1991考研数一真题及解析.pdf

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1、 19911991 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题 一、填空题一、填空题( (本题本题满分满分 1515 分分, ,每小题每小题 3 3 分分.).) (1) 设21,cos ,xtyt 则22d ydx=_. (2) 由方程2222xyzxyz所确定的函数( , )zz x y在点(1,0, 1)处的全微分dz=_. (3) 已知两条直线的方程是1123:101xyzL；221:211xyzL,则过1L且平行于2L的平面方程是_. (4) 已知当0 x时,123(1)1ax与cos1x是等价无穷小,则常数a=_. (5) 设 4 阶方阵5 2 0

2、 02 1 0 00 0 1 20 0 1 1A,则A的逆阵1A=_. 二、选择题二、选择题( (本题本题满分满分 1515 分分, ,每小题每小题 3 3 分分.).) (1) 曲线2211xxeye ( ) (A) 没有渐近线 (B) 仅有水平渐近线 (C) 仅有铅直渐近线 (D) 既有水平渐近线又有铅直渐近线 (2) 若连续函数( )f x满足关系式20( )ln22xtf xfdt,则( )f x等于 ( ) (A) ln2xe (B) 2ln2xe (C) ln2xe (D) 2ln2xe (3) 已知级数11( 1)2nnna,2115nna,则级数1nna等于 ( ) (A) 3

3、 (B) 7 (C) 8 (D) 9 (4) 设D是xOy平面上以(1,1)、(-1,1)和(-1,-1)为顶点的三角形区域,1D是D在第一象限的部分,则(cos sin )Dxyxy dxdy等于 ( ) (A) 12cos sinDxydxdy (B) 12Dxydxdy (C) 14(cos sin )Dxyxy dxdy (D) 0 (5) 设n阶方阵A、B、C满足关系式ABCE,其中E是n阶单位阵,则必有 ( ) (A) ACBE (B) CBAE (C) BACE (D) BCAE 三、三、( (本题满分本题满分 1515 分分, ,每小题每小题 5 5 分分.).) (1) 求0

4、lim(cos)xxx. (2) 设n是曲面222236xyz在点(1,1,1)P处的指向外侧的法向量,求函数 2268xyuz在点P处沿方向n的方向导数. (3) 22()xyz dV,其中是由曲线22 ,0yzx绕z轴旋转一周而成的曲面与平面4z 所围成的立体. 四、四、( (本题满分本题满分 6 6 分分) ) 在过点(0,0)O和( ,0)A的曲线族sin (0)yax a中,求一条曲线L,使沿该曲线从O到A的积分3(1)(2)Ly dxxy dy的值最小. 五、五、( (本题满分本题满分 8 8 分分.).) 将函数( )2 |( 11)f xxx 展开成以 2 为周期的傅立叶级数,

5、并由此求级数 211nn的和. 六、六、( (本题满分本题满分 7 7 分分.).) 设函数( )f x在0,1上连续,(0,1)内可导,且1233( )(0)f x dxf,证明在(0,1)内存在一点c,使( )0fc. 七、七、( (本题满分本题满分 8 8 分分. .) ) 已知1(1,0,2,3),2(1,1,3,5),3(1, 1,2,1)a,4(1,2,4,8)a,及 (1,1,3,5)b. (1) a、b为何值时,不能表示成1234、的线性组合？ (2) a、b为何值时,有1234、的唯一的线性表示式？并写出该表示式. 八、八、( (本题满分本题满分 6 6 分分) ) 设A为n

6、阶正定阵,E是n阶单位阵,证明AE的行列式大于 1. 九、九、( (本题满分本题满分 8 8 分分) ) 在上半平面求一条向上凹的曲线,其上任一点( , )P x y处的曲率等于此曲线在该点的法线段PQ长度的倒数(Q是法线与x轴的交点),且曲线在点(1,1)处的切线与x轴平行. 十、填空题十、填空题( (本题满分本题满分 6 6 分分, ,每小题每小题 3 3 分分.).) (1) 若随机变量X服从均值为 2,方差为2的正态分布,且240.3PX,则 0P X =_. (2) 随机地向半圆202yaxx(a为正常数)内掷一点,点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比,则原点和该点的连线与x

7、轴的夹角小于4的概率为_. 十一、十一、( (本题满分本题满分 6 6 分分) ) 设二维随机变量(, )X Y的概率密度为 (2 )2, 0,0( , )0, xyexyf x y其他, 求随机变量2ZXY的分布函数. 1 1991991 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析解析 一、填空题一、填空题( (本题满分本题满分 1515 分分, ,每小题每小题 3 3 分分.).) (1)【答案】3sincos4tttt 【解析】这是个函数的参数方程,满足参数方程所确定函数的微分法,即 如果 ( )( )xtyt, 则 ( )( )dytdxt. 所以

