1990考研数学二真题解析【无水印】.pdf

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1、1990 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 一、填空题一、填空题( (本题共本题共 5 5 小题小题, ,每小题每小题 3 3 分分, ,满分满分 1515 分分. .把答案填在题中横线上把答案填在题中横线上.).) (1) 曲线33cossinxtyt =上对应于点6t=点处的法线方程是. (2) 设1tan1sinxyex=,则y =. (3) 101xxdx=. (4) 下列两个积分的大小关系是：312xedx 312xe dx. (5) 设函数1, | 1( )0, | 1xf xx=,则函数 ( )f f x=. 二、选择题二、选择题( (

2、每小题每小题 3 3 分分, ,满分满分 1515 分分. .每小题给出的四个选项中每小题给出的四个选项中, ,只有一项符合题目要求只有一项符合题目要求, ,把把所选项前的字母填在题后的括号内所选项前的字母填在题后的括号内.).) (1) 已知2lim01xxaxbx=+,其中, a b是常数,则 ( ) (A) 1,1ab= (B) 1,1ab= = (C) 1,1ab= (D) 1,1ab= = (2) 设函数( )f x在(,) +上连续,则( )df x dx等于 ( ) (A) ( )f x (B) ( )f x dx (C) ( )f xC+ (D) ( )fx dx (3) 已知

3、函数( )f x具有任意阶导数,且2( ) ( )fxf x=,则当n为大于2的正整数时,( )f x 的n阶导数( )( )nfx是 ( ) (A) 1! ( )nnf x+ (B) 1 ( )nn f x+ (C) 2 ( )nf x (D) 2! ( )nnf x (4) 设( )f x是连续函数,且( )( )xexF xf t dt=,则( )F x等于 ( ) (A) ()( )xxef ef x (B) ()( )xxef ef x+ (C) ()( )xxef ef x (D) ()( )xxef ef x+ (5) 设( ), 0( )(0), 0f xxF xxfx=,其中

4、( )f x在0 x =处可导,(0)0,(0)0ff=,则0 x = 是( )F x的 ( ) (A) 连续点 (B) 第一类间断点 (C) 第二类间断点 (D) 连续点或间断点不能由此确定 三、三、( (每小题每小题 5 5 分分, ,满分满分 2525 分分.).) (1) 已知lim()9xxxaxa+=,求常数a. (2) 求由方程2()ln()yxxyxy=所确定的函数( )yy x=的微分dy. (3) 求曲线21(0)1yxx=+的拐点. (4) 计算2ln(1)xdxx. (5) 求微分方程ln(ln )0 xxdyyx dx+=满足条件1x ey=的特解. 四、四、( (本

5、题满分本题满分 9 9 分分) ) 在椭圆22221xyab+=的第一象限部分上求一点P,使该点处的切线、椭圆及两坐标轴所围图形面积为最小(其中0,0ab). 五、五、( (本题满分本题满分 9 9 分分) ) 证明：当0 x ,有不等式1arctan2xx+. 六、六、( (本题满分本题满分 9 9 分分) ) 设1ln( )1xtf xdtt=+,其中0 x ,求1( )( )f xfx+. 七、七、( (本题满分本题满分 9 9 分分) ) 过点(1,0)P作抛物线2yx=的切线,该切线与上述抛物线及x轴围成一平面图形,求此平面图形绕x轴旋转一周所围成旋转体的体积. 八、八、( (本题满

6、分本题满分 9 9 分分) ) 求微分方程44axyyye+=之通解,其中a为实数. 19901990 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析 一、填空题一、填空题( (本题共本题共 5 5 小题小题, ,每小题每小题 3 3 分分, ,满分满分 1515 分分.).) (1)【答案】133(3)88yx= 【解析】将6t=代入参数方程得, x y在6t=处的函数值:6338tx=,61;8ty= 得切点为31(3, )88. 过已知点00(,)xy的法线方程为00()yyk xx=,当函数在点00(,)xy处的导数 00 x xy=时,01()k

7、y x=.所以需求曲线在点6t=处的导数. 由复合函数求导法则,可得 dydy dtdydxdtdtdxdt dx=223sincos3cossintttt=tant= , 613xty= ； 法线斜率为3.k =所以过已知点的法线方程为133(3).88yx= 【相关知识点】复合函数求导法则： 如果( )ug x=在点x可导,而( )yf x=在点( )ug x=可导,则复合函数( )yf g x=在点x可导,且其导数为 ( )( )dyf ug xdx=或dydy dudxdu dx=. (2)【答案】11tantan22211111secsincosxxeex xxx x+ 【解析】原函

