ) ( ， 0) ，故选： B 10在空间直角坐标系 O xyz 中，已知 OA (1, 2, 3) ， OB (2, 1, 2) ， OP (1, 1, 2) ，点 Q 在直线 OP 上运动，则当 QA QB 取得最小值时，点 Q 的坐标为 ( ) A ( , , ) B ( , , ) C ( , , ) D ( , , )【解析】解： 点 Q 在直线 OP 上运动， 存在实数 使得 OQ OP ( ， ， 2) ， QA (1 , 2 , 3 2) ， QB (2 , 1 , 2 2) QA QB (1 )(2 ) (2 )(1 )

11、(3 2)(2 2) 62 16 10 6( )2 ，当且仅当 时，上式取得最小值，Q( , , ) 故选： C 11已知 RtAOB 的面积为 1 ，O 为直角顶点，设向量a | | ， | | ， a 2 ，则 的最 大值为 ( )A 1 B 2 C 3 D 4 【解析】解： 以 O 为原点， OA 所在直线为x 轴，建立直角坐标系，设 A(m, 0) ， B(0, n) ，则 a (1, 0) ， (0, 1) ， a 2 (1, 2) ， (m 1, 2) ， (1, n 2) ，RtAOB 的面积为 1 ，即有 mn 2 ，则PA PB 1 m 2(n 2) 5 (m 2n) 5 2

12、 5 2 2 1 当且仅当 m 2n 2 时，取得最大值 1故选： A 12已知向量a ， 均为单位问量，且 a 向量a c 与向量 c 的夹角为 ，则 |a c | 的最大值为 ()A B 1 C D 2【解析】解： 由 a ，向量a ， 为单位向量，可得a ， 的夹角为 60 设 a ， ， c 由 向量a ，向量a ， 均为单位问量 1 1 cos a ， ， a ， 设 a ， ， c 向量c 满足a c 与 c 的夹角为 ， ACB 由等边三角形 OAB ，点 C 在 AB 外且 ACB 为定值，可得 C 的轨迹是两段圆弧， ACB 是 AB 所对的圆周角可知：当 AC 时是弧 所在

13、圆 (上述圆弧) 的直径时， | a c | 取得最大值 | AC | ， 在 ABC 中， 由正弦定理可得： AC 2 | ， | a c | 取得最大值| AC | 取得最大值是 2故选： D 13已知平面向量 a (1, 2) ， (2, 1) ， c (x, y) ，满足 x0 ， y0 若 a c1 ， c1 ， z (a ) c 则 ( )A z 有最大值 2 B z 有最小值 2 C z 有最大值 3 D z 有最小值 3【解析】解： a c x 2y1 c 2x y1 3x 3y2Z (a ) c (3x 3y) 3(x y) 2 Z 的最大值为 2故选： A 14已知a 、

14、是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足 (c a) (c ) 0 ，则|c | 的最大值是 ( )A 1 B 2 C D 【解析】解： 由题意可得a 0 ，可得| a | ，(c a) (c ) c2 a c (a ) | c |2 | c | | a | cos (a ， c 0 ，即为 | c | cos a ， c ，当 cos a ， c 1 即 a ， c 同向时，| c | 的最大值是 故选： C 15已知向量a (cos, sin ) ，向量 ( ， 1) 则| 2a | 的最大值，最小值分别是 ( )A 4 ，0 B 4 ， 4 C 16 ，0 D 4 ，0【解析】解：

15、 2a (2 cos ， 2 sin 1) ，| 2a | ，最大值为 4 ，最小值为 0故选： D 16已知a, 是单位向量， a 0 ，若向量 c 满足|c a | 1 ，则 |c | 的取值范围是 ( )A 1, 1 B 1, 1 C 0 ， 2 D 1, 1【解析】解： 由 a, 是单位向量，且 a 0 ，则可设 a (1, 0) ， (0, 1) ， c (x, y) ； 向量c 满足| c a | 1，| (x 1, y 1) | 1 ， (x 1)2 (y 1)2 1 ，即 (x 1)2 (y 1)2 1 ，它表示圆心为 C(1, 1) ，半径为 r 1的圆；又|c | | (x

16、 ， y 1) | x2 (y 1)2 ，它表示圆 C 上的点到点 B(0, 1) 的距离，如图所示： 且| BC | ， 1 | PB | 1 ；即| c | 的取值范围是 1 ， 1 故选： D 17设 ， 为单位向量，非零向量 x y ，x ，y R ，若 ， 的夹角为 ，则 bx 的最小值为 ( )A B C 1 D 4【解析】解： 为单位向量，非零向量 x y ， x ， y R ，若 的夹角为 ， | | | cos ，则| b |2 (xe1 ye2 )2 x2 y2 2xye1 e2 ， 则 bx 1 ()2 () ( )2 ， 时，取等号，当且仅当 y 3x 2故选： B 二