8、 sin2dydytdtdxdxtdt, 再对x求导,由复合函数求导法则得 22sin1()()22d yddydtdtdxdt dxdxdttt 232 cos2sin1sincos424ttttttttt. (2)【答案】2dxdy 【解析】这是求隐函数在某点的全微分,这里点(1,0, 1)的含义是(1,0)1zz . 将方程两边求全微分,由一阶全微分形式不变性得 222222()()02d xyzd xyzxyz, 再由全微分四则运算法则得 222()()xdxydyzdzxy dzydxxdy zxyz , 令1,0,1xyz ,得2dxdzdy,即2dzdxdy. (3)【答案】32

9、0 xyz 【解析】所求平面过直线1L,因而过1L上的点(1,2,3)； 因为过1L平行于2L,于是平行于1L和2L的方向向量,即平行于向量1(1,0, 1)l 和向量2(2,1,1)l ,且两向量不共线,于是平面的方程 1231010211xyz, 即320 xyz. (4)【答案】32 【解析】因为当0 x时,11sin,(1)1nxxxxn, 当0 x时20ax ,所以有 122223111(1)1,cos1sin,322axaxxxx 所以 12230021(1)123limlim1cos132xxaxaxaxx . 因为当0 x时,123(1)1ax与cos1x是等价无穷小,所以21

10、3a,故32a . (5)【答案】12002500120033110033. 【解析】为求矩阵的逆可有多种办法,可用伴随,可用初等行变换,也可用分块求逆.根据本题的特点,若知道分块求逆法,则可以简单解答. 注意： 1110000AABB,1110000ABBA. 对于 2 阶矩阵的伴随矩阵有规律：abAcd,则求A的伴随矩阵 *abdbAcdca. 如果0A ,这样 111abdbdbcdcacaAadbc. 再利用分块矩阵求逆的法则：1110000AABB,易见 112002500120033110033A. 二、选择题二、选择题( (本题共本题共 5 5 个小题个小题, ,每小题每小题 3

11、 3 分分, ,满分满分 1515 分分.).) (1)【答案】(D) 【解析】由于函数的定义域为0 x,所以函数的间断点为0 x, 222200011limlimlim11xxxxxxxeeyee ,所以0 x为铅直渐近线, 222211limlimlim111xxxxxxxeeyee,所以1y 为水平渐近线. 所以选(D). 【相关知识点】铅直渐近线：如函数( )yf x在其间断点0 xx处有0lim( )xxf x ,则0 xx是函数的一条铅直渐近线； 水平渐近线：当lim( ),(xf xa a为常数）,则ya为函数的水平渐近线. (2)【答案】(B) 【解析】令2tu ,则2 ,2t

12、u dtdu,所以 200( )ln22 ( )ln22xxtf xfdtf u du, 两边对x求导,得( )2 ( )fxf x,这是一个变量可分离的微分方程,即 ( )2( )d f xdxf x.解之得2( )xf xCe,其中C是常数. 又因为00(0)2 ( )ln2ln2ff u du,代入2( )xf xCe,得0(0)ln2fCe,得 ln2C ,即2( )ln2xf xe. (3)【答案】(C) 【解析】因为 112342121( 1)nnnnnaaaaaaa 1234212()()()nnaaaaaa 212212111()nnnnnnnaaaa(收敛级数的结合律与线性性

13、质), 所以 1221111( 1)523nnnnnnnaaa. 而 12342121()()()nnnnaaaaaaa 212212111()nnnnnnnaaaa5 38 , 故应选(C). (4)【答案】(A) 【解析】如图,将区域D分为1234,D D D D四个子区域. 显然,12,D D关于y轴对称,34,D D关于x轴对称. 令 12cos sinDDIxydxdyIxydxdy, 由于xy对x及对y都是奇函数,所以 12340,0DDDDxydxdyxydxdy. 而cos sinxy对x是偶函数,对y是奇函数,故有 34121cos sin0,cos sin2cos sinD

14、DDDDxydxdyxydxdyxydxdy, 所以 112(cos sin )2cos sinDDxyxy dxdyIIxydxdy, 故选(A). (5)【答案】(D) 【解析】矩阵的乘法公式没有交换律,只有一些特殊情况可以交换. 由于A、B、C均为n阶矩阵,且ABCE,对等式两边取行列式,据行列式乘法公式 | 1A B C ,得到0A 、0B 、0C ,知A、B、C均可逆,那么,对于ABCE,先左乘1A再右乘A有 1ABCEBCABCAE,故应选(D). 其实,对于ABCE先右乘1C再左乘C,有1ABCEABCCABE. 三、三、( (本本题满分题满分 1515 分分, ,每小题每小题