8、数对x求导,有 111tantantan111sinsinsinxxxyeeexxx =+ 11tantan111 1tansincosxxeexxxx=+ 11tantan22211111secsincos.xxeex xxx x=+ 【相关知识点】1.两函数乘积的求导公式： ( )( )( )( )( )( )f xg xfxg xf xg x=+. 2.复合函数的求导法则: 如果( )ug x=在点x可导,而( )yf x=在点( )ug x=可导,则复合函数( )yf g x= 在点x可导,且其导数为 ( )( )dyf ug xdx=或dydy dudxdu dx=. (3)【答案】

9、415 【解析】 对于原定积分,有换元法或拆项法可选择,不管是何种方法,最终的目的都是去 掉积分式子中的根式或使得根式积分可以单独积分出结果. 方法方法 1 1：换元法,令1xt=,原积分区间为01x,则011x ,进而011x,新积分区间为01t ；当0 x =时,1t =,当1x =时,0t =,故新积分上限为 0,下限为 1. 1dxdt=1122 1dtdxdxtx=,则2dxtdt= . 原式 021(1)( 2)tttdt= ()11243500112235ttdttt= 1142.3515= 方法方法 2 2：拆项法,()11xx=+, 原式 ()10111xxdx=+ ()31

10、120011xdxxdx= ()()11352200221135xx= +224.3515= (4)【答案】 【解析】由于3xe,3xe在 2, 1连续且3xe3xe,根据比较定理得到 312xedx312xe dx. 【相关知识点】对于相同区间上的定积分的比较,有“比较定理”如下： 若( )f x与( )g x在区间 , a b(, a b为常数,ab时,有( )0.f x =代入 ( )f f x,又(0)1,f=即当| 1x 时,也有 ( )1f f x. 因此,对任意的(,)x +,有 ( )1f f x. 二、选择题二、选择题( (每小题每小题 3 3 分分, ,满分满分 1515

11、分分.).) (1)【答案】C 【解析】本题考查多项式之比当x 时的极限. 由题设条件,有 22(1)()limlim011xxxa xab xbaxbxx+=+, 分析应有10,0,aab=+= 否则2(1)()lim01xa xab xbx+. 所以解以上方程组,可得1,1.ab= 所以此题应选 C. (2)【答案】B 【解析】由函数的不定积分公式: 若( )F x是( )f x的一个原函数,( )( )f x dxF xC=+,( )( )dF xf x dx=,有 ( )( )( ).df x dxf x dx dxf x dx= 所以本题应该选(B). (3)【答案】A 【解析】本题

12、考查高阶导数的求法. 为方便记( )yf x=.由2yy =,逐次求导得 322,yyyy=243!3!,yy yy=, 由第一归纳法,可归纳证明( )1!nnyn y+=. 假设nk=成立,即( )1!kkyk y+=,则 ()(1)( )1!1 !kkkkyyk ykyy+=+ ()()111 !kky+=+, 所以1nk=+亦成立,原假设成立. (4)【答案】A 【解析】对( )( )xexF xf t dt=两边求导数得 ( )()()( )( )xxF xf eef x x=()( ).xxef ef x= 故本题选 A. 【相关知识点】1.对积分上限的函数的求导公式： 若( )(

13、)( )( )ttF tf x dx=,( ) t,( ) t均一阶可导,则 ( )( )( )( )( )F ttfttft=. 2.复合函数求导法则： 如果( )ug x=在点x可导,而( )yf x=在点( )ug x=可导,则复合函数( )yf g x= 在点x可导,且其导数为( )( )dyf ug xdx=或dydy dudxdu dx=. (5)【答案】B 【解析】由于 000( )( )(0)lim( )limlim0 xxxf xf xfF xxx=, 由函数在一点处导数的定义, 00000()()()limlim,xxf xxf xyfxxx += 得0lim( )(0)0

14、(0)(0),xF xffF= 所以函数不连续,且极限存在但不等于函数值,故为第一类(可去)间断点,故本题选 B. 【相关知识点】1. 函数( )yf x=在点0 x连续：设函数( )f x在点0 x的某一邻域内有定义,如果00lim( )(),xxf xf x=则称函数( )f x在点0 x连续. 2.函数( )f x的间断点或者不连续点的定义：设函数( )f x在点0 x的某去心邻域内有定义,只要满足一下三种情况之一即是间断点. (1) 在0 xx=没有定义； (2) 虽在0 xx=有定义,但0lim( )xxf x不存在； (3) 虽在0 xx=有定义,且0lim( )xxf x存在,但