17、填空题 (共 7 小题) 18在边长为 2 的等边三角形 ABC 中， D 是 AB 的中点， E 为线段 AC 上一动点，则EB ED 的取值范围为 ，3 2316 【解析】解： 由题意可得 AE 和 AB 的夹角为 60 ，设 | AE | x ， x 0 ， 2 ， ( ) ( ) 2 2 1 2x cos 60 x cos 60 x 2 x2 x 2 (x )2 ，故当 x 时， EB ED 取得最小值为 ，当 x 2 时， EB ED 取得最大值为 3，3 23 4 16 23故 EB ED 的取值范围为 , 3 ，1619 已知向量 a, , c 满足 | a | 6, | | 2

18、 ， a 与 的夹角为 ， (c a) (c ) 4 ，则 | c a | 的最小值为 1 【解析】解： 由向量| a | 6 ， | | 2 ， a 与 的夹角为 ，可设 a (6, 0) ， (2 cos ， 2 sin ) (2 ， 2) ， c (x ,y ) ，由 (c a) (c ) 4 ，得 (x 6)(x 2) y(y 2) 4 ；化为 (x 4)2 (y 1)2 1 ，所以点 C 在以M(4, 1) 为圆心， 以 1 为半径的圆的上；且|c a | (x 6)2 y2 表示圆上的点到点 A(6, 0) 的距离，如图所示：由图形知， | c a | 的最小值为|PA | | M

19、A | r 1 1故答案为： 1 20已知平面向量a ， ， c 满足a 与 的夹角为锐角，| a | 4 ，| | 2 ，| c | 1 ，且| ta | 的最小值为 ，则实数t 的值是 ，向量 (c a) (c ) 的取值范围是 【解析】解：(1) 设 a 与 的夹角为 ，则 (0, ) ，| ta |2 2 2ta t2 a2 16t2 16t cos 4 16(t )2 4cos2 4 ，当t ，上式有最小值为 4 cos2 4 ， | ta | 的最小值为 ， | ta |2 的最小值为 3，4 cos2 4 3 ，解得 cos 又 (0, ) ， cos 0 ， cos ，此时 t

20、 (2) 由 (1) 可知， cos ， a 与 的夹角为 ，且 | a | 4 ， | | 2 ， | c | 1 ，不妨设 a (4, 0) ， (2 cos, 2 sin ) (1, ) ， c (cos , sin ) ， R ， (c a) (c ) (cos 2, sin ) (cos 1, sin ) 3 cos sin 3 2 sin( ) 3 3 2 , 3 2 向量 (c a) (c ) 的取值范围是3 2 , 3 2 故答案为： ； 3 2 , 3 2 3 521已知a (, 2) ， (3, 5) ，且 a 与 的夹角为锐角，则 的取值范围是 10 且 6 【解析】解：

21、 a (, 2) ， (3, 5) ，且 a 与 的夹角为锐角， a 3 10 0 ，解得 ，但当 5 2 (3) ，即 时，两向量同向，应舍去， 的取值范围为： 且 ，故答案为： 且 22在 ABC 中， O 为中线 AM 上一个动点，若 AM 2 ，则 OA (OB OC) 的最小值是 2 【解析】解： 以 OB 和 OC 做平行四边形 OBNC 则 因为M为 BC 的中点 所以 ON 2OM 且 ON, OA 反向 OA (OB OC) OA ON | OA | ON | cos180 | OA | ON | ，设 OA x ， (0x2)OM 2 x ， ON 4 2x OA (OB

22、OC) x(4 2x) 2x 2 4x(0 x 2)其对称轴 x 1所以当x 1 时有最小值 2故答案为 223设 为单位向量，非零向量 a x y , x, y R ，若 的夹角为 ，则 的最大值等于 【解析】解： 4 2| a | x 2 2 y 2 2 2xycos x 2 y 2 2xy 2 x 2 y 2 2xy ，只考虑x 0 ，| x |1 2 ，1 当且仅当则 | x |x2 y2 2xy ()2 ( ) 1 ( )2 y 2 时取等号x 2| x | a |则2 的最大值等于故答案为： 2 的两个单位向量，非零向量 x y ， x ， y R ，若x 2y 2 ，则| | 的

23、24 已知 e1 ， e2 是夹角为 最小值为 1 【解析】解： .2 x2 y2 2xy2 y2 xy x 2y 2 ， x 2 2y 2 (2 2y)2 y2 (2 2y)y 3y2 6y 4 3(y 1)2 1 当 y 1 时， b 2 取得最小值 1| | 的最小值为 1故答案为：1三解答题 (共 1 小题)25设两向量e1 、e2 满足 | | 2 ，| e2 | 1 ， 、e2 的夹角为 60 ，若向量 2t 7 e2 与向量 te2 的夹角为0 ，) ，求实数 t 的取值范围【解析】解： 两向量 e1 、 e2 满足 | | 2 ， | e2 | 1 ， 、 e2 的夹角为 60 ， 不妨设e2 (1, 0) ， e1 (1, ) ，则 2t 7 e2 (2t 7 ， 7 ) ， te2 (t 1, t ) 向量 2t 7 e2 与向量 te2 的夹角为0 ， ) ，向量 (2t 7 e2 )( te2 ) (2t 7)(t 1) 21t 0 ，化为 2t2 30t 7 0 ，解得 t 或 t 实数 t 的取值范围是t 或 t