“高等量子力学”补充专题： 二次量子化简介.ppt

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1、匹配条件,I与II区：II与III区：由波函数的唯一性意味，有自洽性(量子化)条件： (n为非负整数）除 部分外,该条件与旧量子理论中的量子化条件相同,十一、遂穿几率,由WKB解知：粒子速率：碰撞频率：f=v/2x0遂穿几率：,两个实用基本定理,1. 一维束缚态无兼并2. （实）哈密顿本征空间波函数总可选为实函数,2.6 传播子和Feynman路径积分,一、波动力学的传播子不含时哈密顿量体系的时间演化，可以用与H对易的观测量的本征矢展开初态即可求得：或 其中，,将上述表达式改写成：即这里称为传播子。传播子与初态无关，但依赖于势。一旦能量的本征函数和本征值已知，则传播子可构造出。可见：1) 波函

2、数的时间演化由K确定(波动力学是纯粹的因果理论); 2) 波函数的时间变化与经典力学物理量一样完全确定。3) 不同处：当测量介入时，波函数将转化为所测观测量的本征函数之一。该转化或“投影”呈概率性，但统计几率确定。,二、传播子的基本性质,1. 传播子 满足含时薛定谔波动方程（ ,tt0为变量， 不变）：2. （即 ）这两性质说明传播子可看作是t0 时处于 的粒子在t时刻的波函数（ ）初态有空间分布时，则将初态波函数乘以传播子并对空间积分，与静电学求电势相似（但K有“相位”）：3. 传播子是含时波动方程的格林函数：和边界条件 （对tt0）.,三、传播子的 例子,传播子的具体形式依赖于粒子所受的势

3、。1. 一维自由粒子。P与H对易，共同本征态由可得,自由空间高斯波包的扩散,由和可得：,2. 谐振子 的传播子,波函数为其传播子为该式的直接证明非常复杂，需利用特殊函数的性质也可通过a和a+算符方法最方便的是利用即将描述的路径积分方法。由于传播子是以为角频率的时间周期函数，位于x的粒子将在 回到原位置。,四、传播子的时间与空间积分,空间积分：由于 ，取 并积分相当于求坐标表象中时间演化算符的迹。由于迹不随表象变，在 表象中H对角，便于求出G(t) 。在G(t)的表达式中若令t为纯虚数且 为正实数，则G(t)演化为 ，与统计力学的配分函数是有相同形式。因此，研究量子力学传播子的方法对统计力学也有

4、用（反之亦然）。,G(t)的Laplace-Fourier变换,被积函数振荡，积分不易求。令EE+i,且0，则可见体系的完整能谱都表现在复E平面的 的极点。研究物理体系的能谱，只需要研究 的解析性质,2.6 传播子和费曼路径积分五、传播子作为跃迁振幅,波函数是位置左矢与随时间变化右矢的内积，也可被认为是海森堡绘景中反向时间演化的位置左矢与不含时状态右矢之乘积。类似地，传播子可写为这里 和 是海森堡绘景中位置算符的本征左矢和右矢。因 是从 到 态的跃迁振幅，故 是t0时处于 的粒子在t时处于 的几率振幅。或者说 是由时空点 到另一时空点 的跃迁振幅。另种解释由于海森堡绘景中任一时刻观测量的本征矢

5、都可选作基矢，我们也可称 为链接不同时间的两组基矢的变换函数。因此，在海森堡绘景中，时间演化可看作改变基函数的幺正变化。这与经典力学物理量随时间变化可看作由哈密顿量产生的正则变换相似。,六、传播子的组合性质,为使时空坐标记号更对称，记 为 由于海森堡绘景中在任意给定时间的位置态矢形成完备基，可在任意位置插入单位算符 因而 该性质称为跃迁振幅（传播子）的组合性质。类似地有 ：若知无穷小时间间隔 的形式，则一般的 可利用传播子的组合性质而得。这种推理方式导致了费曼的量子力学理论形式。,七、作为路径求和的路径积分,为简单记，讨论一维情型，并记 为将t1至tN分为N-1等分 ， 则为讨论该表达式的含义

6、， 可看如图所示的时空平面： 时空的初始与终点固定， 由初始到终点有不同的可 能路径。对给定一路径， 要计算其跃迁振幅，然后对 各种可能路径求和，这与经 典力学是有差别的。在经典力学中粒子有确定的轨迹，其路径对应于哈密顿原理所给出的路径 （即作用量的变分为零：,八、经典力学与量子力学路径的差别与联系,经典力学中xt-平面有一确定路径与粒子运动联系，而量子力学中所有可能路径都起作用，其中一些路径与经典路径毫无相似之处。经典力学的作用量或主函数为L是x与 的函数，S要在路径确定后才有定义对每小段路径其跃迁几率为初点到终点路径的 总跃迁几率为所有路径对 的贡献：若 ，则相邻路径的贡献倾向于抵消。对最

7、小作用量路径（经典路径），则相邻路径的S差别是二阶的，因而可相干增强。所以 时挑出的轨道为经典轨道。,九、Feynman路径积分公式,1. 无限小时间间隔的一段路径， w(t)只与t而（假定）与V(x)无关的权重因子。由于是无限小时间间隔，路径可看作直线，因而对自由粒子，已知由于W(t)与V(x)无关，可用自由粒子情况算出于是，对 ，有,2. 对有限时间间隔的路径,其中上式即为Feynman路径积分的表达式。,十、Feynman路径积分与薛定谔方程,或奇对称部分积分为零：对一阶t项有所以可见费曼路径积分的 表达式与薛定谔波动方程的传播子一致（也侧面证明了w(t)与V无关的正确性）。Feynma

8、n路径积分表达式复杂，对普通量子力学问题的应用并不方便，但在量子场论和统计力学等领域中很有用。,海森堡矩阵力学是正则形式下经典力学的量子对应，即将经典Poisson括号换为量子的对易式（量子力学的代数形式）波动力学（微分形式，或局域性描述）与经典力学的Hamilton-Jacobi方程有密切联系。矩阵力学和波动力学都与经典力学的Hamilton形式有渊源路径积分（积分形式或整体性描述）则与经典力学的Lagrange形式有密切关系。由于作用量是相对论不变量，具有易于从非相对论形式推广到相对论形式的优点，从而对于场量子化有优越性。另一优点是把含时与不含时问题纳于同一理论框架处理，也可更形象地研究与理解量子力学与经典力学的关系。三种形式各有优缺点，应根据问题侧重点选用方便的理论形式。,十一、量子力学不同理论形式特点比较,作业：,1）2.312）求一维高斯波包坐标与动量测不准关系随时间的变化3）2.34,