15、00lim( )();xxf xf x 通常把间断点分成两类：如果0 x是函数( )f x的间断点,但左极限0()f x及右极限0()f x+都存在,那么0 x称为函数( )f x的第一类间断点；不是第一类间断点的任何间断点,称为第二类间断点. 三、三、( (每小题每小题 5 5 分分, ,满分满分 2525 分分.).) (1)【解析】此题考查重要极限：1lim(1).xxex+= (1)lim()lim(1)xxxxxaxaxaxax+=()(1)lim(1)xaaxxaaaxax +=29aaaeee=, 得2ln9a =ln3a=. 或由 2222lim()lim 1x axaa x

16、axaxxxaaexaxa+=+=, 同理可得ln3a =. (2)【解析】方程两边求微分,得 2dydxln()()()ln()xyd xyxydxy=+ ()ln()()dxdydxdyxyxyxy=+, 整理得 2ln()3ln()xydydxxy+=+. (3)【解析】对分式求导数,有公式2uu vuvvv=,所以 2222 322(31),(1)(1)xxyyxx=+, 令0y =得13x =,y在此变号,即是13x 时,0;y时,0;y 故拐点为13(, )43. 【相关知识点】1.拐点的定义：设函数( )f x在点0 x的某一邻域连续,函数( )f x的图形在点0 x处的左右侧凹

17、凸性相反,则称00(,()xf x为曲线( )f x的拐点. 2.拐点判别定理： (1)设函数( )f x在00(,)xx+连续,在去心邻域 000(,)xxx+,就是区间 00(,)xx+内不包括点0 x二阶可导,且0( )()fx xx在00 xx上不变号,则 00(,()xf x为拐点. (2)设函数( )f x在00(,)xx+二阶可导,0()0,fx=又0()0,fx则00(,()xf x 为拐点. 本题利用第一个判别定理就足够判定所求点是否是拐点了. (4)【解析】由22(1)1(1)(1)(1)dxdxdxxx=有 2ln1ln()(1)1xdxxdxx=ln11()11xdxx

18、xx+分部法 lnln |1|1xxxCx=+, C为任意常数. 注：分部积分法的关键是要选好谁先进入积分号的问题,如果选择不当可能引起更繁杂的计算,最后甚至算不出结果来.在做题的时候应该好好总结,积累经验. 【相关知识点】分部积分公式：假定( )uu x=与( )vv x=均具有连续的导函数,则 ,uv dxuvu vdx=或者.udvuvvdu= (5)【解析】所给方程为一阶线性非齐次方程,其标准形式为 11lnyyxxx+=. 由于 ln|ln|dxxxex=,两边乘以ln x得ln( ln )xyxx =. 积分得 lnlnxyxdxCx=+, 通解为 ln2lnxCyx=+. 代入初

19、始条件1x ey=可得12C =,所求特解为ln122lnxyx=+. 四、四、( (本题满分本题满分 9 9 分分) ) 【解析】对椭圆方程进行微分,有220 xdxydyab+=22dyb xdxa y= . 过曲线上已知点00(,)xy的切线方程为00()yyk xx=,当0()y x存在时,0()ky x=. 所以点( , )x y处的切线方程为22()b xYyXxa y= ,化简得到221xXyYab+=. 分别令0X =与0Y =,得切线在, x y上的截距分别为22,abxy； 又由椭圆的面积计算公式ab,其中, a b为半长轴和半短轴,故所求面积为 2211,(0, )24a

20、bSab xaxy=. , a b为常数,欲使得S的最小,则应使得xy最大；从而问题化为求uxy=(y由椭圆方程所确定)当(0, )xa时的最大值点. 令,0uxy uxyy=+=,得yyx =,再对22221xyab+=两边求导得220 xyyab+=,联合可得2ax =(唯一驻点),即在此点uxy=取得最大,S取得最小值. 由于00lim( )lim( )xaxS xS x+ = +,所以( )S x在(0, )a上存在最小值,2ax =必为最小点,所求P点为,22ab. 五、五、( (本题满分本题满分 9 9 分分) ) 【解析】 证明不等式的一般方法是将表达式移到不等号的一边,令其为(

21、 )f x,另一边剩下 0,再在给定区间内讨论( )f x的单调性即可证明原不等式. 令1( )arctan2f xxx=+,则2211( )0 (0)1fxxxx=+.因此,( )f x在 (0,)+上单调减；又有lim arctan2xx+=,所以 11lim( )lim()lim022xxxf xxx+=+=, 故0 x=,所以原不等式得证. 六、六、( (本题满分本题满分 9 9 分分) ) 【解析】 方法方法 1 1：111ln( )1xtfdtxt=+,由换元积分1tu=,21dtduu=,1:1tx:1ux； 所以 11111lnln( )1(1)tuxxtufdtduxtu u