15、5 5 分分.).) (1)【解析】这是1型未定式求极限. 1(cos1)cos100lim(cos)lim(1(cos1)xxxxxxxx 令cos1xt ,则0 x时0t,所以 11cos100lim(1 (cos1)lim(1)xtxtxte, 所以 01(cos1)(cos1)(cos1)limcos100lim(1(cos1)limxxxxxxxxxxxee. 因为当0 x时,sinxx,所以 220002 sin222(cos1)limlimlim2xxxxxxxxx , 故 0(cos1)lim20lim(cos)xxxxxxee. (2)【解析】先求方向n的方向余弦,再求,uu

16、uxyz,最后按方向导数的计算公式 coscoscosuuuunxyz求出方向导数. 曲面222236xyz在点(1,1,1)P处的法向量为 (1,1,1)4 ,6 ,24 ,6 ,22 2,3,1Pxyzxyz, 在点(1,1,1)P处指向外侧,取正号,并单位化得 22112,3,12,3,1cos,cos,cos.14231n 又 2222(1,1,1)2222(1,1,1)222222(1,1,1)666146868888146868686814PPPPPPuxxxzxyzxyuyyyzxyzxyxyxyuzzz , 所以方向导数 coscoscosuuuunxyz 6283111147

17、1414141414. (3)【解析】由曲线22 ,0yzx绕z轴旋转一周而围成的旋转面方程是222xyz. 于是,是由旋转抛物面221()2zxy与平面4z 所围成.曲面与平面的交线是 228,4xyz. 选用柱坐标变换,令cos ,sin ,xryrzz,于是 :02 ,04,02zrz, 因此 22()Ixyz dV 4222000()zdzdrz rdr 242400242rzrrr zdz 42025643z dz. 四、四、( (本题满分本题满分 6 6 分分) ) 【解析】曲线sin , (0, )yaxx,则cosdyaxdx,所以 3(1)(2)LIy dxxy dy 301

18、 ( sin )(2sin )cos axxaxax dx 23301sin2cossin22aaxaxxx dx 233000sin2cossin22aaxdxaxxdxxdx 232000(cos1) cos2sinsin224aaxdxaxdxxd x 2330001coscos2sincoscos234aaxxa xxxx 3443aa. 对关于a的函数3443Iaa两边对a求导数,其中0a,并令0,I 得 2440Ia . 所以1a, 且 0,010,1IaIa . 故1a为函数344 ,(0)3Iaa a的极小值点,也是最小值点.故所求的曲线为 sin , (0, )yxx. 五、

19、五、( (本题满分本题满分 8 8 分分.).) 【解析】按傅式级数公式,先求( )f x的傅式系数na与nb.因( )f x为偶函数,所以 1( )sin0 (1,2,3,)lnlnbf xxdxnll , 012( )cos( )cosllnlnnaf xxdxf xxdxllll 11100022(2)cos4cossinxn xdxn xdxxdn xn 122022(cos1)sin(1,2,3,)nn xdxnnn , 1002(2)5ax dx. 因为( )2 |f xx 在区间( 11)x 上满足狄利克雷收敛定理的条件,所以 01( )2 |cossin2nnnannf xxa

20、xbxll 22152(cos1)cos2nnn xn 221541cos(21)( 11)2(21)nnxxn . 令0 x,有221541(0)20cos02(21)nfn,所以,2211(21)8nn. 又 222221111111111(21)(2 )(21)4nnnnnnnnn, 所以, 2213148nn,即 22116nn. 六、六、( (本题满分本题满分 7 7 分分.).) 【解析】由定积分中值定理可知,对于123( )f x dx,在区间2(,1)3上存在一点使得 12321( )( )(1)( )33f x dxff, 即1233( )( )(0)f x dxff. 由罗

21、尔定理可知,在区间(0,1)内存在一点(01)cc,使得( )0fc. 七、七、( (本题满分本题满分 8 8 分分) ) 【解析】设11223344xxxx,按分量写出,则有 123423341234123412123(2)4335(8)5xxxxxxxxxaxxbxxxax. 对方程组的增广矩阵作初等行变换: 第一行分别乘以有2、3加到第三行和第四行上,再第二行乘以1、2加到第三行和第四行上,有 111111111101121011212324301213518502252Aababaa 1111101121001000010aba, 所以,当1,0ab 时,( )1( )r Ar A ,

22、方程组无解.即是不存在1234x ,x ,x ,x使得 11223344xxxx成立,不能表示成1234、的线性组合； 当1a 时,( )( )4.r Ar A方程组有唯一解21,0111Tbabbaaa , 故有唯一表达式,且1234210111babbaaa . 【相关知识点】非齐次线性方程组有解的判定定理： 设A是m n矩阵,线性方程组Axb有解的充分必要条件是系数矩阵的秩等于增广矩阵AA b的秩,即是( )( )r Ar A(或者说,b可由A的列向量12,n 线表出,亦等同于12,n 与12,nb 是等价向量组). 设A是m n矩阵,线性方程组Axb,则 (1) 有唯一解 ( )( )

23、.r Ar An (2) 有无穷多解 ( )( ).r Ar An (3) 无解 ( ) 1( ).r Ar A b不能由A的列向量12,n 线表出. 八、八、( (本题满分本题满分 6 6 分分) ) 【解析】方法方法 1 1：因为A为n阶正定阵,故存在正交矩阵Q,使 121TNQ AQQ AQ , 其中0(1,2,)iin,i是A的特征值. 因此 ()TTTQAE QQ AQQ QE 两端取行列式得 | | |()| |(1)TTiAEQAE QQAE QE , 从而 | 1AE. 方法方法 2 2：设A的n个特征值是12n,. 由于A为n阶正定阵,故特征值全大于 0. 由为A的特征值可知

24、,存在非零向量使A,两端同时加上, 得1AE.按特征值定义知1是AE的特征值.因为AE的特征值是12111n,.它们全大于 1,根据iA,知|(1)1iAE. 【相关知识点】阵特征值与特征向量的定义：设A是n阶矩阵,若存在数及非零的n维列向量X使得AXX成立,则称是矩阵A的特征值,称非零向量X是矩阵A的特征向量. 九、九、( (本题满分本题满分 8 8 分分) ) 【解析】曲线( )yy x在点( , )P x y处的法线方程为 1()YyXxy (当0y 时), 它与x轴的交点是(,0)Q xyy,从而 12222|()(1)PQyyyyy. 当0y 时,有( ,0),|Q xPQy,上式仍

25、然成立. 因此,根据题意得微分方程 3122221(1)(1)yyyy, 即21yyy .这是可降阶的高阶微分方程,且当1x时,1,0yy. 令( )yP y ,则dPyPdy ,二阶方程降为一阶方程21dPyPPdy ,即21PdPdyPy. 即21yCP,C为常数. 因为当1x时,1,0yPy,所以1C ,即2211yPy, 所以21yy .分离变量得 21dydxy . 令secyt,并积分,则上式左端变为 2sec tanln sectantan1dyttdtttCty 22ln secsec1ln1ttCyyC. 因曲线在上半平面,所以210yy ,即2ln1yyCx. 故 21xy

26、yCe . 当1x时,1,y 当x前取+时,1Ce,211xyye , 22112221111(1)(1)1xxyyyyeeyyyyyy ； 当x前取时,Ce,211xyye , 22112221111(1)(1)1xxyyyyeeyyyyyy ； 所以 (1)(1)1()2xxyee. 十、填空题十、填空题( (本题满分本题满分 6 6 分分, ,每小题每小题 3 3 分分.).) (1)【解析】一般说来,若计算正态分布随机变量在某一范围内取值的概率,应该已知分布的两个参数和2,否则应先根据题设条件求出,2,再计算有关事件的概率,本题可从 2()0.8,通过查( )x表求出,但是注意到所求概

27、率(0)P x 即是2()与2()之间的关系,可以直接由2()的值计算出2(). 因为2(2,)XN,所以可标准化得 2(0,1)XN, 由标准正态分布函数概率的计算公式,有 4222(24)()()Px , 2()(24)(0)0.8Px. 由正态分布函数的对称性可得到 0222(0)()()1()0.2P x . (2)【解析】设事件A=“掷的点和原点的连线与x轴的夹角小于4”, 这是一个几何型概率的计算问题.由几何概率公式 ( )DSP AS半圆,而 212Sa半圆, 22141124DOACSSSaa圆, 故 222111124( )122aaP Aa. 十一、十一、( (本题满分本题

28、满分 6 6 分分) ) 【解析】二维连续型随机变量的概率等于对应区域的二重积分,所以有 2( )2( , )xy zF zP ZzP XYzf x y dxdy. 当0z 时,( )0F z . 因为2xyz在直线20 xy的下方 与0,0 xy(即第一象限)没有公共区域, 所以( )0F z . 当0z 时,2xyz在直线20 xy 的上方与第一象限相交成一个三角形区域D,此即为积分区间. (2 )2000( )2()1z xzzxyxzzzF zdxedyeedxeze . 所以2ZXY的分布函数 0, 0,( )1, 0. zzzF zezez x y O 20 xy z D x y O A B D C