22、=+. 由区间相同的积分式的可加性,有 1( )( )f xfx+=2111lnlnln1ln1(1)2xxxtttdtdtdtxtt tt+=+. 方法方法 2 2：令1( )( )( )F xf xfx=+,则 21lnln1ln( ).111xxxF xxxxx=+=+ 由牛顿-莱布尼兹公式,有 1ln( )(1)xxF xFdxx=21ln2x=, 而11ln(1)0 xFdxx=,故211( )( )( )ln2F xf xfxx=+=. 【相关知识点】牛顿-莱布尼兹公式：设函数( )f x在 , a b上连续,( )F x为( )f x在 , a b上的任意一个原函数,则有 ( )

23、( )( )( ).bbaaf x dxF xF bF a= 七、七、( (本题满分本题满分 9 9 分分) ) 【解析】先求得切线方程：对抛物线方程求导数,得 122yx =,过曲线上已知点00(,)xy的切线方程 为00()yyk xx=,当0()y x存在时,0()ky x=. 所以点00(,2)xx 处的切线方程为 00012()22yxxxx=, 此切线过点(1,0)P,所以把点(1,0)P代入切线方程得03x =,再03x =代入抛物线方程得 01y =,11(3).22 32y=由此,与抛物线相切于(3,1)斜率为12的切线方程为 21xy=. 旋转体是由曲线( ),yf x=直

24、线21xy=与x轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周所形成的,求旋转体体积V： 方法方法 1 1：曲线表成y是x的函数,V是两个旋转体的体积之差,套用已有公式得 3322121(1)(2)4Vxdxxdx= 3332121 11(1)(2 )4 326xxx=. 方法方法 2 2：曲线表成x是y的函数,并作水平分割,相应于, y ydy+小横条的体积微元,如上图所示, 22(2)(21),dVyyydy=+ 1 x y O 1 2 y 3 于是,旋转体体积 13202(2)Vyyy dy=+432112120432yyy=+6=. 【相关知识点】1.由连续曲线( )yf x=、直线,xa xb=及

25、x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周所得的旋转体体积为：2( )baVfx dx=. 2.设( )f x在 , a b连续,非负,0a ,则曲线( )yf x=,直线,xa xb=及x轴围成的平面图形绕y轴旋转所得旋转体体积为：2( )baVxf x dx=(可用微元法导出). 八、八、( (本题满分本题满分 9 9 分分) ) 【解析】所给方程为常系数二阶线性非齐次方程,特征方程2440rr+=的根为122rr= ,原方程右端axxee=中的a=. 当2a= 时,可设非齐次方程的特解axYAe=,代入方程可得21(2)Aa=+, 当2a= 时,可设非齐次方程的特解2axYx Ae=,代入方程可

26、得12A =, 所以通解为 2122() (2)(2)axxeycc x eaa=+ +, 22212() (2)2xxx eycc x ea=+= . 【相关知识点】1.二阶线性非齐次方程解的结构：设*( )yx是二阶线性非齐次方程 ( )( )( )yP x yQ x yf x+=的一个特解.( )Y x是与之对应的齐次方程 ( )( )0yP x yQ x y+=的通解,则*( )( )yY xyx=+是非齐次方程的通解. 2. 二阶常系数线性齐次方程通解的求解方法：对于求解二阶常系数线性齐次方程的通解( )Y x,可用特征方程法求解：即( )( )0yP x yQ x y+=中的( )

27、P x、( )Q x均是常数,方程变为0ypyqy+=.其特征方程写为20rprq+=,在复数域内解出两个特征根12,r r； 分三种情况： (1) 两个不相等的实数根12,r r,则通解为1212;rxr xyC eC e=+ (2) 两个相等的实数根12rr=,则通解为()112;rxyCC x e=+ (3) 一对共轭复根1,2ri=,则通解为()12cossin.xyeCxCx=+其中12,C C为常数. 3.对于求解二阶线性非齐次方程( )( )( )yP x yQ x yf x+=的一个特解*( )yx,可用待定系数法,有结论如下： 如果( )( ),xmf xP x e=则二阶常系数线性非齐次方程具有形如*( )( )kxmyxx Qx e= 的特解,其中( )mQx是与( )mP x相同次数的多项式,而k按不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的重根依次取 0、1 或 2.